２資産に依存するオプションの 高速・高精度価格計算手法 名古屋大学　計算理工学専攻 高柳健一郎　山本有作 東京大学　情報理工学専攻 杉原正顕

発表の概要 オプションとは 本研究の目的 従来の数値計算手法 新手法の提案 数値実験 まとめ・今後の課題

１．オプションとは 市場変動によるリスクを回避するための金融商品 リスクの例 ・株価下落に伴う資産価値減少 　　　　・株価下落に伴う資産価値減少 ・為替レート変動に伴う原材料の輸入価格の高騰 IBM株 　　（2004/2/2~2005/2/2） 円／ドル　為替レート 　　（2004/2/2~2005/2/2） Yahoo! Finance http://finance.yahoo.com 朝日新聞（経済為替欄）http://www.asahi.com/business/exchange.html

オプションによる市場変動リスクの回避 オプション ＝ 将来のある時点T（満期）において資産を決まった 価格K（行使価格）で売買する権利 例１　株 企業Aが半年後にB株を売却予定 半年後に１０００円で売却できるオプションを購入 →　半年後に下落して１０００円未満となっても１０００円で売却可能 例２　為替 日本企業Ｃが３ヵ月後にアメリカから製品原材料を輸入予定 ３ヶ月後に為替レート１１０円/ドルで取引できるオプションを購入 →　３ヶ月後に円安で１１０円/ドル以上になっても１１０円/ドルで取引可能 それでは，この権利の値段はいくらにするのが妥当か？ 　　　　　　オプションの価格評価問題

実際に取引されているオプションの例 QBトレードの画像を貼り付ける IBM株のオプション Chicago Board Options Exchange (CBOE) QBトレードの画像を貼り付ける

オプションの価格評価 オプションの値段はいくらにするのが妥当か？ 満期 T において権利行使により得られる利益（ペイオフ）を考える （例） 資産 S を満期 T において K 円で購入できるオプション 　　　　（ヨーロピアン・コール・オプション） (i) ならペイオフは = (ii) ならペイオフは = (ii) (i) パラメータの定義はどうしようか。 オプション価格 = 資産価格がある確率モデルに従うとした時の 　　　　　　　ペイオフの（リスク中立測度の下での）期待値

資産価格の確率モデル ブラック-ショールズモデル ブラック-ショールズモデルの下でのオプション価格 資産価格が幾何ブラウン運動に従うと仮定 ： 期待成長率 ： ボラティリティ ブラック-ショールズモデルの下でのオプション価格 ヨーロピアン・コール・オプションに対しては，ペイオフの期待値を解析的に求めることが可能 ブラック＝ショールズ公式

Q(S1,T , S2,T) = max(S2,T – S1,T – K, 0 ) より複雑なオプションの例 2つの資産に依存するオプションとして以下のオプションがあり広く用いられている スプレッド・オプション 満期において2つの資産を交換できる権利 ペイオフ： Q(S1,T , S2,T) = max(S2,T – S1,T – K, 0 ) Maxオプション 満期において２つの資産のうち高価な方を価格Kで購入出来るオプション ペイオフ： クウォント・オプション　 外国株の株価変動と為替変動リスクを同時に回避するオプション ペイオフ：　

より複雑なオプションの例（続き） バリア付きの変種 バリア = 一方の資産の価格がある閾値（バリアレベル）Hを越えたら 　　　　　　　　オプションの権利が無効になるという特約 オプションから得られる利益に上限あり　→　その分価格が安い S1 バリアレベルH この時点で権利消滅 t 　 2資産に依存するオプション，およびバリア付きの変種では解析的な価格公式が求められないのが普通

２．本研究の目的 ２資産に依存するオプション（バリア付きの変種を含む）に対し，高速・高精度な価格計算手法を開発する そのため，１資産の複雑なオプション計算に有効なＤＥ-ＦＧＴ法 （Broadie & Yamamoto, 2004） を２資産に依存するオプションに拡張適用する

３．従来の数値計算手法 ２資産のブラック＝ショールズモデル 従来法１： モンテカルロ法 確率微分方程式を離散化し，　　　　　　空間に多数のサンプルパスを発生させる ペイオフの平均値として期待値を近似 実装が簡単 計算量：　O(N) 誤差のオーダー： 権利消失（バリアレベル）

従来の数値計算手法（続き） 従来法２： ２項モデル 連続的な確率過程を時間・空間が離散的な確率過程で近似 各時間ステップにおける　　　　の動きは上昇／下降の２通りのみ 上昇／下降の大きさは，離散的な過程の2次までのモーメントが連続的な過程と一致するよう決定 ２資産の計算量： 誤差のオーダー： (u2, B2) １資産 ２資産 uS (u2, AB) 1/2 (u, B) (u2, A2) S 1/4 S1 S2 1/2 dS (ud, AC) Dt = N/t (S1, S2) 1/4 (d, C) (d2, C2) Dt 2Dt Qt(St) = e–rDt E[Qt+Dt(St +Dt) 　　　　= e–rDt {Qt+Dt(uSt)+ Qt+Dt(dSt)}/2 Qt(S1t, S2t) = e–rDt E[Qt+Dt(S1t +Dt, S2t +Dt)] 　　　　　　 = e–rDt {Qt +Dt(uS1t, AS2t) 　　　　　　　　　　 + Qt +Dt(uS1t, BS2t) 　　　　　　　　　　 + Qt +Dt(dS1t, CS2t) 　　　　　　　　　　 + Qt +Dt(dS1t, DS2t)}/4

４．新手法の提案 基本的なアイディア 収束性は２項モデルに比べ向上 ・ ペイオフが解析関数の場合，誤差は M に関して指数的に減少 2項モデルの代わりに多項モデルを用いる 各時間ステップに対し，資産価格の取りうる値が M 個存在 1ステップで，どの価格からどの価格へも変化しうると仮定 収束性は２項モデルに比べ向上 ・　ペイオフが解析関数の場合，誤差は M に関して指数的に減少 S 1資産の場合の 多項モデル

多項モデルの計算式と計算量 … … … 計算式 1ステップの計算量 変数を (S1t, S2t) から適当な変数 (Y1t, Y2t) に変換すると，価格間の遷移確率はガウス分布に従う 1ステップの計算量 1資産の場合：　O(M2) 2資産の場合：　O(M4) 　　　計算量が膨大 価格計算式 Qt(Y1t（j）, Y2t（k）) = e–rDt E[Qt+Dt(Y1t +Dt, Y2t +Dt)] 　　 　　　　　 　 = e–rDt ∑m=1M2 ∑l=1M1 Qt +Dt(Y1t+Dt（l）, Y2t+Dt（m）) 　 　　　　　　　　　　　× (1/2p) exp{– (Y1t+Dt（l） – Y1t（j）)2 / 2} w1t+Dt（l） 　　　　　　　　　　　　　　　　× 　　 　 exp{– (Y2t+Dt（m） – Y2t（k）)2 / 2} w2t+Dt（m） … … …

高速ガウス変換による加速 高速ガウス変換（Fast Gauss Transform）とは 多項モデルへの適用 高速多重極展開法（FMM）の一種 次のような数列とガウス分布の離散畳み込み積を O(N) で計算可能 多項モデルへの適用 Qt(y1t, y2t) の計算式は，2次元配列とガウス分布との離散畳み込み積 高速ガウス変換を y1 ，y2 の両方向に対して行うことで計算可能 Qi 計算量を O(M4) → O(M2) に削減 2資産に対するFGT法

バリア付きオプションへの適用 バリア付きオプションの場合の問題点 S1 に対するバリア：　S1 > H のとき Qt(S1t, S2t) = 0 Qt の不連続性により，多項モデルの収束性は大きく低下 S1 （変換後の変数では Y1）方向の格子点を2重指数型数値積分公式（DE公式）の標本点に取ることにより，収束性の向上が可能 格子点は不等間隔になるが，高速ガウス変換はそのまま適用可 2資産に対するDE-FGT法 Y2 Y2 Y1 Y1 = h Y1 Y1 = h

５．数値実験 問題１ Maxオプション パラメータ 計算機環境 結果 誤差の振動の原因 S1=100, S2=100, K=95, s1=0.1, s2=0.2, q1=0.01, q2=0.02, r =0.5, T=0.25 計算機環境 OS: Windows XP CPU:Pentium4 1.7GHz Memory: 256MB 結果 ＦＧＴ法は他の手法に比べ，収束が速い しかし，誤差には振動が見られた 誤差の振動の原因 ペイオフが1階導関数に不連続を持つ 2資産の場合に固有の問題 真値との絶対誤差 モンテカルロ法 2項モデル FGT法

５．数値実験 問題２ クウォント・オプション パラメータ 結果 収束が速い理由 問題２　クウォント・オプション パラメータ S1=50, S2=50, K=40, s1=0.1, s2=0.2, q1=0.01, q2=0.02, r =0.5, T=0.25 結果 ＦＧＴ法は極めて速く真の解に収束した 収束が速い理由 ペイオフは1階導関数に不連続を持つが，不連続点は直線 S2 = K 上のみ 多項モデルの格子点をこの直線上に取ることにより，不連続の影響を小さくできる 真値との絶対誤差 2項モデル モンテカルロ法 FGT法

５．数値実験 問題３ クウォント・オプション （バリア付き） パラメータ 結果 収束が遅くなる理由 問題３　クウォント・オプション パラメータ S1=50, S2=50, K=50, s1=0.1, s2=0.2, q1=0.01, q2=0.02, r =0.5, T=0.25 バリアレベル： H=52 （S1に対するバリア） 結果 DE-FGT法は他の手法と同程度の時間で2～3桁高精度な価格が計算できる ただし，バリアなしに比べると収束は遅い 収束が遅くなる理由 バリアによる不連続の影響はDE公式で回避 しかし，その結果，格子点がペイオフの１階導関数の不連続点からずれる （バリア付き） 真値との絶対誤差 DE-FGT法 2項モデル モンテカルロ法

６．まとめと今後の課題 まとめ 今後の課題 多項モデルにDE公式と高速ガウス変換を用いたDE-FGT法を2資産に依存するオプションに適用した バリアなしMaxオプションやバリア付オプションの精度向上 DE-FGT法を３資産以上のオプションに適用・評価