電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

RLC直並列回路 RLC直並列回路 L R0 e(t) C R v0(t) 図に示すようなRLC直並列回路を電圧源 e(t) によって励振したときの、R の両端に現れる電圧 v0(t) を求める。簡単のために、最初から全ての初期条件を 0 として、電圧、電流はそれらのラプラス変換で考える。 L[e(t)] = E(s),　L[v0(t)] = V0(s), R, L, C を流れる電流のラプラス変換をそれぞれ IR(s), IL(s), IC(s) として、 の関係が成り立つから、 IR, IL, IC を消去すれば、伝達関数として、 ただし、 が求まる。

RLC直並列回路 この、ω0 に対応する周期 T0 = 2π/ω0 を共振期間と呼ぶことがある。また、2ζ , ω0 の値から は、回路の Q を与える。 e(t) が単位ステップ即ち E(s) = 1/s のときの応答 v0(t) を求める。 となるから、 (a) 臨界減衰(ζ = 1 或いは　　　　　　　　　　　　　　　 )の時、 表5.2の(5)より、 従って、

RLC直並列回路 教科書の不等号の向きは誤り (b) 過減衰(ζ > 1 或いは　　　　　　　　　　　　　　　 )の時、 表5.2の(32)より、 従って、

RLC直並列回路 教科書の不等号の向きは誤り (c) 振動減衰(ζ < 1 或いは )の時、 表5.2の(32)より、 従って、 となる。

RLC直並列回路 は、教科書の式(6.24)と同じ形をしている。 従って、 より、 ただしRLC直並列回路では、 臨界減衰 過減衰 振動減衰

RLC直並列回路 例題7.5.1 振動減衰の場合、ζ ω0t1 = 1 を満たす時刻、即ち t1 = 1/ζ ω0 では、v0(t1) の振幅は、時刻 t = 0 の時の振幅の 1/e になる。 振幅 t1 t = 0 ~ t1 の間にv0(t) が振動する回数を k とすれば、 ζ << 1 ならば と見なせるので、2πk ≈ ω0t1 =1/ζ である。 従って、先に示した　　　　　　　の関係を用いると、 または の関係が得られる。

二次系回路のまとめ R L vi vo C R C vi vo L τ << パルスの時間幅の時、微分回路 RLC微分回路 RLC積分回路 τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路 高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)

二次系回路のまとめ L R vi vo C R vi vo L C R0 τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路 帯域通過回路 (Band-Pass Filter) 帯域通過回路 (Band-Pass Filter)

二次系回路のまとめ R vi vo L C R0 R vi vo L C R0 帯域通過回路 (Band-Pass Filter)

二次系回路のまとめ R ii io L C R ii io L C τ << パルスの時間幅の時、微分回路 RLC微分回路 RLC積分回路 τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路 高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)

二次系回路のまとめ R ii io L C L R C ii io τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路 帯域通過回路 (Band-Pass Filter) 帯域通過回路 (Band-Pass Filter)

SPICEで解析してみよう 以下の回路において、伝達関数として io / ii をとった場合のボード線図(振幅および位相の周波数特性)を求めてみよう。ただし、素子の値としては以下を用いる。 1) の条件 2) の条件 3) の条件 R ii io L C R0

回路網の励振と応答 インパルス応答とステップ応答 励振 vi(t) 応答 vo(t) 応答のラプラス変換 = 回路網関数 ×励振のラプラス変換 回路網 Vo(s) = L[vo(t)] H(s) Vi(s) = L[vi(t)] Vo(s) = H(s)Vi(s) 今もし、励振のラプラス変換が 1 であるとすると、回路網関数そのものが応答のラプラス変換を与える。単位インパルス u0(t) のラプラス変換は 1 であったから、単位インパルス u0(t) に対する応答のラプラス変換は、回路網関数そのものである。 従って、「回路網関数のラプラス逆変換は、t = 0 の時刻に加えられた単位インパルス励振に対する静止回路の応答を与える。」と言える。このような応答をインパルス応答(impulse response)と呼び、通常 h(t) で表す。 L[h(t)] = H(s) または h(t) = L-1[H(s)] である。 一方、単位ステップ u-1(t) の励振に対する静止回路の応答をステップ応答(step response)、インディシャル応答(indicial response)、ヘビサイド応答などと呼び、 g(t) などと表す。 インパルス応答 h(t) とステップ応答 g(t) との関係は、L[u-1(t)] = 1/s であるから、 L[g(t)] = H(s)/s

回路網の励振と応答 従って、H(s) = sL[g(t)] = L[g’(t)] + g(0)　ただし、g’(t) は g(t) の時間微分である。 これをラプラス逆変換すると、 h(t) = g’(t) + g(0) u0(t) の関係が得られる。 関数の積のラプラス逆変換 任意波形による励振 vi(t)に対しても、回路網関数 H(s) が与えられていれば、Vo(s) = H(s)Vi(s) のラプラス逆変換を求めることにより応答 vo(t) が求まる。 即ち、vo(t) = L-1[H(s)Vi(s)] = L-1[Vi(s)H(s)] である。 ラプラス変換の相乗積分に関する公式(教科書p105の式5.48c)を用いると、2つの関数の積のラプラス逆変換は、個々の関数のラプラス逆変換の相乗積分になる。 即ち、 によって与えられる。ただし、h(t) は H(s) のラプラス逆変換である。 従って、任意波形の励振 vi(t) に対する応答 vo(t) は、インパルス応答 h(t) が既知であれば、上の相乗積分の関係によって与えられる。

回路網の励振と応答 例7.8.1 特に励振 vi(t) を単位インパルス u0(t) にとると、Vi(s) = 1 であるから、 Vo(s) = H(s)Vi(s) より、Vo(s) = H(s) 従って、 デルタ関数の性質から なる関係が得られ、インパルス応答のラプラス変換は回路網関数であることが確かめられる。 任意波形の励振に対する応答 ここで、物理的意味を考えてみる。 仮に励振 vi(t) が図(a)に示すような時間変化をする波形だとする。この波形を微小で等間隔な時間幅 Δτ で分割する。そのとき、vi(t) の時刻 τ から τ + Δτ の間の値は、振幅が vi(τ) で幅が Δτ の方形波によって近似できる。従って励振 vi(t) の全体は、このような方形波の連続した列によって近似的に表せる。

回路網の励振と応答 このとき、一つの方形波に対する回路の応答は、 τ < t < τ + Δτ 以外で vi(t) = 0 より τ < t < τ + Δτ で vi(t) = vi(τ) より で与えられる。 もし、 Δτ が十分に小さく、 τ ~ τ + Δτ の間で h(t ‒ ξ) が一定と見なせれば、 で与えられる。(図(c), (d))

回路網の励振と応答

回路網の励振と応答 従って、励振 vi(t) に対する時刻 t における応答は、その時刻 t より以前に加えられた全ての方形波励振についての応答を、次々と時間をずらせて加え合わせたものに等 しいから、　　　　　　　　　　　　　　　　　　である。 或いは、 Δτ → 0 の極限で考えて、 である。 これを重ね(合わせ)積分, 累積積分(superposition integral)と呼び、畳み込み(積分) convolution　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の特別な場合である。 ここで、時刻 t は現在の時刻、従って vo(t) は現在の応答、τ は過去の時刻、即ち vi(τ) は 0 < τ < t の各時刻における励振、そして (t ‒ τ) は回路の記憶時間と見なせる。 従って vi(τ)h(t ‒ τ) は、時刻 τ に加えられた励振 vi(τ) が、現在の応答 vo(t) に寄与する割合である。従って、インパルス応答 h(t) のことを荷重関数、重み関数(weighting function)などと呼ぶ。

回路網の励振と応答 ステップ応答による表現 h(t) = g’(t) + g(0) u0(t) の関係を利用 右辺第2項の u0(t ‒ τ) は τ = t のとき以外は 0 であるから、第2項自体は g(0)vi(t) に等しい。従って、 が得られる。 この式を重ね積分または Duhamel の積分と呼んでいる。 また上式は、次のように変形できる。

回路網の励振と応答 インパルス応答関数の性質 重ね積分を導くための仮定 (a) 因果性(causality) 励振よりも先に応答が出ることはない。 vi(t) = 0, t < t1 ならば、h(t) = 0, t < t1 (b) 不変性(time-invariant) 回路の性質は時間が経過しても変わらない。 励振 vi(t) に対して応答が vo(t) であれば、励振 vi(t + t0) に対しての応答はvo(t + t0) となる。 (c) 線形性(linearity) 重ねの理が成り立つ。 ある励振　　と　　に対する応答が　　と　　ならば、 励振　　　　　　　に対する応答は、　　　　　　　となる。

回路網の励振と応答 (c) 安定性(stability) 励振から時間が十分に経てば、静止の状態になる。 全ての有限な入力に対して出力は有限。 入力の大きさが、　　　　　　　と制限されるとき、 全ての観測時間 −∞ < t < ∞ に渡っての相乗積分に代入して、 従って、安定であるための必要十分条件は、インパルス応答 h(t) が絶対積分可能であること、即ち を満たすことである。 ただし、N は有限な正の実数である。

|vo / vi| (dB) 40dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −20 −40 −60 −80 −20 −120 −40 −100 −60 Frequency (Hz) decade 40dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) 180 150 120 90 60 30

|vo / vi| (dB) ‒40dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −20 −40 −60 −80 −20 −120 −40 −100 −60 Frequency (Hz) decade ‒40dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) −30 −90 −150 −180

|vo / vi| (dB) 20dB/dec ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 Frequency (Hz) decade ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) 20dB/dec

|vo / vi| (dB) 20dB/dec ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 Frequency (Hz) ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) 20dB/dec 10 100 1k 10k 100k 1M

20dB/dec ‒20dB/dec |vo / vi| (dB) Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) 20dB/dec Frequency (Hz) 10 100 1k 10k 100k 1M

|vo / vi| (dB) 20dB/dec ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) |vo / vi| (dB) 20dB/dec Frequency (Hz) 10 100 1k 10k 100k 1M

|io / ii| (dB) 40dB/dec Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −20 −40 −60 −80 −20 −120 −40 −100 −60 180 150 120 90 60 30 Frequency (Hz) decade 40dB/dec Arg(io / ii) (deg) |io / ii| (dB)

|io / ii| (dB) ‒40dB/dec Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −20 −40 −60 −80 −20 −120 −40 −100 −60 −30 −90 −150 −180 Frequency (Hz) decade ‒40dB/dec Arg(io / ii) (deg) |io / ii| (dB)

|io / ii| (dB) 20dB/dec ‒20dB/dec Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 Frequency (Hz) decade ‒20dB/dec 20dB/dec |io / ii| (dB) Arg(io / ii) (deg)

|io / ii| (dB) 20dB/dec ‒20dB/dec Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −40 −10 −60 −20 −50 −30 90 60 30 −90 Frequency (Hz) decade ‒20dB/dec 20dB/dec |io / ii| (dB) Arg(io / ii) (deg)