熱伝導方程式の導出 熱伝導：物質の移動を伴わずに高温側から低温側へ熱が伝わる現象 対流、輻射 フーリエの法則Fourier’s law： 熱流束は温度勾配に比例 Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de J ：熱流束密度[W/m2] θ：温度[K] λ ：熱伝導率 [W/(m・K)]
X方向への熱移動量 x=xにおいて、 時間dtの間に面dydzに流入する熱量dQxiは、 一方、x=x+dxにおいて、 面dydzから流出する熱量dQxoは、 よって、x方向に蓄えられる熱量dQxは
正味の熱量 同様にy方向に蓄えられる熱量dQyは 同様にz方向に蓄えられる熱量dQzは 微小直方体に蓄えられる熱量dQは
時間dtの間に 温度がdθ上昇するのに必要な熱量は、 熱伝導方程式 正味の増加熱量＋内部発熱＝内部ｴﾈﾙｷﾞｰ変化 時間dtの間に 温度がdθ上昇するのに必要な熱量は、 ρ：密度[kg/m3] c：比熱 [J/(kg⋅K)] さらに微小直方体内に単位時間に単位体積辺り [J/（s・m3)]の発熱があれば、 エネルギ保存より、 一般に熱伝導率は等方性であるため、熱伝導率をλとすると、 ：温度伝導率[m2/s] 熱伝導率/熱容量 熱が伝播する速さ
アルミ棒の温度勾配 初期値・境界値問題 l θ=0 θ=0 x ？温度分布 @ t=0.001 & 0.01 0 0.5 1 t=0 x θ 0.5 l θ=0 θ=0 x 0 1 ？温度分布 @ t=0.001 & 0.01 Alのα＝96.8[mm2/s] Δt=0.00001 Δx=0.1 l＝1[mm]
熱伝導方程式の差分化 差分化する Alのα＝96.8[mm2/s] Δt=0.00001 Δx=0.1 l＝1[mm]
2次元定常熱伝導 熱源のある非定常3次元熱伝導方程式 熱源のない定常2次元熱伝導方程式 ラプラス方程式 y T=T2 Boundary conditions T=T1 H T=T2 T=T2 @ y=0 W T=T2 @ x=W x T=T2
熱伝導における主な境界条件