Fine-tuning Problems in Gauge Hierarchy & Cosmological inflation 水上史絵　（中央大） 共同研究者　：　稲見武夫、小山陽次　（中央大） 　　　　　　　　　　　林　青司　（神戸大） 06. July. 2009 @ Kiken

What we have done = Higgs = inflaton コンパクト化された高次元 (super) gauge 理論において、 Higgsのfine tuning problemとinflatonのfine tuning problemが gauge symmetryによって共に解決されるmodelを提案した。 このmodelにSUSYが果たす役割を調べた。 ゲージ場の余剰次元スカラー成分をinflaton及びHiggsと見なす。 　　 = Higgs = inflaton (m = 余剰次元)

Plan of my talk What we have done Scalar potential Extranatural inflation Our model まとめ

2. Scalar potential ゲージ対称性がゲージ場の余剰次元スカラー成分のポテンシャルに 及ぼす性質について。 Example : YM theory on （compact化半径：R 、L=2πR　） Gauge場 in 4D theory とする。 Scalar場

Scalar場のeffective potential Matterの入れ方で変わってくる。いずれにせよcos型。 ここで、 : Wilson loop （5dim theoryにおいて 　gauge invariantな量である） 高次元gauge symmetryにより、 のeffective potentialはWの関数として のみ記述される。 に間する任意の高次の項は現れない。 effective potentialは有限。 Scalar massは有限。 ・Gauge Higgs unification modelでは、 　このscalar場がHiggsであると考える。 ・このscalar場でinflationを引き起こすことが 　出来るのでは？ Extranatural inflation

3. Extranatural inflation (Arkani-Hamed et al. ‘03) 5D gauge theory on ゲージ場の余剰次元成分をインフラトンと見なしたモデル。 Inflaton potential Chaotic inflationとほぼ同じ。 Chaotic Inflation model Extranatural Extranatural inflationは基本的にchaotic inflationと良く似ているが、 より優れた特徴を持つ。

Chaotic inflation 問題点 摂動論を考えると一般に高次の補正項が現れる。 inflationは　　　　　　 でおこる為、ポテンシャルが評価できない。  Fine-tuning problem [astrophysical data] 一般のinflation modelにおいてもfine tune problemは生じる。 Extra-natural inflation Chaoticの問題が　解決 高次元gauge対称性のおかげで摂動論においてもポテンシャルの 　全域にわたって有限であり、信頼できる。 Fine-tuneの必要がない。 R ~ Planck length　と考えるだけでよい。

 Gauge couplingが小さすぎること。 但し問題点もある。 　Gauge couplingが小さすぎること。 ～ 一般に、SMやGUTでは、 観測によるCurvature perturbation　　　への条件から また、slow roll conditionを満たす為に、

4. Our model さらにHiggsとinflatonを同一視したらどうだろうか？ 高次元gauge理論ではうまく行きそうな気がする。 可能ならば、 • Gauge hierarchy problem Inflaton potentialのfine-tuning problem 同じ機構で同時に解決できるかも！ 問題点 Gauge couplingが小さすぎる。 SUSYで解決？ Set up Superstring theoryの低エネルギー有効理論のtoy modelとして supersymmetric SU(2) YM theory on を考える。 仮定 ・重力の量子効果は無視できる。 ・5次元目は半径Rにコンパクト化されており、安定である。

SU(2) SYM theory on ・ Gauge multiplet (adjoint representation of SU(2)) Vector boson　　　 ,　Real scalar　　,　　Spinor . ・ Matter multiplet (Fundamental rep. of SU(2)) Scalar field , Dirac fermion . Action

Susy breaking Boundary condition associated with SU(2)R Schrek-Schwarz mechanizmによりSUSY破れる。 : SUSY breaking scale Other fields： Kaluza-Klein expansion same for ： : 4D gauge field : 4D scalar field = Higgs = inflaton

Effective theory near a potential minimum , : scale parameter : Higgs-inflaton potential K-K mode sumは、n=1だけでも我々の解析にはほとんど影響しない。 以降 n=1 だけで考える。 理論に含まれるパラメータは　　　　　　　の3つである。 この値をCMBの観測データ等から見積もる。 (spectral index , curvature perturbation , 　さらに重力の量子効果は無視できる場合を考える。)

scale parameter に依存する。 （mL=1とした） Gauge only Gauge+matter Potentialのf依存性 (pure gauge case) パラメータの値は scale parameter　　　に依存する。

 のとき  のとき   結果 Inflaton/Higgs mass Gauge coupling 最大値 　　　　　　　　　のとき 　　　　　　　　のとき Gauge coupling 最大値 が大きくなるとともに　　の取りうる値は小さくなる。 Parameter 　　の値   のとき のとき × SUSY breaking scale SUSY breaking scale

6.まとめ コンパクト化されたHigh-D supersymmetric gauge theoryにおいて inflation model を作った。 Gauge場の余剰次元成分　　　が、inflatonでかつHiggsであると 考える。 Higgs mass Intermediate scale の理論のHiggs？ ・ 摂動論として量子補正が入った上で、信頼の出来るmodelである。 ・ Coupling constant g , compact化半径 R などのパラメータも、 意味のある値になっている。 ・ 結果はmatterの入れ方にほとんど関係しない。 　　　　　　　　 pureでの解析が、matter partが違うモデルでもほぼ そのまま成り立つ。 GUTの中で、我々の Higgs-inflatonのアイデアを現実の理論と　　して扱える可能性がある。 Higgs massのfine-tuning problem Inflation modelのfine-tuning problem 両方解決

これからの興味 ・　宇宙のゆらぎを作る為の場(curvaton)とinflatonが両方とも 　　ゲージ場の余剰次元成分から現れるmodel。 ・　余剰次元を増やして、inflationとHiggsを異なる場として扱うmodel 　　（EW Higgsが扱えるかもしれない。） ・　gravitonの余剰次元scalar成分(=radion)をinflatonとするmodel 　　　　　　　（inflatonはclosed stringか、open stringか？） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：

By Einstein eq. & エネルギー保存則 Inflationとは何か？ 　　inflationの定義 宇宙の加速膨張のこと : scale factor RW metric By Einstein eq. & エネルギー保存則 負の圧力 Inflationが起きるためには、宇宙がスカラー場　　で満たされているとよい。 インフラトン Energy density pressure ならばinflation起きる。

fluid equation 例）宇宙がvacuum energyで満ちているとき、inflationがおこる。 　Einstein eq. と energy保存則から、 fluid equation

Slow-roll condition ~ インフレーション中に宇宙を十分に膨張させるには、vacuume energy Inflation modelの為の絶対条件 では無いが、多くのmodelで使われる Slow-roll condition ~ インフレーション中に宇宙を十分に膨張させるには、vacuume energy でなくてゆるやかなポテンシャルでもよい。 Slow-roll condition いろいろなinflation modelが考えられている・・・

・ インフラトンポテンシャルの形（関数）を考える。 Inflationのモデル作り （といっても、2種類の意味がある） ・　インフラトンポテンシャルの形（関数）を考える。 　　e.g.) new inflation, chaotic inflation, hybrid inflation etc.. ・　GUTや標準模型などの素粒子の模型からinflationが起きるような 　　スカラー場のポテンシャルを作る。 いずれの場合でも、観測と合わせるためにはparameterのfine-tuningが必要。

・宇宙が約39万歳のときの写真。（宇宙の晴れ上がり、decoupling） 観測からの制限 Power spectrum CMB WMAP science team ・宇宙が約39万歳のときの写真。（宇宙の晴れ上がり、decoupling） ・全体としてほぼ同じ温度である。（現在約2.7K）（　　　Horizon problem ） インフレーションがあれば解決。 ・約数十分角から数度のスケールで見られる約10-5 K程度の非等方性 これを再現するようなmodelのみに制限される。 Parameters : spectrum index　　　, curvature perturbation　　　, etc...

Example : chaotic inflation model Slow-roll parameters より、 Inflation : Inflation ends at (Observable) inflation starts at とする。 Slow-roll e-folds : Chaotic , And

Curvature perturbation : Spectral index : chaotic N=60のとき By observation, Curvature perturbation : (by observation) Parameter m　をうまく決めればinflaton potentialが 得られる。 この場合、

Chaotic inflation modelにおけるfine-tuning problem & inflation occurs at coupling constant 例 のとき Fine-tuningが必要！ Chaotic inflationではcoupling constantが非常に小さい。 これがchaotic inflationにおけるfine-tuning problemである。 Curvature perturbationからの要請 *

3. Gauge-Higgs Unification ・　対称性の破れの原因であり、粒子に質量を与える機構により現れる。 ・　階層性問題が存在。 階層性問題 EW Higgsの質量は理論的にはGUT scaleもしくはPlanck scale程度で あることが自然であるが、実際は標準模型の対称性の破れのscale ( )でなくてはならない。

gauge-Higgs Unification model 階層性問題 この２つの問題を解決できる。 Rough idea : コンパクト化された高次元理論においてゲージ場 　　　　　　　 の余剰次元成分がHiggsである。 （Hosotani ’93） Higgs機構に 用いる。

Gauge-Higgs unificationでのHiggs機構 Example : YM theory on （compact化半径：R 、L=2πR　） Gauge場 in 4D theory とする。 Scalar場 　　　　　　　 このscalar場が真空期待値をとることで、自発的に対称性が破れる。 Naïveには、 Scalar場 scalar 対称性破れる。 ＆ gauge 量子補正を考慮しても有限の Higgs mass得られる。

実際に質量を持ったHiggs場とgauge場が現れるだろうか？ Scalar場が真空期待値をとった後のeffective theoryを考えればよい。 Scalar場のeffective potential 真空期待値 Matterの入れ方で変わってくる。 ここで、 : Wilson loop （5dim theoryにおいて 　gauge invariantな量である） 高次元gauge symmetryにより、 のeffective potentialはWの関数として のみ記述される。 に間する任意の高次の項は現れない。 effective potentialは有限。

Higgs Higgs 考えるmatterによってeffective potentialの形は変わる。 例 真空期待値からのゆらぎはmassive scalar field Higgs Higgs 場 Other fields :

Effective action Gauge場の mass term Scalar場のmass term はHiggs Gauge場のmass term （　　　　　　　　のとき） ＝ （　　　　　　　　のとき） 従って、対称性の破れは　　の真空期待値 の値に依存する。 考えるmatterによって変わる。

SU(2) pure YM with matter (fundamental rep.) SU(2) pure YM どちらも対称性は破れない。 SU(2) YM with matter (adjoint rep.) 自発的に対称性が破れる。

では、gauge hierarchy問題はどうなっているか？ Higgs場の質量を調べる。 Higgs場 : Higgs mass : Higgs massは有限であり、 　　　　　　　　　　　　　のとき実験と一致する。

4. Higher dimensional gauge theory applied to inflation model ゆらぎをinflaton とみなす。 Inflaton Higgs Extra-natural inflation (Arkani-Hamed et al. ‘03)　 (5D U(1) gauge theory on ) Inflaton potential Chaotic inflationとほぼ同じ。 chaotic Extra-natural

Extra-natural inflationは基本的にChaotic inflationと良く似ているが、 より優れたmodelである。 Chaotic inflation 問題点  摂動論を考えると一般に高次の補正項が現れる。 しかしinflationは　　　　　　 でおこる為、ポテンシャルが評価できない。  Fine-tuning problem Extra-natural inflation Chaoticの問題が　解決 高次元gauge対称性のおかげで摂動論においてもポテンシャルの 　全域にわたって有限であり、信頼できる。 Fine-tuneの必要がない。 R ~ Planck length　と考えるだけでよい。

 Gauge couplingが小さすぎること。 但し問題点もある。 　Gauge couplingが小さすぎること。 ～ 一般に、SMやGUTでは、 観測によるCurvature perturbation　　　への条件から また、slow roll conditionを満たす為に、

5. Higgs-inflaton potential 高次元gauge理論ではうまく行きそうな気がする。 可能ならば、 • Gauge hierarchy problem Inflaton potentialのfine-tuning problem 同じ機構で同時に解決できるかも！ 問題点 Gauge couplingが小さすぎる。 SUSYで解決できないか？ 観測によるcurvature perturbation　　　への条件は : SUSY breaking scale また、slow roll conditionを満たす為に、 の値によっては、gauge couplingが現実的な値をとり得る！

Our Model Set up Superstring theoryの低エネルギー有効理論のtoy modelとして supersymmetric SU(2) YM theory on を考える。 仮定 ・重力の量子効果は無視できる。 ・5次元目は半径Rにコンパクト化されており、安定である。

SU(2) SYM theory on ・ Gauge multiplet (adjoint representation of SU(2)) Vector boson Real scalar Spinor ・ Matter multiplet (Fundamental rep. of SU(2)) Scalar field Dirac fermion Action

Compact化 Boundary condition Schrek-Schwarz mechanizmによりSUSY破れる。 : SUSY breaking scale Other fields： Kaluza-Klein expansion same for ： : 4D gauge field : 4D scalar field = Higgs = inflaton

Effective potential , At one-loop level SUSYの破れの為に宇宙項の発散が存在 適切な値にくりこむ。 K-K mode sumは、n=1だけでも我々の解析にはほとんど影響しない。 以降 n=1 だけで考える。

Effective theory near a potential minimum 4D effective lagrangian for the field , : gauge sym. breaking scale : Higgs-inflaton potential

（mL=1とした） Pure gauge Gauge+matter Potentialのf依存性 (pure gauge case)

Inflaton potentialへの観測などによる制限 (1) Cosmological constant　　　0, (2) Slow-roll conditions (3) Spectral index (WMAP deta) ( , はおおよそ　　　　　　　　　) (4) e-folds N (5) Curvature perturbation 重力coupling (6) 重力の量子効果が無視できる為の条件 << 1 (By Appelquest and Chodos)

 のとき  のとき ポテンシャルを調べる (Pure SYM case) のときにinflationおこる。　（条件(2)(3)(4)より） Higgs-inflaton mass ・・・ curvature perturbationから決まってしまう。 　　　　　　　　　のとき （Chaotic inflationに近似できる場合） より、 　　　　　　　　のとき （Chaotic inflationに近似できない場合） 同様に、 (pure YM case)

Gauge coupling Symmetry breaking parameter　　　に依存する。 最大値 が大きくなるとともに　　の取りうる値は小さくなる。 Parameter 　　の f 依存性 のとき のとき × SUSY breaking scale SUSY breaking scale

Pure SYM caseのまとめ ・Higgs-inflaton massはintermediate scale。 ・coupling constantも現実的な値をとることができる。 Intermediate scaleの理論を破るHiggsがinflatonと 同一視できる。 Intermediate scaleの理論 Standard Modelよりもrankの高い対称性を持つ理論をGUTとするとき GUT　　　　　　　intermediate scaleの理論　　　　　　　SM 一般に、この対称性を破るHiggs 例．　SO(10) GUT

結果はPureのときとほぼ同じ。 ポテンシャルを調べる (gauge+matter case) SYM with one hypermultiplet (mL=1の場合) 結果はPureのときとほぼ同じ。 なぜなら… ポテンシャルの形が違う。 Pureの場合と少し違うだけ（factor 2以下） その他の条件はpureの場合と全く同じ Matter入れてもパラメーターの値はほとんど変わらない。

Inflaton potentialへの観測などによる制限 (1) Cosmological constant　　　0, (2) Slow-roll conditions (3) Spectral index (WMAP deta) ( , はおおよそ　　　　　　　　　) (4) e-folds N (5) Curvature perturbation 重力coupling (6) 重力の量子効果が無視できる為の条件 << 1 (By Appelquest and Chodos)

Matterとpotentialの関係 Gauge multiplet (cos型) Matter (hypermultiplet) (cos型) Matterの表現 Potentialの周期 e.g.) fundamental rep. : 2π , adjoint rep. : π etc… Matterの種類・数 　　　　　質量 SUSY parameterβ Potentialの振幅を変える 　大きくても数倍程度 e.g.) one hypermultiplet いずれにしてもinflaton potentialにおいて、観測などとの比較（条件(1)-(6)）や、 質量に関する条件式などは、それほど変わらないだろう。 よほど複雑なmodelを考えない限り、結果はあまり変わらない。

6.まとめ コンパクト化されたHigh-D super symmetric gauge theoryにおいて inflation model を作った。 Gauge場の余剰次元成分　　　が、inflatonでかつintermediate scale の理論の対称性を破る Higgsであると考える。 ・ 摂動論として量子補正が入った上で、信頼の出来るmodelである。 ・ Coupling constant g , compact化半径 R などのパラメータも、 意味のある値になっている。 ・ 結果はmatterの入れ方にほとんど関係しない。 　　　　　　　　 pureでの解析が、matter partが違うモデルでもほぼ そのまま成り立つ。 GUTの中で、我々の Higgs-inflatonのアイデアを現実の理論と　　して扱える可能性がある。 Higgs massのfine-tuning problem Inflation modelのfine-tuning problem 両方解決

これからの興味 ・　宇宙のゆらぎを作る為の場(curvaton)とinflatonが両方とも 　　ゲージ場の余剰次元成分から現れるmodel。 ・　余剰次元を増やして、inflationとHiggsを“いとこ”として扱うmodel 　　（EW Higgsが扱えるかもしれない。） ・　gravitonの余剰次元scalar成分(=radion)をinflatonとするmodel 　　　　　　　（inflatonはclosed stringか、open stringか？） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：