電気回路Ⅱ 演習 特別編（数学） 三角関数 オイラーの公式 微分積分 微分方程式 付録 三角関数関連の公式

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1 電気回路Ⅱ 演習 特別編（数学） 三角関数 オイラーの公式 微分積分 微分方程式 付録 三角関数関連の公式
電気回路Ⅱ　演習 特別編（数学） 三角関数 三角関数関連の公式 オイラーの公式 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出 微分積分 微分方程式 付録 Taylor（テーラー）展開とオイラーの公式の導出 sinc関数について （Taylor展開とロピタルの定理を用いた解法）

2 １．三角関数 1.1　定義 三角関数

3 1.2　定義2

4 1.3　定義3

5 1.4.　三角関数の公式 これだけは覚えよう 引き算の場合 スライド1.2より

6 1.5.　三角関数の公式2 を求める 両辺を足すと よって

7 1.6.　三角関数の公式3 を求める 両辺を足すとor引くと

8 1.7　三角関数の公式のまとめ 覚える必要があるのは，左上の式のみ あとは解き方を覚えておけばよい

9 2. オイラーの公式 2.1 オイラーの公式 オイラーの公式 電気，電子系で最も使われる公式の一つ 以下ではオイラーの公式を用いて
2.　オイラーの公式 2.1　オイラーの公式 電気，電子系で最も使われる公式の一つ オイラーの公式 以下ではオイラーの公式を用いて 三角関数の公式を導出してみよう

10 2.2 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(1)
2.2　オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(1) を計算する． 1．オイラーの公式より 2．オイラーの公式より 1と2の右辺の実部，虚部を比べて

11 2.3 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(2)
2.3　オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(2) 先と同様に を計算すれば，以下の公式が 導出される

12 2.4 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(3)
2.4　オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(3) さらに を計算する １． 2． １，２より実部と虚部を比較して

13 2.5 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(4)
2.5　オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出(4) を計算する １． ２． １と２より，虚部を比較すると

14 2.6 オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出のまとめ
2.6　オイラーの公式を用いた三角関数の公式の導出のまとめ 左の式をオイラーの公式を 用いて計算する （実部と虚部を比較する） 1.7の三角関数のすべての公式を導出できる

15 3.微分積分 3.1　基本的事項 微分 積分 ただしc1は積分定数

16 3.2　三角関数の微分積分 ここでは主に三角関数の微分積分を扱う． 微分 積分 c1は積分定数 符号を間違えないように

17 3.3 オイラーの公式を用いた三角関数の微分積分
3.3　オイラーの公式を用いた三角関数の微分積分 オイラーの公式を用いれば符号を考えずにすむ 微分 積分 実部虚部を比べると，3.2の内容と一致 よって，複数の微分積分を含む式を解く場合，青の枠線で囲った式を用いると便利である．（符号を気にする必要がないので）

18 掛け合わさった関数の微分について 偏微分（複数の変数が入っている場合） 3.4 微分に関する諸事項 片方ずつ微分して，足し合わせる
3.4　微分に関する諸事項 掛け合わさった関数の微分について 片方ずつ微分して，足し合わせる 偏微分（複数の変数が入っている場合） そのまま 微分 そのまま 微分 g(t)は，変数xを含まないので， xから見ると定数である． 定数の微分は0 xとは独立な変数tの関数

19 3.5 積分に関する諸事項 まず，以下の微分を考える． 移項する 積分はすべての関数で解けるとは限らない． 掛け合わさった関数の積分について
3.5　積分に関する諸事項 積分はすべての関数で解けるとは限らない． 掛け合わさった関数の積分について まず，以下の微分を考える． 移項する 両辺をxで積分する． （定積分を仮定して積分定数を省略する） この公式を用いれば，掛け合わさった関数の積分を解くことができる．（場合もある）

20 3.5の続き 例） ここで先ほど求めた公式を思い出す とする よって

21 4.微分方程式 （定数係数の2階線形微分方程式のみ）
ここで扱うのは定数係数の2階線形微分方程式のみ．係数が変数の場合はもっと複雑な計算となるので，これを計算したい場合は専門的な数学の教科書を参考にされたし． 定数係数の2階線形微分方程式の形 一般的な形 について計算する．

22 微分方程式の解法1-1 次の微分方程式を解く ・・・(式A) まず， と に置き換えて， の2次方程式
まず，　　と　　に置き換えて，　　の2次方程式 の根の性状に応じて三つの場合を区別する． (1) （式A）の一般解は

23 微分方程式の解法1-2 (2) （式A）の一般解は (2) （式A）の一般解は 注意

24 微分方程式の解法1-3 例題） 解答） 一般解は さらに， を代入する． したがって

25 付録 Taylor（テーラー）展開とオイラーの公式１
定理28　或る区間において，f(x)は第n階まで微分可能とする．然らばその区間において，aは定点，xは任意の点とするとき ただし， すなわち　　はaとxとの中間に或る値である． 「解析概論」61ページ

26 Taylor（テーラー）展開とオイラーの公式2 マクローリンの級数
１．　　をマクローリン展開しよう

27 マクローリン級数の続き 2．　　　　　をマクローリン展開しよう 3．　　　　　をマクローリン展開しよう

28 オイラーの公式の導出 ここではお馴染みオイラーの公式を導出する． スライド26の1より と置き換える 実部と 虚部に 分けて
前ページの2より 前ページの3より

29 オイラーの公式の導出 したがって，皆さんお馴染みのオイラーの公式が 導出される

30 sinc関数について 光の干渉波形を求めるときなどに良く使われるsinc関数について 定義 このsinc関数の を求めるには？
（このままでは分母分子が共に0となるので計算できない） マクローリン展開を使おう． これを使うと したがって

31 f(x)，g(x)が微分可能で，f(a)=g(a)=0の場合
sinc関数について　–別の解法– ロピタルの定理を使っても，sinc(0)の計算ができる． ロピタルの定理 f(x)，g(x)が微分可能で，f(a)=g(a)=0の場合 が成立する ロピタルの定理を用いると となる． 前頁の結果を参照