５ 図形と相似 １章　図形と相似 §４　平行線と線分の比 　　　　　　　　（５時間）.

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1 ５ 図形と相似 １章　図形と相似 §４　平行線と線分の比 　　　　　　　　（５時間）

2 §４ 平行線と線分の比 《板の分割１》 　次ような板を、幅が１：２：４になるように分割しなさい。

3 §４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

4 §４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

5 §４ 平行線と線分の比 《板の分割２》 　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

6 §４ 平行線と線分の比 《まとめ１》

7 §４ 平行線と線分の比 《まとめ１》

8 §４ 平行線と線分の比 《まとめ２》

9 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 平行線と線分の比
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC B C

10 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、
平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB＝AQ : QC

11 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、
平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB＝AQ : QC

12 《平行線と線分の比(1)の証明１》 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 4 : 12＝AQ : 9
4cm △APQ と △ABC で ∠APQ＝∠ABC P Q 12cm 9cm ∠AQP＝∠ACB ２角相等で、 △APQ∽△ABC B C 10.5cm よって、 AP : AB＝AQ : AC＝PQ : BC 各辺の長さを代入して、 4 : 12＝AQ : 9 4 : 12＝PQ : 10.5 12AQ＝4×9 12PQ＝4×10.5 4×9 AQ＝―――＝3 (cm) 12 4×10.5 PQ＝――――＝3.5 (cm) 12

13 《平行線と線分の比(1)の証明２》 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC △AP’Q’ と △ABC で
∠AQ’P’＝∠ACB A ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC B C P’ Q’

14 AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC
《平行線と線分の比(1)の証明２》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC Q” P” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC よって、 AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC

15 AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC
《平行線と線分の比(1)の証明２》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB＝AQ’ : AC AP’ : AB＝P’Q’ : BC P” Q” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC AP” : AB＝AQ” : AC＝P”Q” : BC

16 《P106 解答 ①》 A P Q B C

17 《平行線と線分の比(2)の証明》 点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 A P Q B R C A B

18 《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB＝AQ : PR PR＝QC AP : PB＝AQ : QC
点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 P Q △APQ と △PBR で ∠APQ＝∠PBR ∠PAQ＝∠BPR ２角相等で、 B R C △APQ∽△PBR よって、 AP : PB＝AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR＝QC したがって、 AP : PB＝AQ : QC

19 《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB＝AQ : PR PR＝QC AP : PB＝AQ : QC
点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 R △APQ と △PBR で ∠APQ＝∠PBR ∠PAQ＝∠BPR ２角相等で、 △APQ∽△PBR よって、 AP : PB＝AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR＝QC したがって、 AP : PB＝AQ : QC

20 《平行線と交わる直線》 AB : BC＝A’B’ : B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ (1) (2) A A’ B B’

21 《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE AD＝A’B’ , DE＝B’C’
　Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 A A’ B D B’ △ACE で、 BD // CE だから、 C E C’ AB : BC＝AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD＝A’B’ , DE＝B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

22 《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE AD＝A’B’ , DE＝B’C’
　Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 △ACE で、 BD // CE だから、 AB : BC＝AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD＝A’B’ , DE＝B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

23 《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》
　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ C C’

24 《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》
A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、

25 《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》
A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

26 《平行線と交わる直線(1)の証明（別解） 》
A B C A’ B’ C’ D 　A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC＝AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’＝A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC＝A’B’ : B’C’

27 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明１より、 A A’ AB : BC＝A’B’ : B’C’ B これより、 B’ AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ C C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’

28 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明１より、 AB : BC＝A’B’ : B’C’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ a : b＝a’ : b’ a : a’＝b : b’ さらに、

29 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明１より、 AB : BC＝A’B’ : B’C’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺を A’B’･B’C’ でわると、 AB BC ――＝―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’＝BC : B’C’ D D’ a : b＝a’ : b’ a : a’＝b : b’ さらに、 AB : A’B’＝BC : B’C’＝CD : C’D’

30 《P109 解答 ④》 p xcm 18cm zcm q 27cm 30cm r 9cm ycm 8cm s

31 (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC 線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC B C

32 (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 PQ // BC
線分の比と平行線 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 PQ // BC

33 (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、 線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB＝AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB＝AQ : QCならば、

34 《線分の比と平行線(1)の証明》 AP : AB＝AQ : AC PQ // BC △APQ と △ABC で ∠PAQ＝∠BAC
２辺の比と夾角相等で、 △APQ∽△ABC B C 相似な三角形なので、 ∠APQ＝∠ABC 同位角が等しいので、 PQ // BC

35 《線分の比と平行線(2)の証明》 AP : CR＝AQ : CQ AP : PB＝AQ : QC AP : PB＝AP : CR PB＝CR
点C から BA に平行な直線をひき、直線 PQ との交点を R とする。 R P Q △APQ と △CRQ で ∠PAQ＝∠RCQ ∠AQP＝∠CQR B C △APQ∽△CRQ ２角相等で、 AP : CR＝AQ : CQ よって、 また、仮定から、 AP : PB＝AQ : QC だから、 AP : PB＝AP : CR これらより、 PB＝CR PB＝CR , PB // CR だから、 四角形PBCRは平行四辺形、 したがって、 PQ // BC

36 《線分の比と平行線(2)の証明（別解）》 AP : PB＝AQ : QC AP : PB : AB＝ m : n : (ｍ＋n)
仮定より、 AP : PB＝AQ : QC P Q この比を、m : n とすると、 AP : PB : AB＝ m : n : (ｍ＋n) AQ : QC : AC＝ m : n : (ｍ＋n) よって、 B C AP : AB＝AQ : AC＝ m : (ｍ＋n) 平行線と交わる直線(1)の証明より PQ // BC

37 《P111 解答 ⑥》 O P R Q A C B

38 《P111 練習解答 ①》 A P D B E Q C R F

39 《P111 練習解答 ②》

40 END