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5 図形と相似 1章 図形と相似 §4 平行線と線分の比         (5時間).

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1 5 図形と相似 1章 図形と相似 §4 平行線と線分の比         (5時間)

2 §4 平行線と線分の比 《板の分割1》  次ような板を、幅が1:2:4になるように分割しなさい。

3 §4 平行線と線分の比 《板の分割2》  次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

4 §4 平行線と線分の比 《板の分割2》  次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

5 §4 平行線と線分の比 《板の分割2》  次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

6 §4 平行線と線分の比 《まとめ1》

7 §4 平行線と線分の比 《まとめ1》

8 §4 平行線と線分の比 《まとめ2》

9 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC 平行線と線分の比
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC B C

10 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC (2) PQ // BC ならば、
平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB=AQ : QC

11 (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC (2) PQ // BC ならば、
平行線と線分の比 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) PQ // BC ならば、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC (2) PQ // BC ならば、 AP : PB=AQ : QC

12 《平行線と線分の比(1)の証明1》 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC 4 : 12=AQ : 9
4cm △APQ と △ABC で ∠APQ=∠ABC P Q 12cm 9cm ∠AQP=∠ACB 2角相等で、 △APQ∽△ABC B C 10.5cm よって、 AP : AB=AQ : AC=PQ : BC 各辺の長さを代入して、 4 : 12=AQ : 9 4 : 12=PQ : 10.5 12AQ=4×9 12PQ=4×10.5 4×9 AQ=―――=3 (cm) 12 4×10.5 PQ=――――=3.5 (cm) 12

13 《平行線と線分の比(1)の証明2》 AP’ : AB=AQ’ : AC AP’ : AB=P’Q’ : BC △AP’Q’ と △ABC で
∠AQ’P’=∠ACB A 2角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB=AQ’ : AC AP’ : AB=P’Q’ : BC B C P’ Q’

14 AP” : AB=AQ” : AC=P”Q” : BC
《平行線と線分の比(1)の証明2》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’=∠ABC ∠AQ’P’=∠ACB 2角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB=AQ’ : AC AP’ : AB=P’Q’ : BC Q” P” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC よって、 AP” : AB=AQ” : AC=P”Q” : BC

15 AP” : AB=AQ” : AC=P”Q” : BC
《平行線と線分の比(1)の証明2》 A B C P’ Q’ △AP’Q’ と △ABC で ∠AP’Q’=∠ABC ∠AQ’P’=∠ACB 2角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’ : AB=AQ’ : AC AP’ : AB=P’Q’ : BC P” Q” △AP”Q” と △ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC AP” : AB=AQ” : AC=P”Q” : BC

16 《P106 解答 ①》 A P Q B C

17 《平行線と線分の比(2)の証明》 点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 A P Q B R C A B

18 《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB=AQ : PR PR=QC AP : PB=AQ : QC
点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 P Q △APQ と △PBR で ∠APQ=∠PBR ∠PAQ=∠BPR 2角相等で、 B R C △APQ∽△PBR よって、 AP : PB=AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR=QC したがって、 AP : PB=AQ : QC

19 《平行線と線分の比(2)の証明》 AP : PB=AQ : PR PR=QC AP : PB=AQ : QC
点P を通って、辺AC に平行な直線が BC と交わる点を R とする。 R △APQ と △PBR で ∠APQ=∠PBR ∠PAQ=∠BPR 2角相等で、 △APQ∽△PBR よって、 AP : PB=AQ : PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR=QC したがって、 AP : PB=AQ : QC

20 《平行線と交わる直線》 AB : BC=A’B’ : B’C’ AB : A’B’=BC : B’C’ (1) (2) A A’ B B’

21 《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC=AD : DE AD=A’B’ , DE=B’C’
 Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 A A’ B D B’ △ACE で、 BD // CE だから、 C E C’ AB : BC=AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD=A’B’ , DE=B’C’ したがって、 AB : BC=A’B’ : B’C’

22 《平行線と交わる直線(1)の証明》 BD // CE だから、 AB : BC=AD : DE AD=A’B’ , DE=B’C’
 Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’ との交点を、それぞれ D, E とする。 △ACE で、 BD // CE だから、 AB : BC=AD : DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD=A’B’ , DE=B’C’ したがって、 AB : BC=A’B’ : B’C’

23 《平行線と交わる直線(1)の証明(別解) 》
 A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC=AD : DC’ C C’

24 《平行線と交わる直線(1)の証明(別解) 》
A B C A’ B’ C’ D  A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC=AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’=A’B’ : B’C’ したがって、

25 《平行線と交わる直線(1)の証明(別解) 》
A B C A’ B’ C’ D  A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC=AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’=A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC=A’B’ : B’C’

26 《平行線と交わる直線(1)の証明(別解) 》
A B C A’ B’ C’ D  A , C’を通る直線を引き、直線BB’ との交点を、 D とする。 △ACC’ で、 BD // CC’ だから、 AB : BC=AD : DC’ また、△C’AA’ で、 DB’ // AA’ だから、 AD : DC’=A’B’ : B’C’ したがって、 AB : BC=A’B’ : B’C’

27 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明1より、 A A’ AB : BC=A’B’ : B’C’ B これより、 B’ AB・B’C’=A’B’・BC 両辺を A’B’・B’C’ でわると、 AB BC ――=―― A’B’ B’C’ C C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’=BC : B’C’

28 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明1より、 AB : BC=A’B’ : B’C’ これより、 AB・B’C’=A’B’・BC 両辺を A’B’・B’C’ でわると、 AB BC ――=―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’=BC : B’C’ a : b=a’ : b’ a : a’=b : b’ さらに、

29 ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、
《平行線と交わる直線(2)の証明》 A B C A’ B’ C’ (1)の証明1より、 AB : BC=A’B’ : B’C’ これより、 AB・B’C’=A’B’・BC 両辺を A’B’・B’C’ でわると、 AB BC ――=―― A’B’ B’C’ AB ―― は、AB : A’B’ の比の値であり、 A’B’ BC ―― は、BC : B’C’ の比の値であるから、 B’C’ AB : A’B’=BC : B’C’ D D’ a : b=a’ : b’ a : a’=b : b’ さらに、 AB : A’B’=BC : B’C’=CD : C’D’

30 《P109 解答 ④》 p xcm 18cm zcm q 27cm 30cm r 9cm ycm 8cm s

31 (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC 線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC B C

32 (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB=AQ : QCならば、 PQ // BC
線分の比と平行線 A B C △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB=AQ : QCならば、 PQ // BC

33 (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB=AQ : QCならば、 線分の比と平行線
△ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Q があるとき、 P Q (1) AP : AB=AQ : ACならば、 PQ // BC (2) AP : PB=AQ : QCならば、

34 《線分の比と平行線(1)の証明》 AP : AB=AQ : AC PQ // BC △APQ と △ABC で ∠PAQ=∠BAC
2辺の比と夾角相等で、 △APQ∽△ABC B C 相似な三角形なので、 ∠APQ=∠ABC 同位角が等しいので、 PQ // BC

35 《線分の比と平行線(2)の証明》 AP : CR=AQ : CQ AP : PB=AQ : QC AP : PB=AP : CR PB=CR
点C から BA に平行な直線をひき、直線 PQ との交点を R とする。 R P Q △APQ と △CRQ で ∠PAQ=∠RCQ ∠AQP=∠CQR B C △APQ∽△CRQ 2角相等で、 AP : CR=AQ : CQ よって、 また、仮定から、 AP : PB=AQ : QC だから、 AP : PB=AP : CR これらより、 PB=CR PB=CR , PB // CR だから、 四角形PBCRは平行四辺形、 したがって、 PQ // BC

36 《線分の比と平行線(2)の証明(別解)》 AP : PB=AQ : QC AP : PB : AB= m : n : (m+n)
仮定より、 AP : PB=AQ : QC P Q この比を、m : n とすると、 AP : PB : AB= m : n : (m+n) AQ : QC : AC= m : n : (m+n) よって、 B C AP : AB=AQ : AC= m : (m+n) 平行線と交わる直線(1)の証明より PQ // BC

37 《P111 解答 ⑥》 O P R Q A C B

38 《P111 練習解答 ①》 A P D B E Q C R F

39 《P111 練習解答 ②》

40 END


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