第 7 週目： 周波数伝達関数とボード線図 周波数伝達関数 ボード線図 TUT, System & Control laboratory 1/16

今週の授業の目的 今週の大きな目的 周波数伝達関数，ボード線図について学ぶ．周波数伝 達関数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力 を求めることができる．ボード線図は制御系を設計する 際に利用する．今週の授業内容は，制御系の応答を確認 する際や制御系を設計する際に重要なものである． 周波数伝達関数を学ぶ ボード線図の概念を学ぶ 積分要素のボード線図を学ぶ 微分要素のボード線図を学ぶ １次遅れ要素のボード線図を学ぶ ２次遅れ要素のボード線図を学ぶ むだ時間要素のボード線図を学ぶ 2/16 TUT, System & Control laboratory

周波数伝達関数（１） 伝達関数 G(s) で表される安定なシステムに，周波数  0 の正弦波 入力 を加えると，十分長い時間がたった後，すなわち，定常状態に おいて出力は， となる．このように，出力は入力と同じ周波数  0 をもつ正弦波 になる．ただし，その振幅は |G(j  0 )| 倍され，位相は∠ G(j  0 ) だ け遅れる． |G(j  0 )| を周波数  0 におけるゲイン，∠ G(j  0 ) を位相 角と呼ぶ．  0 をさまざまな値に変化させたときの入力 u(t) と，出力 y(t) の伝 達関数 G(s) (0<  <∞) を周波数伝達関数，あるいは周波数応答と 呼ぶ．これは伝達関数 G(s) において s=j  とおいて得られるもの である． |G(j  )| をゲイン特性，∠ G(j  ) を位相特性と呼ぶ． TUT, System & Control laboratory 3/16

周波数伝達関数（２） 例１：周波数 1Hz の正弦波入力で，ゲインは 0.5 ，位相角は 0deg の出力波形 4/16 例２：周波数 1Hz の正弦波入力で，ゲインは１，位相角は 180deg の出力波形 TUT, System & Control laboratory u(t)y(t)u(t)y(t) u(t)y(t)u(t)y(t) tt 位相角 0[deg] 位相角 180[deg] ゲイン：１ ゲイン： 0.5 例１例２

周波数伝達関数（３） ここで入力 u(t) から出力 y(t) を導出しておく．入力 u(t) ，出力 y(t) のラプラス変換をそれぞれ U(s) ， Y(s) とおく．定常状態を考える と， TUT, System & Control laboratory 5/16 が得られる．ただし， である．

周波数伝達関数（４） G(j  0 ) と G(-j  0 ) が，互いに共役な複素数であることに注意すれ ば， TUT, System & Control laboratory 6/16 となる．

周波数伝達関数（５） 逆ラプラス変換すれば， TUT, System & Control laboratory 7/16 ここで下記の公式を用いると，出力 y(t) が得られる． ただし，以下の関係を用いる．

周波数伝達関数（６） 例： 1+s s=j  と代入したとき，実部と虚部は， Re[G(j  )]=1 ， Im[G(j  )]=  となる．このとき，先の公式から， 8/16 の関係を得る．  =0.01 のとき  =1 のとき  =10 のとき 定常状態の出力は，このように明らかにできる．また，これ らの関係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び，続け て説明する． TUT, System & Control laboratory

ボード線図 周波数伝達関数 G(j  ) のゲイン特性 |G(j  )| と位相特性∠ G(j  ) を， 周波数  の関数として別々のグラフに図示したものをボード線 図という．横軸に角周波数  を対数目盛でとり，縦軸にゲイン の対数量 g(  )=20log 10 |G(j  )| dB で表わしたものをゲイン曲線， また，別のグラフに縦軸に位相角を  (  )= ∠ G(j  ) deg として表わ したものを位相曲線と呼ぶ．ボード線図は，広い範囲で詳細な 特性を表わすことができることから，フィードバック制御系の 解析や設計において広く用いられている． 積分要素，微分要素，１次遅れ要素，２次遅れ要素，むだ時間 要素のゲイン特性と位相特性の式，ボード線図を説明する．ま た，次回予定でボード線図の折線近似，１次遅れ要素，２次遅 れ要素のパラメータによるボード線図の違いや応答の違いを紹 介する． TUT, System & Control laboratory 9/16

ボード線図（積分要素） 積分要素 G(s)=1/s に対して s=j  とおくことで，周波数伝達関数は， TUT, System & Control laboratory 10/16 となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． -20dB/dec -90[deg] つまり，ゲインは  =1 のとき 0 であ り，  が 10 倍されるとき 20dB だけ減 少する．通常，ゲイン特性の直線の 傾きを表わすために， [dB/dec] とい う単位を用いる．よって，積分要素 のゲイン特性の傾きは -20dB/dec で ある．一方，位相は全体にわたって -90deg である．

ボード線図（微分要素） 積分要素 G(s)=s に対して s=j  とおくことで，周波数伝達関数は， TUT, System & Control laboratory 11/16 となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． 20dB/dec 90[deg] つまり，ゲインは  =1 のとき 0 であ り，傾きは 20dB/dec である．また， 位相は全体にわたって 90deg である．

ボード線図（１次遅れ要素） １次遅れ要素 G(s)=1/(1+Ts) に対する周波数伝達関数は， TUT, System & Control laboratory 12/16 となる． T を時定数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のよう に求まる．  T >1 のときには， g(  )=- 20log 10 (  T) となり，傾きは - 20dB/dec である．また，位相角は  → 0 のとき 0deg となり，  → ∞ のとき -90deg である．  T =1 のとき -45deg となる． T =1 -20dB/dec

ボード線図（２次遅れ要素）（１） TUT, System & Control laboratory 13/16 となる．  n を固有角周波数，  を減衰係数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と 位相特性は以下のように求まる． ２次遅れ要素 G(s)=  n 2 /(s 2 +2  n +  n 2 ) に対する周波数伝達関数は，  n =1,  =1 周波数が増加するにつれて，ゲイン 曲線は 0dB の直線から -40dB/dec の傾 きに，位相曲線は 0deg から -180deg に変化する． -40dB/dec

ボード線図（２次遅れ要素）（２） TUT, System & Control laboratory 14/16 減衰係数  の変化に対するボード線 図を下記に示す．減衰係数が小さ いとき固有角周波数のゲインに ピークが現れる． -40dB/dec 自動車が走行する道路として，①細かいでこぼこ道と②ゆっくりとしたで こぼこ道を考える．でこぼこ道から受ける力は外乱 f=sin  t と考えることが でき，①は  が大きいことに，②は  が小さいことに対応する．  が小さく， f(t) に  =  n の成分が含まれると，その成分の振動が増幅されるため，乗り心 地が悪くなってしまう．そこで，自動車の振動をやわらげるためには，車 体重量に合わせて，バネ，ダンパ係数を調整して，ゲイン特性に現れる ピークを抑える必要がある．方法としては，望ましいバネ，ダンパ係数を 持つアブソーバを使う方法（パッシブ制御）のほか，路面の状況に合わせ て，バネ，ダンパ係数を油圧や空気圧の力によって変化させる方法（アク ティブ制御）などがある． ２次遅れ要素の例として，自動車 のショックアブソーバがある（２ 回目，３回目資料参照）．分子の 係数は異なるがゲイン曲線の形状 は同じであることに注意する．

ボード線図（むだ時間要素） むだ時間 L のむだ時間要素 G(s)=e -sL にする周波数伝達関数は， TUT, System & Control laboratory 15/16 となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． L=1 とした場合のボード線図を示す． ゲインは常に 0dB であり，位相は  に比例して遅れる． L =1

課題 下記のシステムに u(t) =asin  t の入力を加えたときの時間応答 y(t) を求めよ． TUT, System & Control laboratory 16/16