1 『無限解析入門』 における誤差について １．『無限解析入門』の誤差とは？ ２．誤差に注目する理由 ３．ある誤差リストの解釈 ４．仮説の全体像 徳島大学工学部 高 橋浩樹

2 Leonhard Euler （１７０７－１７８３） 生誕３００周年 １．『無限解析入門』の誤差と は？ 「オイラーは人が息をするように、 また鷲が空を舞い遊ぶように、 見た目には何の苦労もなく計算した」 天文学者 フランソア・アラゴ

3 オイラーの解析三部作 著述 出版 『無限解析入門』 １７４５ １７ ４８ 『微分計算教程』 １７４８ １７ ５５ 『積分計算教程』 １７６３ １７ ６８～１７７０ ・『入門』には，数値データに 60 個を超える間違いが ある． ・単なる誤植や数値の表現（四捨五入・切捨て）と いった 理由ではないようである． 疑問 オイラーは数値計算が不得意だったの か？

4 log (1+ ｘ )/(1-x) のマクローリン展開を用いた計算

5 sin (m/n π/2) の マクローリン展開 プログラム

6 cos (m/n π/2) の マクローリン展開

7 tan (m/n π/2) cot (m/n π/2) の マクローリン展開

8 （ゼータ値の近似値） × （１－１／２ n ）

9 （ゼータ値の近似値） × １／２ n

10 素数ベキ和の近似値 ゼータ値の近似値を組 み合わせて求められる

11 ２．誤差に注目する理由 ゼータ関数に関わる 2 つの疑問 Ａ．ゼータ関数の「美しい関係」 なぜオイラーは，関数等式を美しいと 形容したのか？ Ｂ．ゼータ関数の特殊値 なぜオイラーは，特殊値を数多く計 算 したのか？

12 Ａ． 『美しい関係』（Ｅ３５２） 美しい？ 定義

13 注）１７４９年に 著述 太陽と月の記号

14 E117E117 [ 著述 1748, 出版 1749] Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a 年の金冠日食に関する文献 E142E142 [ 著述 1748, 出版 1750 以降 ?] Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil. 月の大気に関する推測 金冠日食の観測データ

15 解釈 上の式・・・太陽が月の背後に位置す る． 下の式・・・太陽の光の環がなおも輝 く． Ｚ（ｎ－１）／Ｚ（－ ｎ） Γ （ｎ）ｃｏｓ（ｎ π/ ２） πｎπｎ

16 E41 [ 著述 1735, 出版 1740.] バーゼル問題の解決 １２ までのゼータ値 ゼータ値 E101 [ 著述 1745, 出版 1748.] 『無限解析入門』 ・・・「いくつか書き添えておく」 ２６までのゼータ 値 ゼータ 値 E352 [ 著述 1749, 出版 1768.] 美しい関係 ・・・ 「計算した限りを示す」 ３４ まで のゼータ値ａ ｂ ｃ ゼータ値ａｂｃ B ． ゼータ関数の特殊値のリスト E212 [ 著述 1748, 出版 1755.] 『微分計算教程』 ３０までのゼータ値 ゼータ値

17 ゼータ関数の特殊値 ベルヌーイ数との関係（オイラーの発 見）

18 予測できる素数たち

19 予測が困難な素数たち 周期 p-1

20 分子に現れない素数 分子に現れる素数 正則素数 ２、３、５、７、１１、１３、 １７、１９、 ２３、２９、３１、４ １、・・・・・・ 非正則素数 ３７、５９、６７、１０１、１０３、１３１、・・・、 ２８３、・・・、５９３、・・・、６１７、・・・、 ６８３、６９１、・・・・・・ ⇔ B 0,B 2,B 4,…..,B p-3 のどの分子も p で割れな い。 ⇔ B 0,B 2,B 4,…..,B p-3 のどれかの分子が p で割れる。

21 疑問 ・６９１という素数が ζ （１２）に突如現れたことに 興味を抱かなかったのか？ ・３４までのゼータ値を求めたのに，最小の非正則 素数３７に気づかなかったのか？ 仮説 『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に， オイラーは非正則素数を書き記した． 基本的には，誤差の素因数として書き記した． 1998=54 ・ =472= 8 ・ =12 ・ 67= 公表しなかった理由は後述

22 60 を超える誤差の解釈 『無限オイラー解析』 現代数学社 この本はオイラーの問題集． 未発見の解答が残っている． 「理系への数学」（現代数学社） 9 月号より詳細な探究の連載 『オイラー数学の源流』 第 1 回 巨人オイラー 第 2 回 超越への助走

23 ３．ある誤差リストの解釈 sin と cos のマクローリン展開の係数の誤差リスト

24 気づくこと ・３１個中２８個もの誤差がある． ・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している． ・誤差は最終一桁の範囲に収まっている． ・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい． → 奇妙な数値データに思える． 偶然の間違いではなく，意図的なものではないか？ sin （正弦）， cos （余弦） －楽譜であれば，面白いだろう．

25 オイラーの公式 e ix =cos x+i sin x 係数を組み合わせて，元の指数関数の展開の順番で曲にする！ 演奏１ 楽譜への変換 - １－シ ０－ド １－レ ２－ミ ３－ ファ ４－ソ ５－ラ ６－シ ７－ド ８－レ 演奏０ どうすれば，曲になるのだろうか？

26 リズムの調整 賛美歌を参考

27 楽譜

28 オイラーの曲であると推測する理由

29

30 ４．仮説の全体像 『無限解析入門』がオイラーの問題集だとす ると，出題者の義務として解答集も残すだろ う． 解答集であると考えられる著作 E352 『美しい関係』 E343 『ドイツ王女への手 紙』

31 非正則素数と指数 （１０００まで）

32 ３年前に描いた非正則素数たちの宇宙 （ p cos (2πk/(p-1)), psin (2πk/(p- 1)))

33 E343 ドイツ王女への手紙

34 仮説の続き（公表しなかった理由） 非正則素数に関して，オイラーは神秘的な事実を見出し た． けれども，神秘の排除という学界の流れの中では， その事実の公表は立場上差し控えるべきだった． 他方，オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形で は 残しておきたかった． （ゼータ関数⇔天体 ⇔ ・・・） 1741 年 7 月 25 日 ロシアからベルリンに到着 ↓ 1748 年 7 月 25 日 金冠日食 1748 年 『無限解析入門』出版 問題集 ↓ 1768 年 『美しい関係』出版 解 答集１ 1768 年 『ドイツ王女への手紙』出版 解答 集２

35 仮説の反証可能性 ・誤差の生成理由を説明する． ・このような数値データは稀ではないこと を示す． （誤差が曲になり，しかも生成理由が説明 できないデータの例示）

36 参考 ｌｏｇ 10 5 の計算 log(ab) 1/2 =(log a+log b)/2