情報通信システム（ 2 ） 年 4 月 26 日 火曜日 午後 4 時 10 分～ 5 時 40 分 NTT-IT Corp. 加藤 洋一

千葉大学 2- 2 ＦＦＴ (Fast Fourier Transform) の実際的応 用 ＦＦＴは信号解析のための主要なツールの ひとつです。信号解析手法の一端に触れ、 考え方に慣れることが目標です。 3 回に渡って FFT の仕組みを理解します – 資料にはなるべく丁寧に式の展開を記述しまし たが、講義では適宜とばして説明します – フーリエ級数 > フーリエ変換 > 標本化定 理 > ディジタルフーリエ変換（ DFT ） > 高速フーリエ変換（ FFT ）の順に説明します まずはじめにちょっとした FFT のデモを行 います。

千葉大学 2- 3 最初の段階として周期的信号を扱います 「周期的信号」とは同じ波形が繰り返される信号のこと 繰り返しの周期は T （本講義では単位は秒、 1/T は 1 秒当 たりの振動数、つまり「周波数」となる） t 3T/2 5T/2 T/2 ０ -T/2 TTT この区間と同じ形の信号が（無 限の昔から）永遠に繰り返され ている。

千葉大学 2- 4 フーリエ級数 Gcalc で「波」について 確認 (Fourier1.gcd Phase and Amplitude, Frequency)

千葉大学 2- 5 フーリエ級数 上式は、周期関数（周期的信号）がサイン波とコサ イン波の足し合わせで表せることを示している。で は、 T/n の周期のサイン波の振幅 a n 、 コサイン波の 振幅 b n をどのように決めれば良いか求めてみよう。 その前に、三角関数の積分のおさらいを 少々。。。

千葉大学 2- 6 三角関数の積分（基本）

千葉大学 2- 7 三角関数の積の積分（ sin と cos ） 周期が T/n （ n>0 ）の Sin と Cos の掛けあわせ の積分は、積分範囲が -T/2 から T/2 （つまり 一周期）のときは０になる（ 0 から T 、 T から 2T でも同じ）

千葉大学 2- 8 三角関数の積の積分（ cos と cos ） 周期が T/n （ n>0 ）の Cos と Cos の掛けあわせの 積分は、積分範囲が -T/2 から T/2 のとき、 n=m のときは T/2 になる それ以外の時は０になる （積分範囲が 0 から T 、 T から 2T でも同 じ）

千葉大学 2- 9 三角関数の積の積分 (sin と sin) 周期が T/n （ n>0 ）の Sin と Sin の掛けあわせの積 分は、積分範囲が -T/2 から T/2 のとき、 n=m のときは T/2 になる それ以外の時は０になる （積分範囲が 0 から T 、 T から 2T でも同 じ） Gcalc で見てみよう (Fourier1.gcd: Integral)

千葉大学 フーリエ級数 (a n の導出 )

千葉大学 フーリエ級数 (a n の導出 )

千葉大学 フーリエ級数 (b n の導出 )

千葉大学 フーリエ級数 (b n の導出 )

千葉大学 フーリエ級数まとめ 数学的な厳密さには欠けるところもあります。詳しくは専門書をど うぞ。

千葉大学 フーリエ級数例題 周期１、振幅 0.5 の「のこぎ り」波のフーリエ級数を求め る。 のこぎり波を聞いてみよ う。 ちょっといやな音だ。。。

千葉大学 フーリエ級数例題（のこぎり波）

千葉大学 フーリエ級数例題（のこぎり波） Gcalc で確認 Fourie1.gcd Saw Shape

千葉大学 フーリエ級数例題（のこぎり波）

千葉大学 のこぎり波の級数を書き下すと。。。 T/2 -T/2 A -A n=8 まで合算 したところ

千葉大学 具体的な例 440Hz （「ラ」の音です）ののこぎり波をフーリエ級数展開します。振幅を 10,000 とし、周期は、 1/ 周波数ですので、約 2.27msec となります（ WaveGene で確認）。 440Hz のサイン波成分の振幅 ＝ Hz のサイン波成分の振幅 ＝ Hz のサイン波成分の振幅 ＝ Hz のサイン波成分の振幅 ＝ Hz のサイン波成分の振幅 ＝ ： msec 時間 振幅 saw_fourie.py というプログラム で、左記のようなサイン波を順に 加えて wave ファイルを作ってみ ました。加えるサイン波、そのサ イン波を加えた波、の順で録音さ れています。 n=20 まで加算し、 その後、正確なのこぎり波を録音 しました。

千葉大学 もうひとつ具体的な例：三角波 A -A 周期 =T T/2 -T/2 振幅 時間 Gcalc: triangle

千葉大学 閑話休題：奇関数と偶関数 msec 時間 振幅 A -A 周期 =T T/2 -T/2 振幅 時間 奇関数 [ f(x)=-f(-x)] であるのこぎ り波は sin の項だけを含み、偶関 数 [ f(x)=f(-x)] である三角波は cos の項だけを含む。 これは、 sin が奇関数であり、 cos が偶関数であることに起因して いる。 周波数１，２， ３，４のコサイ ン波 周波数１，２， ３，４のサイン 波

千葉大学 フーリエ級数まとめ t T/2 3T/2 -T/2 ０ -3T/2 TTT 重み b1 と基本周波数サイン波をかける 重み a1 と基本周波数コサイン波をかける 重み b2 と基本周波数 X2 サイン波をかける 重み a2 と基本周波数 X2 コサイン波をかける 重み b3 と基本周波数 X ３サイン波をかける 重み a3 と基本周波数 X ３コサイン波をかける ： ： 全て 加え る 周期的に繰り返す信号は、その繰り返しの周波数（基本周波数）の整数 倍のサイン波とコサイン波の全てに重みをかけたものの和に展開できる。 基本周波数 = 繰り返しの周期 １ １周期の平均値

千葉大学 フーリエ級数の複素表現（の準備、オイラーの公 式）

千葉大学 テイラー展開

千葉大学 テイラー展開

千葉大学 テイラー展開 Gcalc で確認してみよう fourier1.gcd: Tayler アニメで表示

千葉大学 テイラー展開（オイラーの公式の証明）

千葉大学 複素指数関数の性質 Real part Imaginary part (j) A B C D

千葉大学 フーリエ級数の複素表現

千葉大学 フーリエ級数の複素表現 というシンプル な式で表せる （次のページの用意）

千葉大学 フーリエ級数の複素表現

千葉大学 フーリエ級数の複素表現

千葉大学 複素フーリエ級数の例題 幅 kT 、振幅 1/k のステップ関数

千葉大学 複素フーリエ級数の例題 Gcalc で確認 fourier1.gcd: Step Shape これはどういう意味か？基本周期 T の 1/n の波を全て同じ量だけ（つまり振幅 が同じ）足し合わせると、周期 T のインパルスとなる。逆にいうと、インパ ルスは、全ての周期の波を等しく含んでいる。