池内研究室 Computer Vision Laboratory 東京大学 The University of Tokyo 偏光レイトレーシング 宮崎大輔 2004 年 6 月 22 日（火） CVL セミナー

CVL Seminar /June/22発表の流れ 1. レイトレーシング法（スライド３ 枚） 2. 偏光（スライド３枚） 3. ミュラー計算法（スライド１５枚） 4. 偏光レイトレーシング法（スライド約３枚）

池内研究室 Computer Vision Laboratory 東京大学 The University of Tokyo １．レイトレーシング法 ray tracing algorithm 光線追跡法 視線探索法

CVL Seminar /June/22アルゴリズム 以下を各画素で計算 1. 視線は画素を通って物体に向 かう 2. 交差する物体があるなら視線 と物体の交点を求める．交差 する物体が複数あるなら全て の物体について交点を求める 3. 視線と交点との距離を求め， 最も視点に近い物体を選ぶ 4. 輝度を計算 5. 反射方向・屈折方向を求め， これらの方向を視線とみなし て 2 から再び実行

CVL Seminar /June/22反射光・透過光ベクトルの計算方法 反射光ベクトル 透過光ベクトル ただし N -N V R T θ1θ1 θ1θ1 θ2θ2 n1n1 n2n2 視線方向や 入射光 反射方向や 反射光 透過方向や 透過光 g は正 g が実数でないときは全反射 表面法線

CVL Seminar /June/22輝度の計算 スネルの法則 反射率 透過率 フレネルの公式 θ1θ1 θ1θ1 θ2θ2 n1n1 n2n2 視線方向や 入射光 反射方向や 反射光 透過方向や 透過光 表面法線

池内研究室 Computer Vision Laboratory 東京大学 The University of Tokyo ２．偏光 polarization

CVL Seminar /June/22偏光 偏光には２種類ある – 直線偏光 – 円偏光 ここでは直線偏光のみを扱う 偏光板 物体 空気 入射光 反射光 法線 透過光  入射角反射角 光源 非偏光 ( 偏光度 0) 完全偏光 ( 偏光度 1) 部分偏光 ( 偏光度 0~1)

CVL Seminar /June/22偏光の様子 入射光 反射光 透過光 法線 非偏光 部分偏光 媒質１ 媒質２ n1n1 n2n2 θ1θ1 θ1θ1 θ2θ2 // 方向 ⊥方向 方向によって明るさが違う ＝光の振動方向に偏りが出る ＝偏光している // 方向 ⊥方向 // 方向 ⊥方向

CVL Seminar /June/22反射率・透過率 反射率 透過率 スネルの法則 n1n1 n2n2 θ1θ1 θ1θ1 θ2θ2

池内研究室 Computer Vision Laboratory 東京大学 The University of Tokyo ３．ミュラー計算法 Mueller calculus

CVL Seminar /June/22偏光の計算 光の偏光状態を計算する方法には以下のような方 法がある – 先程の計算のみを使って行う –coherence matrix を使う – ミュラー計算法 – ジョーンズ計算法 –Chipman の方法

CVL Seminar /June/22ストークスベクトル 光の偏光状態を表す ４次元ベクトルだが４つ目の要素は円偏光に関す るものなのでここでは最初の３つの要素だけを使 い，３次元ベクトルとして扱う 輝度を表す 0° の偏光の強さを表す 45° の偏光の強さを表す 正規化 （一つ目の要 素を１にする） ストークスベクトル ストークスベクトルの例 正規化された ストークスベクトル

CVL Seminar /June/22ストークスベクトルの例 非偏光完全偏光 0° 完全偏光 45° 完全偏光 90° 完全偏光 135° 90° 方向の強さと 0° 方向の強さが 1:2 の部分偏光

CVL Seminar /June/22ミュラー行列 物質が光の偏光状態をどのように変えるかを表す 4x4 行列だが円偏光は使わないので，左上 3x3 だ けの 3x3 行列として扱う ストークスベクトル s の光が物質と反射や透過を して出てきた光のストークスベクトル s' は，以下 のように計算できる M はミュラー行列 ストークス ベクトル s の 光 ストークスベク トル s'=Ms の光 ミュラー行列 M で光の偏光状 態を変える物 質

CVL Seminar /June/22ミュラー計算の例 ストークスベクトル s 1 を持つ光とストークスベク トル s 2 を持つ光が合わさった光のストークスベク トル s' は ストークスベクトル s の光がミュラー行列 M 1 を持 つ物質を透過したあと，ミュラー行列 M 2 を持つ 物質を通って出た光のストークスベクトル s' は

CVL Seminar /June/22ミュラー行列の例 真空完全吸収板明るさを半分 にするフィル タ 偏光を解消する 理想拡散板 偏光板 0° 偏光板 90° 偏光板 45° 偏光板 135°

CVL Seminar /June/22ミュラー行列の計算例

CVL Seminar /June/22回転行列 回転行列

CVL Seminar /June/22回転行列の計算例 完全偏光 30° 完全偏光 0° 回転行列 30° 偏光板 0° 偏光板 30° 回転行列 30° 回転行列 -30°

CVL Seminar /June/22回転行列の使用例 s s'=M's M' 0° のときのミュラー行列 M は分かるが 角度 α のときのミュラー行列 M' が分からない時 α M 0° のときのミュラー行列が使える -α 回転 sU(-α)s -α 回転 α 回転 MU(-α)s s'=U(α)MU(-α)s

CVL Seminar /June/22反射・透過を表すミュラー行列 反射を表すミュラー行列 透過を表すミュラー行列 ただし n1n1 n2n2 θ1θ1 θ1θ1 θ2θ2

CVL Seminar /June/22 反射平面が角度 α だけずれている場合 αα 正面から見た図 s s'=R's R' α R -α 回転 sU(-α)s -α 回転 α 回転 RU(-α)s s'=U(α)RU(-α)s

CVL Seminar /June/22２回反射した場合 β α -β 回転 β 回転 -α 回転 α 回転 s U(-β)sR 1 U(-β)s U(β)R 1 U(-β)s R1R1 R2R2 U(-α)U(β)R 1 U(-β)s R 2 U(-α)U(β)R 1 U(-β)s s' s'=U(α)R 2 U(-α)U(β)R 1 U(-β)s

CVL Seminar /June/22局所座標を利用した場合 γ＝β－αγ＝β－α α γ 回転 α 回転 sR1sR1s R1R1 R2R2 U(γ)R 1 sR 2 U(γ)R 1 ss' s'=U(α)R 2 U(γ)R 1 s y x α 回転 y x γ 回転 y x γ α

CVL Seminar /June/22計算方法 レイ レイと法線が重なる場合，すなわち の場合 を解き， p,q,r を求める（ r=0 ） を解き， α を求める

池内研究室 Computer Vision Laboratory 東京大学 The University of Tokyo ４．偏光レイトレーシング法 polarization ray tracing

CVL Seminar /June/22偏光レイトレーシング レイトレーシング – レイの反射・透過する方向を計算する – 輝度を計算する 偏光レイトレーシング – レイの反射・透過する方向を計算する – ミュラー計算法で光の偏光状態を計算する 光の偏光状態を計算するレイトレーサには 1.LightTools, 2.ZEMAX, 3.OptiCAD, などが市販されている

CVL Seminar /June/22 NiNi θ1θ1 V1V1 L1L1 PiPi V2V2 NjNj θ2θ2 L2L2 PjPj θ1θ1 θ2θ2 この図の場合で計算の例を示す ２点までレイを追跡した例 ベクトルは全て単位ベクトルとする

CVL Seminar /June/22 NiNi θ1θ1 V1V1 L1L1 PiPi V2V2 NjNj θ2θ2 L2L2 PjPj θ1θ1 θ2θ2 出力のストークスベクトル は以下のように計算できる 物体の屈折率 は与えられているとする 方向 にある光源のストークスベクトルを返す関数 光源は非偏光とする（非偏光でなければ回転行列をもう一つかける） 光源環境は既知とする

CVL Seminar /June/22 NiNi θ1θ1 V1V1 L1L1 PiPi V2V2 NjNj θ2θ2 L2L2 PjPj θ1θ1 θ2θ2 ミュラー行列は以下のように計算できる

CVL Seminar /June/22 NiNi θ1θ1 V1V1 L1L1 PiPi V2V2 NjNj θ2θ2 L2L2 PjPj θ1θ1 θ2θ2

CVL Seminar /June/22 NiNi θ1θ1 V1V1 L1L1 PiPi V2V2 NjNj θ2θ2 L2L2 PjPj θ1θ1 θ2θ2 j はレイを追跡して求める 離散的なパッチの場合， = ではなく≒

CVL Seminar /June/22 NiNi V1V1 V2V2 NjNj

CVL Seminar /June/22レイトレの実装 略記 初期設定 点１にて 点２にて 点３にて 点４にて 点 i （ i≠1 ）にて 点１ 点２ 点３ 点４

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