Large N reduction on group manifolds 土屋麻人（静岡大） 「弦理論研究会」＠立教大学 2010 年 1 月 6 日 川合光氏（京大 ) 、島崎信二氏（京大）との共同研究 arXiv: , 1001.xxxx

Introduction  Large N reduction の基本的主張 Eguchi-Kawai (’82) ラージ N ゲージ理論はそれを低次元に次元還元することによって得られる行列模型 と等価  概念的に重要 行列の自由度からの時空の出現  実用上 重要 格子理論に代わるラージ N ゲージ理論の 非摂動的定式化 特に超対称ゲージ理論  今まで flat space-time で調べられてきた。 cf.) S 3 への拡張、特に N=4 SYM on RxS 3 の非摂動的定式化 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08)  曲がった時空への拡張は？ 行列模型における曲がった時空の記述 cf.)Hanada-Kawai-Kimura(’06) flat space-time での実用上の問題点を解決  ここでは、群多様体および coset 空間上で成り立つことを示す。 通常 large N reduction は運動量空間で説明されるが、実空間で再考すること によりこの拡張が簡単になる。 bi-local field theory

目次 1.Introduction 2.Bi-local field theory interpretation of reduced model 3.Large N reduction on group manifolds 4.Large N reduction for N=4 SYM on RxS 3 and the AdS/CFT duality 5.Summary and outlook

Scalar phi^3 theory on R d : NxN エルミート行列 Propagator Planar (’t Hooft) limit Action Vertex

Scalar phi^3 theory on R d (cont’d) Free energy at the two-loop level suppressed Non-planar Planar

Large N reduction Rule Reduced model : R d 上の関数の空間に作用するエルミート演算子 : 座標基底

Large N reduction (cont’d) R d 上の関数の空間 Familiar form N 次元ベクトル空間 運動量のカットオフ Λ を導入し、 とおく : NxN エルミート行列 を対角化する基底をとる 実空間の体積 実空間は N 個の体積 のセルに分割 が一様に分布

Reduced model as a bi-local field theory Bi-local field theory Change of variables

Perturbative expansion in real space Propagator 両端は particle として伝搬する 相対座標 は保存する 両端は平行移動される Vertex

Free energy at the two-loop level Planar

Free energy at the two-loop level (cont’d) Non-planar planar diagram に比べて 1/V 2 で suppress される

Correspondence b/w reduced model and original theory Free energy の対応 相関関数の対応 Limit in reduced model reduced model は original theory の planar 極限を再現する

トーラスの体積 V が有限 1/V による suppression がない Large N reduction on Torus T d トーラス上の関数の空間 n 次元ベクトル空間 とおき、運動量のカットオフ を導入 n 次元ベクトル空間と k 次元ベクトル空間のテンソル積空間を導入 テンソル積空間の次元 : N=nk はテンソル積空間に作用 Reduced model での極限 Non-planar diagram は 1/k 2 以上で suppress されて、 reduced model は original theory の planar 極限を再現する

Large N reduction for gauge theory Apply the rule to the field strength Reduced model of YM theory は の background と解釈される Background は０次元 massless 場によって不安定 quenching SUSY と両立しない ! Gross-Kitazawa (’82)Bhanot-Heller-Neuberger (’82) YM 理論の０次元への次元還元

Notes on group manifolds Lie group G: コンパクト連結リー群 : G 上の関数の空間の座標基底 : G のリー環の基底 左移動 右移動 G 上の関数 に対して Left and right translations

Notes on group manifolds (cont’d) 右不変キリングベクトル Killing vectors 左不変キリングベクトル 微分演算子として 交換関係 左移動の生成子 右移動の生成子

Notes on group manifolds (cont’d) Invariant 1-forms 右不変 1 形式 左不変 1 形式 Maurer-Cartan equation Right and left invariant metric Haar measure 両側不変 体積

Notes on group manifolds (cont’d) オイラー角 S 3 の isometry 右不変キリングベクトル 右不変 1 形式 両側不変計量 Example: SU(2)=S 3 Haar 測度 S 3 の半径 2

Scalar phi^3 theory on G GxG 対称性をもつ Propagator : NxN エルミート行列、各要素は G 上の関数 Vertex

Large N reduction on G Rule : テンソル積空間に作用するエルミート演算子 G 上の関数の空間と k 次元ベクトル空間のテンソル積空間を考える Reduced model 省略

Reduced model as a bi-local field theory Bi-local field theory Change of variables : G 上の bi-local kxk matrix field Haar 測度は不変

Perturbative expansion Propagator Haar measure のもとでのデルタ関数 flat space のときと、同じ構造をもつ Large N reduction は G 上で成り立つ 摂動展開は flat space のときと、並行に進む

UV regularization G 上の関数の空間は G の正則表現の表現空間と同一視される Peter-Weyl の定理 r は G の既約表現をラベル : r 表現での の表現行列 UV カットオフ の導入し、 を定義 r の和を に制限 GxG 対称性を保つ : r 表現の次元

Correspondence b/w reduced model and original theory : NxN エルミート行列 Free energy の対応 相関関数の対応 に対して GxG 対称性 をもつ 極限 パラメータ 作用 G 上の関数の空間～ n 次元ベクトル空間 全体の行列のサイズ セルの体積 reduced model は original theory の planar 極限を再現する

Example: G=SU(2)=S 3 極限 SO(4)=SU(2)xSU(2) を保つ正則化

Another background for S 3 SU(2) を保つ正則化 極限 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) S 3 ~S 2 上の S 1 束 : S 2 上の運動量カットオフ : S 1 上の運動量カットオフ

Gauge theories on group manifolds ゲージ場 1 形式を展開し、 Maurer-Cartan equation を使う YM action Reduced model background を吸収 YM action の次元還元 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) は古典解

Gauge theories on group manifolds (cont’d) ゲージ対称性 ゲージ対称性と SUSY と GxG 対称性を保つ正則化 G が半単純なら理論は massive 、摂動展開の全次数で background は安定 他の古典解への tunneling は で suppress される quenching などの remedy 必要なし。ただ、 background の周りで展開するだけ 随伴表現の物質場に対しても同じ吸収 次元還元

Chern-Simons-like theories on group manifolds Poincare 双対性より を調整して ゲージ対称性 Reduced model の周りで展開

Chern-Simons-like theories on group manifolds (cont’d) G=SU(2) の場合、 S 3 上の pure Chern-Simons theory になる をとったとき、分配関数や unknot Wilson loop の期待値の planar limit を再現することを陽に示せる。 Ishiki-Shimasaki-A.T. (’09)

Large N reduction on coset spaces H: G の部分リー群 H G/H G/H 上の理論を得るための拘束条件 または ゲージ場についても同様 Reduced model の変形 例 S 4 =SO(5)/SO(4) 上のゲージ理論 体積 ∞ 極限で R 4 上の理論？

N=4 SYM on RxS 3 conformal mapping により、 N=4 SYM on R 4 に等価 10 次元の notation で Reduced model plane wave matrix model (Berenstein-Maldacena-Nastase (’02)) の形 時間方向は連続 SU(2|4) 対称性 （ 16 supercharges ） PSU(2,2|4) 対称性 （ 32 supercharges ）

Background ゲージ対称性と SU(2)xSU(2|4) を保つ正則化 保っている SUSY の数最大 ゲージ対称性と SU(2|4) を保つ正則化 保っている SUSY の数最大

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops Locally BPS Wilson loop in N=4 SYM Corresponding Wilson loop in the reduced model C λ が大きいとき重力側で AdS 5 の境界 Maldacena (’98) S は極小局面の面積 は または の周りで展開

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops (cont’d) R4R4 large 重力側の予言と一致 R 4 でファインマンゲージ +planar ladder 近似 Localization Pestun (‘07) Reduced model で R 4 におけるファインマンゲージに相当する ゲージをとり、 planar ladder 近似を適用すると上の結果を再現する Ishiki-Shimasaki-A.T. Circular Wilson loop ( globally half-BPS) Rectangular Wilson loop (non-BPS) R4R4 W-boson potential λ が大きいとき重力側からの予言 λ が小さいときゲージ理論での結果 reduced model で再現 Erickson et. al.(’00) 数値シミュレーションで再現 → AdS/CFT の非自明な検証 Honda-Ishiki-Nishimura-A.T.

Testing AdS/CFT duality: chiral primary operators Chiral primary operator traceless symmetric reduced model では 対応 例えば 4 点 non-extremal を数値シミュレーションで求め ることにより、 AdS/CFT の非自明な検証ができる Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T.

まとめ 群多様体上で large N reduction が成立することを示した。 coset 空間上の理論を得るための、 reduced model の変形 を与えた。広い意味で coset 空間上でも large N reduction は成立 群多様体上および coset 空間上の Chern-Simons-like theory を構成し、その reduced model を与えた。 N=4 SYM on RxS 3 の large N reduction を用いて、 AdS/CFT 対応の検証を提案した。 展望 非コンパクトの場合 一般の多様体 N=4 SYM の数値シミュレーション、解析的手法の開発 Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. 重力、弦理論