π ～計算法の変遷～ 2006 年２月１７日 明治大学理工学部数学科 鎌田 伊織 吉本 清夏

円周率の計算法の歴史 円に内接・外接する正多角形の周長の利用 ( アルキメデス （ BC3C ） ・関 孝和 （１７ C ） ・ 建部 賢弘 （１８ C) ） 逆正接関数 (Arctan) の Taylor 展開の利用 （ Leibniz （１５ C) ・ Sharp （（１ ７ C) ・ Machin （１８ C) ) ＡＧＭ ( 算術幾何平均 ： Arithmetic Geometric Mean ) (Salamin-Brent による Gauss-Legendre 法 （１９７６） ・ Borwein 法） ＤＲＭ（分割有理数化 : Divide and Rationalize Method ） （後 保範 （１９９８） ＆ 金田 康生 （２００２） ）

Arctan 級数とは？ の両辺を微分すると, 項別積分することで, Arctan の Taylor 展開が得られる. 実は, ｘ＝ 1 でも成立し, Leibniz 級数を得る. （１） x ＝ とすると, Sharp の公式が得られる. （２） ・ （１）は収束速度が非常に遅く, 効率が悪い ・ （２）は（１）よりはずいぶん速くなる ・ 長い年月をかけて多くの人々が競って計算するようになった

Arctan 級数の公式 1/2 Machin (1706) （当時の最高記録１００桁を求め, その後 多くの人に利用された. ） Euler (1737 ） (1755)

Arctan 級数の公式 2/2 Gauss (1863) ( おそらく３項公式 で最高効率） （１９８５年にフェルトンによって１ 万２１桁を得た） 高野喜久雄 (1982) （２００２年に世界一の１兆２４００億桁を達成した公 式！）

実験結果 1/3 ＊ S （ ｊ ）＝各公式における Taylor 展開の第 ｊ 部分 和 ＊横軸 ＝項数 ｊ ＊縦軸 ＝ π と S( j ) の誤差の log 10 をとっ たもの ・ ■ マチンの公式 ・ ■ オイラーの公式① ・ ■ オイラーの公式② ・ ■ ガウスの公式① ・ ■ ガウスの公式② ・ ■ 高野喜久雄の公式 部分和の項数 ｊ と 誤差 log １０ （ π － S （ ｊ ）） との関係

実験結果 2/3 ＜グラフからわかったこと＞ 傾きは, それぞれの公式において最も収束速度が遅い項による （収束速度は Arctan （ｘ）の｜ｘ｜が大きい ほど遅くなる） Arctan （ｘ）の｜ｘ｜が大きい項をもつ公式ほど, | 傾き | が小さ い 傾きと｜ｘ｜の log 10 値を比べてみる ＊ 傾きは log 10 （ｘ ）の ２倍 に なっている ＊ 次に, この関係を調べ る Arctanx の ｜ｘ｜ 傾き １ / 2 －0.6－0.6 － / 5 －1.4－1.4 － / 7 －1.7－1.7 － / 18 －2.5－2.5 － / 38 － 3.16 － / 49 － 3.24 － 1.690

実験結果 3/3 ＜ Machin の公式（ ）を例にとって考え る＞ とおき, Taylor 展開をすると, となる. また, j での部分和は, よって, π と j での部分和との誤差は, 対数をとると よって,log 10 x の２倍が傾きになると考えられる.

算術幾何平均とは・・・ ・ のことを昔は算術平均・幾何平均と呼 んでいた． ・ とし、 ・数列｛ ｝と｛ ｝は共通の極限に収束する． ・この値を と の算術幾何平均 (arithmetic- geometric mean) と呼び、 で表す．

背景１ / ３ ＜ Legendre の関係式＞ （ⅰ）第一種完全楕円積分 第二種完全楕円積分 の間に成り立つ Legendre の関係式

背景２ / ３ ＜ Gauss,“the fundamental limit theorem” ＞ 第一種完全楕円積分、第二種完全楕円積分の二変数版を で定めると、 が成り立つ．ただし、

背景３ / ３ Legendre の関係式で の時、 であるので、 ①に②を代入して、

ガウス・ルジャンドルの公式 として、 以下の反復式を と の差が所要桁以上に なるまで計算する． 所要桁になったら円周率は、 ≒ と求められる．

＝ と ≒ 関係 ・ ・ ガウ ス・ルジャンドルの公式より また、

誤差の減少の速さ n π との誤差 １ E-0003 ２ E-0009 ３ E-0019 ４ E-0041 ５ E-0084 ６ E-0171 ７ E-0345 ８ E-0694 ９ E E-1000 f i g.π との誤差 ＜縦軸： 横 軸：回数ｎ＞

まとめ 今回は取り上げられなかったが、ボールウェイ ンの４次式では計算精度が４倍である 現在の世界記録は高野喜久雄の（Ａｒｃｔａ ｎ）公式とＤＲＭ法を使って，２００２年１１ 月に後 保範氏＆金田 康生氏によって計算さ れた約１兆２４００億桁！ 今後もコンピュータの発達により π の計算記録 の樹立は変わってくると考えられる

参考文献 （１） Ｅ．ハイラー, Ｇ．ワナー 著, 蟹江幸博 訳, 解析教程 上, シュプリンガー・フェアラーク東京 （１９９７） （２） 桂田祐史, π ノート, 明治大学数学科助教授 （２００ ４） （３） 清水康生, π の数値解析, 明治大学数学科 ２００３年度 卒業研究レポート （２００４） （４） ペートル・ベックマン 著, 田尾陽一, 清水韶光 訳, π の 歴史, 蒼樹書房 （１９７３） （５） 数学文化, Ｖｏｌ. １, 日本数学協会 （２００３） （６）金田康正, π のはなし, 東京書籍 （１９９１） （７） 梅村浩, 楕円関数論, 東京大学出版会 （１９９９） （８）ドゥラエ・ジャン＝ポール（Ｊｅａｎ－Ｐａｕｌ Ｄｅ ｌａｈａｙｅ）著, 畑政義 訳, π- 魅惑の数, 朝倉書店 （２００ １） 御静聴ありがとうございました。