特別講義 II (c) － 計算ファイナンスの基礎 － 2009 年 10 月 21 日 山本有作

はじめに 数理ファイナンスにおける課題 金融取引（株式売買，為替取引，融資など）に伴う リスクを数学モデルにより定量的に求めてその低減 を図り，効率的に利益を得る方法を追求する。 実際の問題では，解析的に解を求めることが困難な場 合が多い。 数値計算により解を求める計算ファイナンスが重要

計算ファイナンスのテーマ 資産価格のモデル化 株価，為替レート，金利などはどのように時間変化す るか。 その統計的な法則を調べ，モデル化する。 デリバティブの設計・価格計算 市場変動による損失を回避するための，デリバティブ （金融派生証券）と呼ばれる商品群がある。 デリバティブを設計し，その経済学的に妥当な価格を 計算する。

計算ファイナンスのテーマ リスク管理 金融取引に伴う様々なリスクを定量的に評価 市場リスク： 資産価格の変動による損失の可能性 信用リスク： 貸し倒れによる損失の可能性 資産運用最適化 様々な種類の資産（株式，国債，外貨など）を組み 合わせることにより，最小限のリスクで最大限の利 益を得られる運用方法を求める。

授業の目標 代表的なデリバティブであるオプションについて学ぶ。 資産価格のモデル化とシミュレーションの技法について 学ぶ。 上記を用いてオプションの価格計算を行う。

授業の構成 第１章 オプションとは 市場変動によるリスク オプションによるリスク回避 様々なオプション オプションの価格計算： 1 期間 2 項モデル 第２章 確率論の基礎 ブラウン運動 ブラウン運動から生成される確率過程 確率微分方程式

授業の構成 第３章 ブラック・ショールズの資産価格モデル 安全資産のモデル 危険資産のモデル 伊藤の公式 資産価格モデルの解析解 第４章 ブラック・ショールズの偏微分方程式 ブラック・ショールズの偏微分方程式 ブラック・ショールズのオプション価格公式

授業の構成 第５章 差分法によるオプション価格計算 問題設定 陽的差分法 陰的差分法 演習課題

参考書 今野浩： 「金融工学の挑戦」，中公新書， P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne （伊藤 幹夫，戸瀬信之訳）： 「デリバティブの数学 入門」，共立出版， P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison ： “ Option Pricing ” ， Oxford Financial Press, 森真： 「なっとくする数理ファイナンス」， 講談社， 2001.

連絡先 山本有作 居室： 工学部本館 C ： 電話： 内線 6342

株価の時間変化の例 トヨタの株価 2008 年 1 月～ 2009 年 10 月の 22 ヶ月間

為替レートの時間変化の例 ドル／円の為替レート 2008 年 1 月～ 2009 年 10 月の 22 ヶ月間

株価・為替レートデータの入手先 Yahoo! ファイナンス 最大 10 年間のグラフが見られる。

１. オプションとは オプションとは 将来のある時点で，特定の価格で金融商品を売買する権利 対象となる金融商品： 株式，債券，外貨， etc オプションの例 １年後にトヨタの株を 3500 円で売却する権利 --- プットオプショ ン ３ヵ月後に１ドルを 120 円で購入する権利 --- コールオプション 資産価格 S t 時間 t 満期 T 行使価格 K S T – K > 0 : 権利を行使 S T – K < 0 : 権利を行使しない。 （市場で購入したほうが得） S T – K 円の利益

オプションから得られる利益（ペイ オフ） プットオプション コールオプション 満期での資産価格 S T K K ペイオフ 満期での資産価格 S T K K ペイオフ 0 0 ペイオフ = max (S T – K, 0) ペイオフ = max (K – S T, 0)

１. オプションとは オプションの用途 将来のキャッシュフローを現時点で確定させる。 これにより，市場変動によるリスクを回避する。 例： コールオプションによる為替リスクの回避 ３ヵ月後に，ある原材料をアメリカから輸入したい。 購入代金は，その時点にならないと用意できない。 しかし予算は １ドル = 90 円 を前提として組んでおり，万一 ３ヵ月後の時点で円が大きく下がっていると，赤字となる。 満期 T = ３ヶ月，行使価格 K = 90 円 のドルのコールオプション を購入することにより，為替リスクを回避可能。

１. オプションとは オプションの種類 ヨーロピアンオプション 満期 T においてのみ権利行使が可能なオプション 前のスライドで説明したオプションはこのタイプ。 アメリカンオプション 満期 T までの間のいつでも権利行使が可能なオプション 市場で取引されるオプションの大多数はこのタイプ。 この時点でのみ行使可能 StSt t T K この期間にいつでも行使可能 StSt t T K 価格が下落して権利が無駄に なりそうだと予測すれば， の時点で行使可能

１. オプションとは オプションの種類（続き） バリアオプション 資産価格がある範囲を越えた場合に権利が無効になるオプション ヨーロピアンタイプ，アメリカンタイプの両方がある。 ルックバックオプション 満期 T において，期間 [0, T] 中の最安値で資産を購入できるオプ ション StSt t T K StSt t T K バリアレベル の時点でオプション無効化 の時点での価格で購入可

１. オプションとは オプション市場の拡大 国内のデリバティブ市場は 420 億ドル規模（日銀調査による） オプションの多様化 金融以外の商品に対するオプション 原油，銅，大豆， etc 天候デリバティブ リアルオプション 事業価値，特許価値などの評価

２. オプションの価格評価 オプションの価格 オプションの買い手： 自分が利益を得られる場合にのみ，権利 行使。 オプションの売り手： 自分が損する場合でも，行使価格で商品 を売る （買う）義務がある。 オプション契約が成立するには，買い手が売り手に対し，代価 （ = オプションの価格）を支払う必要あり。 オプションの価格評価 経済学的に妥当なオプションの価格を求める。 本講義の主題

オプション価格の例 IBM 株に対するオプション（ 2004 年４月満期）

ブラウン運動のシミュレーション [0,1] を 1000 分割した計算

ドリフトを持つブラウン運動

幾何ブラウン運動 (1) μ=0.05 ， σ=0.2

幾何ブラウン運動 (2) μ=0.2 ， σ=0.3

BS 公式で計算したオプション価 格 ヨーロピアン・コールオプション S 0 = 100 ， r = 0.1 ， σ = 0.3 横軸は行使価格 K ，縦軸はオプション価格

陽的差分法で計算したオプション価 格 ヨーロピアン・コールオプション， K = 100 ， r = 0.1 ， σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S 0 ，縦軸はオプション価格 x ma x = 5.0 ， N = 200 ， M = 150

陽的差分法で計算したオプション価 格 ヨーロピアン・コールオプション， K = 100 ， r = 0.1 ， σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S 0 ，縦軸はオプション価格 x ma x = 5.0 ， N = 210 ， M = 150

陰的差分法で計算したオプション価 格 ヨーロピアン・コールオプション， K = 100 ， r = 0.1 ， σ = 0.3 横軸は初期資産価格 S 0 ，縦軸はオプション価格 x ma x = 5.0 ， N = 210 ， M = 150

陰的差分法とクランク - ニコルソン法の精度の 比較 前記と同じオプション で S 0 = 100 ， T = 1.0 と した場合の価格 時間方向の分割数 M を 変えたときの両解法の 精度をプロット N = 10M と設定

プログラムのページ /~yamamoto/programs.html 内容 ブラウン運動のシミュレーション ブラック - ショールズ公式によるオプション価格計算 差分法によるオプション価格計算

オプション価格の計算例 バリアオプション

オプション価格の収束 バリアオプション