第 5 章 2 次元モデル Chapter 5 2-dimensional model
Contents 1.2 次元モデル 2-dimensional model 2. 弱形式 Weak form 3.FEM 近似 FEM approximation 4. まとめ Summary
1.2 次元モデル 2-dimensional model 次のような 2 次元偏微分方程式の境界値問題を考える。 Consider the following 2-dimensional partial differential equation with boundary conditions. (17) [Kikuchi 5.1] (18) [Kikuchi 5.2]
（１ 7 ）の両辺に重み関数（試験関数） v をかけ積分する。 Both sides of equation 17 are multiplied by a test function v, and integrated. （ 18 ）の第２式に v をかけ、その積分と上式との和をとる。 The second one of equation 18 is multiplied by v, and its integration is added to the above one. (19) 2. 弱形式 Weak form
（ 19 ）の左辺， Green の公式を用いる。 Green formula is applied to the left hand side of equation 19 Green formula [Kikuchi A.4]’ (20) [Kikuchi 5.5] Then, the weak form is obtained. (19) 2. 弱形式 Weak form
3.FEM 近似 FEM approximation まず図.3 に示すように、領域を三角形要素に分割する。 We now seek an approximation to u by using the weak form. First, as shown in Fig 3, the domain Ω is subdivided into triangular elements. 図.4 三角形要素 fig. 4 Triangular elements 図.3 三角形要素 fig. 3 Triangular elements Ω
代表要素 T で を x, y の１次式で近似しよう。 With the representative finite element T, we shall denote, a function of x, y as the following equation. (22) [Kikuchi 5.8] (21) [Kikuchi 5.6] 節点 ( i=1, 2, 3 ) での の値を と書くと, 次式が成立す る。 At node ( i=1, 2, 3 ),, then we have
すなわち、 That is, (23) [Kikuchi 5.9] (24) 逆マトリックスを次の形に書いておこう。 The inverse matrix is written as the following form.
(25) (20 ）の左辺に対する T からの寄与分は、 To see the contribution of T to the left hand side of equation 20,
(26) (27) (28) [Kikuchi 5.26] (29) [Kikuchi 5.27]
(30) [Kikuchi 5.11] (31) また右辺から寄与分は Also, the contribution of T to the right hand side
(32) [Kikuchi 5.12] 図.5 面積座標 fig. 5 area coordinates (33)
を使うと、 は If is used, is (35) [Kikuchi 5.13] v も（ 35 ）と同じ形にする。 The form used in equation 35 is used in the same way for v.
まとめ Summary 2 次元モデル Model 弱形式 Weak form (17) [Kikuchi 5.1] (18) [Kikuchi 5.2] (20) [Kikuchi 5.5]
FEM 近似 FEM approximation (35) [Kikuchi 5.13] ひとつの要素に限定すれば in an individual element ここに here [Kikuchi 4.17] の 2 次元版