111 Coset construction of gravity duals for NRCFTs 基研研究会「場の理論と弦理論」 2009 年 7 月 9 日 京大 理学部 吉田 健太郎 Sakura Schäfer Nameki (Caltech), 山崎雅人 ( 東大＆ IPMU) との共同研究に基づく Sakura Schäfer Nameki, Masahito Yamazaki, K.Y, JHEP 0905 (2009) 038, arXiv:

イントロダクション AdS/CFT の応用 : クォーク・グルーオンプラズマ ( 流体力学 ) 凝縮系 ( 超流動 ) AdS 空間上の重力 ( 弦 ) 理論 共形場理論 (CFT) 量子重力、弦理論の非摂動的定式化 古典重力を用いた強結合する場の理論の解析 超伝導体 量子ホール効果 [Gubser, Hartnoll-Herzog-Horowitz] [Davis-Kraus-Shar] [Fujita-Li-Ryu-Takayanagi] EX 大半の凝縮系は 非相対論的 (NR) AdS/CFT 対応

33 AdS/CFT 対応における非相対論極限 AdS 空間上の重力 ( 弦 ) 理論 共形場理論 (CFT) 対応する重力双対はなにか？ 非相対論的共形場理論 (NRCFT) 非相対論的共形対称性 Schrödinger 対称性を手掛かりに、対応する重力双対を調べる Schrödinger 対称性例 ユニタリーフェルミオン 目的 1. Schrödinger 対称性とは？ 2. Schrödinger 対称性を持つ時空の coset 構成 [S.Schäfer-Nameki-M.Yamazakil-K.Y] トークのプラン

444 Schrödinger 対称性とは ? 相対論的共形代数の非相対論版 Conformal Poincare Galilei Schrödinger 代数 = Galilei 代数 + dilatation + special conformal EX 自由な Schrödinger 方程式： ( スケール不変性 ) Dilatation (in NR theories) [Hagen, Niederer,1972] dynamical exponent

55 Special conformal trans. Schrödinger 代数の生成子 (C は時空の添え字を持たない ) = Galilei 代数 メビウス変換の一般化 ( 空間次元の数 )

66 Schrödinger 代数 Dynamical exponent Galilei 代数 SL(2) 部分代数 Dilatation Special conformal (Bargmann alg.) 空間次元の数

77 d+1 次元の Schrödinger 代数は、 (d+1)+1 次元の相対論的な共形代数に 部分代数として埋め込める。 (IW contraction ではない ) 例 2+1 次元の Schrödinger 代数は、 3+1 次元の共形代数 so(4,2) に埋め込める FACT (d+1)+1 次元 相対論的共形代数 生成子 :

88 Klein-Gordon 方程式の light-like コンパクト化 with 時空の次元の違いを説明 注意 場の理論で考える通常の非相対論的極限と異なる (d+1)+1 D d+1 D d+1 D Schrödinger 代数の埋め込み則 L.C. : KG 方程式 Sch. 方程式

99 Schrödinger 代数の埋め込み則の AdS/CFT 対応への応用 light-like circle: 上にコンパクト化されている with -compactification [Goldberger,Barbon-Fuertes ] DLCQ (discrete light-cone quantization) しかし、 DLCQ の困難に直面する。 DLCQ limit で次元が一つ下がった理論は、なにか ? CFT 重力 対称性は SO(2,d+2) から Sch(d) へ破れる NRCFT = LC Hamiltonian

10 Schrödinger 時空 変形項 AdS 空間 (Poincare) Einstein 重力に massive vector field が結合した理論の運動方程式を満たす [Son, Balasubramanian-McGreevy] DLCQ AdS 時空以外にも、 Schrödinger 対称性を最大対称性として持つ重力があってもいい Schrödinger 対称性を保つ DLCQ AdS 時空の変形の自由度 Schrödinger 時空の変形の自由度 以下、 Schrödinger 対称性を最大対称性として持つ時空を Schrödinger 時空と呼ぶ

11 Schrödinger 時空の coset 構成 homogeneous space は、 coset で書ける： 例 : isometry, : local Lorentz symmetry [S. Schäfer-Nameki, M. Yamazaki, K.Y., ] DLCQ AdS 背景の変形の自由度を、 coset 構成に手法を用いて、 homogeneous space の枠内で調べる 漸近的に Schrödinger 対称性を示す重力解は数多くある。 しかし、そのような解はここでは考えない。 目的

12 1. MC 1-from vielbeins 2. vielbeins の縮約 : vielbeinsspin connections 計量の coset 構成 symm. 2-form G が semi-simple ならば、 Killing form を使えばいい。 straightforward しかし、 non-semi-simple ならば、 step 2 はそれほど自明ではない (Killing form が縮退 ) NOTE MC 1-form は、 left-G trans. の下で明白に不変 (by construction) チェックするべきことは、 step 2. で、 right-L trans. の下での不変性のみ。

13 Nappi-Witten の議論 中心拡大した 2 次元 Poincare 代数 Killing form ( 縮退している ) P1P2JTP1P2JT もっとも一般的な symmetric 2-form symm. 2-form に対する条件 PP-wave type geometry [Nappi-Witten, hep-th/ ] right-G inv.

14 Schrödinger spacetime に対する Nappi-Witten 的な解釈はできるか ? G :Schrödinger 群 は non-semisimple Q1. 対応する coset はなにか ? Q2. symmetric 2-form をどうやって構成するか ? 問題 Killing form は縮退している Nappi-Witten の議論をそのまま適用できるか ?

15 Ans. to Q1. 物理的な要請 Schrödinger 時空に対する coset の候補 仮定.1 L が並進を含まない 仮定.2 L が空間回転と Galilei boost を含む Q1. 対応する coset はなにか ? 注： により, も 部分群 L に含まれない

16 Ans. to Q2. Nappi-Witten の議論と同様にできるか ? しかし、 Schrödinger coset は reductive ではない。 Reductiveness : Nappi-Witten の議論は、直接には適用できない 。 Q2. symmetric 2-form をどう構成するか ? Coset が reductive ならば、可能。 EX pp-wave, Bargmann どうするべきか ?

17 Non-reductive の場合の symm. 2-form の構成方法 [Fels-Renner, 2006] symm. 2-form が満たすべき条件式 Nappi-Witten の議論の一般化 添え字 [m],… は、 up to L- 変換で定義されている 一般化された群の構造定数 symm. 2-form の L- 不変性 は G/L の生成子に対する添え字、 p は L の生成子に対する添え字

18 群の構造定数 : Schrödinger coset : D M D

19 vielbeins: 同様にして、任意の z に対して、 coset 構成が可能。 where 2-form: ( has been absorbed by rescaling. ) 計量 : 座標系の導入

20 Lifshitz fixed point に双対な重力解 次の対称性を考える： 代数： Coset: 2-form: vielbeins: : Sch(2) の部分代数 (reductive)

21 Lifshitz model (z=2) 4th order scale invariance with z=2 2nd order しかし、 Schrödinger 対称性とは異なる。 計量 : [Kachru-Liu-Mulligan, ] Unique! Lifshitz model の重力双対 c.f.

22 まとめ 1. Schrödinger 時空は coset 構成可能 [S.Schäfer-Nameki-M.Yamazaki-KY] 今後の展望 適当な物理的な仮定の下では、 Son, Balasubramanian-McGreevy の解で 変形の自由度は尽きている。 ( 但し、 homogeneous space の範囲内 ) 3. Lifshitz field theory の重力双対も coset 構成できる Kachru-Liu-Mulligan の重力解 2. 任意の z で coset 構成可能 (homogeneous space の範囲内で unique) ここで議論された coset 構成の処方箋は、非常に一般的 他の代数を探して応用

23 Algebra with arbitrary z Dynamical exponent Galilean algebra Dilatation + M is not a center any more. special conformal trans. C is not contained.