ブラックホール時空での摂動 冨松 彰 御岳セミナー ２０１１．９．１

内容 １． Anti-de Sitter (AdS) BH と第１法則 ２． BH− 円盤系における電磁波の伝播

BH 研究の発展における３つの側面 ○ 数学的： 種々の重力理論における種々のタイプの解 → BH コレクション、 BH zoo ○ 物理的：量子重力へのステップ → 熱力学、流体力学、物性論との類似 特に、モデルとして AdS 時空 ここでは、 ” 変形と第１法則 ” ○ 天体物理的： BH− 円盤系 天体現象における BH 重力の検証 ここでは、 ” 電磁波強度分布の振動パター ン ”

１． AdS BH と第１法則 “dynamical BH entropy” の提案 Wald (1993,1994) n 次元時空でのラグランジアン（ n-form ） その変分は 場に対する運動方程式 → E = 0

時空上のベクトル場 ξ に対応して、 (n-1) 形式の Noether current を導入 特に、 E = 0 の場合、 J = dQ が成立 → (n-2) 形式の Noether charge Q また、リー微分 と仮定すると、 変分 に対して

BH 時空における超曲面上で δJ を積分 ただし、 ξ を時間 t 方向の Killing ベクトル場 境界からの寄与 ・ bifurcate Killing horizon ξ=0 ・ asymptotic region （ r→∞ ） ⇒ BH 第１法則 ・ S ： Wald entropy ( でも成立 ) ・ H ： ξ 方向の変位を生成するハミルトニアンの表面項

ここでは、 ・ ４次元真空重力場 ・ Einstein-Hilbert action と負の宇宙定数 Lagranjiann 4-form Noether charge 2-form これに対して、背景場の無限小変換を考察 δg ：線形 Einstein 方程式を満足 ξ ：背景重力場 g の時間 t 方向の Killing ベクトル

ハミルトニアンの表面項の変分 → 系の全重力質量エネルギ − の変化を定義 ただし、 静的 AdS BH 時空の摂動 δg を用いて、 Wald 形式の適用性を考察 → Abbot-Deser 質量の変化に対応

○ 静的な変形摂動 背景場： SAdS BH 対角成分の軸対称摂動 に対する、質量エネルギ − 密度の変化 遠方で となるような変形モードに対して発散 → 第１法則の修正が必 要？

○ ダイナミカルな変形摂動 背景場： planar AdS BH 対角成分の軸対称摂動 遠方で という変形モードに対して、質量密度の変化＝０、つ まり → 重力波摂動に対する Abbot-Deser 質量密度の保存

ダイナミカルな変形に対しては、 １次摂動のレベルで、 ・エントロピー密度の変化＝０ ・質量エネルギ − 密度の変化＝０ → Wald 形式による第１法則は成 立 ☆エントロピー密度の増大（散逸効果）を 見る には、２次摂動でのチェックが重要 ☆静的状態が回復すると、変形は消失？

２． BH− 円盤系における 電磁波の伝播 大質量 BH による星の捕獲など → 周辺の円盤への摂動 → コヒーレントな電磁波の放射 → BH による吸収と散乱、 輻射（光子）とは異なる強度パターン 波の特徴の１つとしては super-radiant scattering BH 円盤

円盤放射の電磁波モデルとして、 Kerr-Schild 場の放射波とその散乱波 ただし、 thin disk 近似（赤道面上での面電流） ・遠方へ伝播する成分 ・ BH によって吸収・散乱される成分 super-radiance の効果を評価 Kobayasi- A.T.(2010) ただし、エネルギ − の流れとしては、 遠方への放射量＞ BH から円盤への供給量 逆の状況では、 天体における BH bomb 現象 ( 爆発的 spin 減少） が期待できる。

電磁波放射の直接的な観測量としては、 遠方でのエネルギ − フラックスの分布 F （ θ ） → 天頂角 θ への依存性 Kobayashi-A.T. ( 準 備中 ) ここでは、 Schwarzschild BH （質量 M ）時空 において F （ θ ） を評価 ［手法］ outgoing flux を与える電磁波の N-P 量の スペクトル分解（ BH 円盤系は軸対称） 基本振動数パラメーター σ

遠方（ r→∞ ）では、 また、時間平均したエネルギ − フラックス 放射波（ K-S 場）と散乱波の混合 に対応して、遠方での干渉効果を明示 ○ 第１項は円盤放射の主要項（ K-S 場のみ）

○ 第２項は放射波と散乱波による干渉項 → BH 重力の特徴を示すパターン生成 ・ 係数 D lm は K-S 場で決定 ・ spin(-1) spherical harmonics ・ 係数 T lm は遠方からの入射波の透過係数に一致 高振動数近似（ ωM ≫１）では T lm = 1 for l l cm ただし、 l の臨界値

重要な点は 干渉項では、 l > l cm ≫１のモードのみ寄与 よって、 l ≫ |m| の場合の漸近形 を用いると、 l > l cm ≫１のモード和によって 遠方でのエネルギ − フラックス の角度分布（ θ 依存性）に振動パターン → 周期

実際、遠方でのエネルギ − フラックスを と書くと、主要項 f m (θ) に対する 補正項（干渉効果） δ m (θ) に振動的な振舞 → BH 質量 M の観測 ☆小さな振動強度 ☆ θ 小（極方向） で増大 ☆ θ 固定では、 ω による依存 性 ☆ Kerr BH では、 スピンの影 響？