計測情報処理論(4) レンズの基礎

講義予定(4) フォーカシングとデフォーカス ニュートンの結像公式とデフォーカス 被写界深度，許容錯乱円，過焦点距離 ニュートンの公式の利用 実際の問題とその演習 スイングと結像面のコントロール シャインフリュークの法則

ピントが合うとは 無限遠にピントが合った状態 近距離にピントが合った状態 １点から出た光が撮像面上で再び１点となる

ピントの合う面 撮像面 合焦面 近距離にピントが合った状態 撮像面 合焦面 間違い 撮像面が平面なら合焦面も平面（理想レンズの場合）

結像公式(1) レンズに近接した物体ほど，像は像面の後ろ方向に出来る 超重要！！ レンズを撮像面から離すことで近くにピントを合わせる 焦点距離 = ｆ 超重要！！ a b レンズに近接した物体ほど，像は像面の後ろ方向に出来る レンズを撮像面から離すことで近くにピントを合わせる

結像公式は証明できる から を得る．これを に代入して h を消去すると， となって自然に h’ も消える． これを整理すると が得られる． C A h h’ B f a b から を得る．これを に代入して h を消去すると， となって自然に h’ も消える． これを整理すると が得られる．

結像公式から分かること b = f なら a = ∞ a = f なら b = ∞ 無限遠にピントが合っている状態を表す レンズは逆向きに使っても同じ焦点距離

前焦点面と後焦点面 a b 焦点距離 = ｆ 焦点距離 = ｆ ピント合わせは，ほとんどの場合，レンズの全群繰り出し

主点と結像光式 後側主点 前側主点 b a 主点間隔だけ，結像光式は修正する必要がある

ニュートンの結像公式 ⇔ x y a b f f 主点間隔を考える必要がない

練習問題(0) ニュートンの結像公式を証明せよ． を　　　　　　　　　　　に代入する． を通分すると

練習問題(0) を展開すると ゆえに 注：教科書では，x,yの双方を符号付の値と考え， 以下のように書いてあるものが多い．

練習問題(1) 焦点距離 50mm のレンズを 5mm 繰り出したとき，おおよそ何mm 先にピントが合うか

練習問題(1)回答 1/50 = 1/b + 1/55 普通のカメラでは，フィルムからの距離を被写体距離と定義する ゆえに b = 550 (mm) 普通のカメラでは，フィルムからの距離を被写体距離と定義する つまり被写体までは 550 + 55 = 605mm 主点間隔が無視できない場合，それをさらに加算する必要がある

練習問題(2) 10mm レンズで 1m 先にピントを合わせるとき，レンズを何mm繰り出せばよいか これが 20mm レンズのときはどうか

練習問題(2)回答 距離に対して焦点距離が小さいので，それを無視する 1/10 = 1/1000 + 1/a a = 10.101 ゆえに 0.101mm 繰り出せばよい 1/20 = 1/1000 + 1/a a = 20.408 ゆえに 0.408mm 繰り出せばよい 焦点距離が長いほど繰り出し量は大きい

撮影倍率 a b 倍率 被写体と像の大きさの比 M=1 のとき，等倍という

練習問題(3) 等倍撮影のとき，レンズの繰り出し量はどの程度になるか？

練習問題(3)回答 1/f = 1/b + 1/a, a=b より a = b = 2f レンズの焦点距離に等しいだけ繰り出せば等倍となる フィルムと被写体の距離はおおよそ焦点距離の４倍 フィルムと被写体は焦点距離の４倍よりも近づけることは出来ない

ライトフィールド 幾何学的パラメータのみ（X, Y, Z, θ，φ）のみについて考える (a) ２平面の通過点による表現 (b) 通過点と傾きによる表現 幾何学的パラメータのみ（X, Y, Z, θ，φ）のみについて考える 光の直進性から，光線に沿った方向で輝度が一定という冗長性がある これを用いると，４つのパラメータで表現できる このチュートリアルでは，(b)を用いる (x, y) -- 光の通過位置（どのカメラか） (u, v) -- 光の通過方位（どの画素か）

ライトフィールドの図示 ２次元平面上で考える（位置 x, 方位 u の２パラメータのみ） B 並行光 １点への集光 または点光源 B A A C C (c) 上の光線 (d) ２次元ライトフィールド ２次元平面上で考える（位置 x, 方位 u の２パラメータのみ） 交線の通過位置と方位は，２次元平面上の１点で表される 平行光は，方位が共通・・・垂直線として表れる １点に集まる光は，位置が共通・・水平線として表れる（点光源も同様） 注：普通 x を横軸に取るが，このチュートリアルでは縦軸にしている

光線行列の例：空間の伝搬 自由空間の伝搬では 結果として，行列に示すようなシアー（剪断）変換となる． z1 z2 z3 z4 z5 D C B u x’ x E A d a b 自由空間の伝搬では 光の方位は変化しない，つまり u’ = u 光の通過位置は傾き u と通過距離 d の積だけずれる， つまり x’ = x + du 結果として，行列に示すようなシアー（剪断）変換となる．

光線行列の例：レンズの屈折 レンズによる屈折では， 光の通過位置は変化しない，つまり x’ = x z1 z2 z3 z4 z5 D C B u x’ x E A d a b レンズによる屈折では， 光の通過位置は変化しない，つまり x’ = x 光の向きは，通過位置 x と焦点距離 f に応じて変化する， つまり u’ = -x/f + u　（←結像公式から導出できます） レンズの真ん中 x=0 を通る光は，向きが変わらない これもまた，剪断変換

光線行列による光線追跡(1) 自由空間を 6 だけ移動 b a=6 d x A B C D E z1 z2 z3 z4 z5 x’ u A (a) z1 上 (b) z4 上，屈折前 自由空間を 6 だけ移動

光線行列による光線追跡(2) 焦点距離 2 の レンズで屈折 b a d x A B C D E z1 z2 z3 z4 z5 x’ u D (b) z4 上，屈折前 (c) z4 上，屈折後 焦点距離 2 の レンズで屈折

光線行列による光線追跡(3) 自由空間を3だけ 移動 b=3 a d x A B C D E z1 z2 z3 z4 z5 x’ u D E (c) z4 上，屈折後 (d) z5 上 自由空間を3だけ 移動

光線行列による光線追跡(4) 点Aから出た 光線が点Ｅ に集まるこ と （水平線が 再び水平線 に） 像が天地逆 になること b=3 a=6 d x A B C D E z1 z2 z3 z4 z5 x’ u 点Aから出た 光線が点Ｅ に集まるこ と （水平線が 再び水平線 に） 像が天地逆 になること 像が被写体 の半分の大 きさになる こと 輝度が保存 されること A D E (a) z1 上 (b) z4 上，屈折前 (c) z4 上，屈折後 (d) z5 上

並行光の集光 並行光の集光は，90度の回転 点の像は，180度の回転 方位を位置へ 位置を方位へ 変換する働き B 並行光 １点への集光 または点光源 B A A C C 焦点距離 = ｆ 並行光の集光は，90度の回転 方位を位置へ 位置を方位へ　変換する働き 点の像は，180度の回転 位置を位置へ（倒立させて） 変換する働き (2)屈折直後 (1)屈折直前 (3)f 伝搬後