流体の鉄人 ～ゲーム屋さんのための流体入門～ 田村　尚希 株式会社 Pyramid

0.会社紹介 ＜弊社の説明＞ 設立　　２００１年９月（５年目） 従業員　３４名（内プログラマ１９名） コンシューマゲーム機を中心に開発を行っている　

0.会社紹介 ＜タイトル＞ DATA CARDDASS DRAGON BALL Z SHINING FORCE NEO DRAGONBALL Z BUDOKAI2(GAMECUBE　port) GUNSLINGER GIRL SEVEN SAMURAI 20XX THE WILDRINGS DOUBLE STEAL　 　・・その他、自社コンテンツ開発　

0.会社紹介 ＜開発＞ XP,SCRUM 等のアジャイル開発プロセスを採用している

0.会社紹介 ＜運営＞ 受託業務 ※運転資金の調達 自社コンテンツ開発 ※自社コンテンツの発信 技術研究開発 ※最先端技術の研究・共有・習得、及び発表　

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

1.概要　～はじめに～ 本セッションの内容 ゲーム開発者向けの流体力学の解説

1.概要　～背景～ 本セッションの背景 流体力学を用いて、写実的なCGを作成する技術が発展

1.概要　～背景～ 「Visual Simulation of Smoke」 [Fedkiw et al. SIGGRAPH2001]

1.概要 ～背景～ 「Animation and Rendering of Complex Water 1.概要　～背景～ 「Animation and Rendering of Complex Water Surfaces」 [Enright et al. SIGGRAPH2002]

1.概要 ～背景～ 「Rigid Fluid : Animating the Interplay Between Rigid 1.概要　～背景～ 「Rigid Fluid : Animating the Interplay Between Rigid bodies and Fluid」 [Carlson et al. SIGGRAPH2004]

1.概要　～背景～ 特徴 既存技術では不可能なリアルな視覚表現・演出が可能 現在は非リアルタイム 　（1フレームの計算時間：数秒～数十分）

1.概要 ～概要～ ゲーム利用への課題 1.複雑な数学の理解 帰る頃には、すらすらです！！ 2.多大な計算コストの解消 流体理論を丁寧に解説 1.概要　～概要～ ゲーム利用への課題 1.複雑な数学の理解 帰る頃には、すらすらです！！　 帰るころには、ばっちり分かります 流体理論を丁寧に解説 2.多大な計算コストの解消 次世代機の処理能力 （+皆様の処理能力）　

煙ではなく、（空気の）流れそのものを計算 1.概要　～概要～ 流体シミュレーションの概念 煙ではなく、（空気の）流れそのものを計算

1.概要　～概要～ 流体計算の解き方 1.ボクセルベース 2.パーティクルベース

1.概要　～概要～ ボクセルベース

1.概要　～概要～ パーティクルベース

1.概要 ～概要～ 長所・短所 ボクセルベース パーティクルベース 長所：アルゴリズムの理解・実装が容易 1.概要　～概要～ 長所・短所 ボクセルベース 長所：アルゴリズムの理解・実装が容易 短所：単位ボクセルよりも小さな流れが欠落 パーティクルベース 長所：局所的な細かな動きに対応できる 短所：パーティクルの数が少ないとノイズが発生

1.概要 ～目的～ 本セッションの目的 ボクセルベースの流体シミュレーションの基礎理論・実装方法の理解 （一部リアルタイム処理） 1.概要　～目的～ 本セッションの目的 ボクセルベースの流体シミュレーションの基礎理論・実装方法の理解 （一部リアルタイム処理） 皆さんが流体シミュレーションに興味を 持つ機会になれば理想

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

2.微分 ～スカラー・ベクトル～ スカラー・ベクトル スカラー ベクトル ある位置に対して値が一つ定まる量 (ex.温度) 2.微分　～スカラー・ベクトル～ スカラー・ベクトル スカラー ある位置に対して値が一つ定まる量 (ex.温度) ベクトル スカラーをいくつか並べたもの （ex.速度）

2.微分　～スカラー・ベクトル～ スカラー場

2.微分　～スカラー・ベクトル～ ベクトル場

2.微分 ～微分～ 微分 ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 2.微分　～微分～ 微分 ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン ・微分 ・偏微分 ・勾配 ・発散 ・ラプラシアン 非圧縮性流体のNavier・Stokes方程式

2.微分　～微分～ 微分

2.微分　～微分～ 微分の差分近似

2.微分　～偏微分～ 偏微分 x軸方向 y軸方向

2.微分　～偏微分～ 偏微分の差分近似

2.微分　～まとめ～ ・微分 　微小区間における傾き ・偏微分 　各軸方向の微分

2.微分　～勾配～ 勾配（グラディエント） スカラーに作用して で計算されるベクトルを「勾配」と呼ぶ

2.微分　～勾配～ 勾配の概念 勾配は 各位置において、変化が最も大きくなる方向を示すベクトル 変化が大きいほど、ベクトルの絶対値も大きい

2.微分　～勾配～ 勾配の差分近似

2.微分　～勾配～ 勾配の差分近似

2.微分　～発散～ 発散（ダイバージェンス） ベクトルに作用して で計算されるスカラーを「発散」と呼ぶ

2.微分　～発散～ 発散の概念

2.微分　～発散～ 発散の概念

2.微分　～発散～ 発散の概念

2.微分 ～発散～ 発散の概念 微小体積において、流出する量と流入する量との差を表す物理量 正ならば、場が対象領域から外部に流出 2.微分　～発散～ 発散の概念 微小体積において、流出する量と流入する量との差を表す物理量 正ならば、場が対象領域から外部に流出 負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分　～発散～ 発散の差分近似

2.微分　～発散～ 発散の差分近似

2.微分　～まとめ～ ・勾配 　変化が最も大きい方向を示すベクトル

2.微分 ～まとめ～ 微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー ・発散 正ならば、場が対象領域から外部に流出 2.微分　～まとめ～ ・発散 　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー 正ならば、場が対象領域から外部に流出 負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアン スカラーに作用して で計算されるスカラーを「ラプラシアン」と呼ぶ

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念

2.微分 ～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念 ラプラシアンとは、周囲との相対的な差を表す物理量 周りと比べて小さければプラス 2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念 ラプラシアンとは、周囲との相対的な差を表す物理量 　自分が周りと比べて大きければマイナス 周りと比べて小さければプラス

2.微分　～ラプラシアン～ ラプラシアンの概念 三次元スカラー場のラプラシアン

2.微分　～まとめ～ ・微分 　微小区間における傾き ・偏微分 　各軸方向の微分

2.微分　～まとめ～ ・勾配 　変化が最も大きい方向を示すベクトル

2.微分 ～まとめ～ 微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー ・発散 正ならば、場が対象領域から外部に流出 2.微分　～まとめ～ ・発散 　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー 正ならば、場が対象領域から外部に流出 負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分 ～まとめ～ 周りとの相対的な差を表すスカラー ・ラプラシアン 大きければマイナス 小さければプラス 自分が周りと比べて 2.微分　～まとめ～ ・ラプラシアン 　周りとの相対的な差を表すスカラー 　　自分が周りと比べて 　　大きければマイナス 　　自分が周りと比べて 　　小さければプラス

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

3.Stable Fluids ～概要～ 「Stable Fluids」 [Stam, SIGGRAPH 1999] ボクセルベースの手法 非圧縮流体を対象 近年の流体計算を使った論文で広く利用される手法 Navier-Stokes方程式を4Stepに分けて計算

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念 速度場 速度場の時間変化を表す式 表3-1参照

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念 非圧縮条件 表3-1参照

3.Stable Fluids　～外力～ 外力：風、重力などの外からの力 表3-1参照

3.Stable Fluids　～移流～ 移流 : 流れに沿って移動する効果 表3-1参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散 : 速度場を均一化しようとする効果 表3-1参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力 : 非圧縮条件を満たすように働く力 表3-1参照

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念 表3-1参照

3.Stable Fluids ～概要～ Stable Fluidsの概念 微小時間 を考え、離散的に 速度場の時間変化を計算 全ての要因を一度に考えるのは難しい 表2参照

3.Stable Fluids ～概要～ Stable Fluidsの概念 step4 step2 step3 step1 step4 表2参照

3.Stable Fluids　～外力～ Stable Fluids : step1 外力 step1 表3-2参照

3.Stable Fluids　～外力～ 外力：風、重力などの外からの力 表3-2参照

3.Stable Fluids　～外力～ 外力の計算方法 表3-2参照

3.Stable Fluids ～外力～ step1の擬似コード 表3-2参照 step1(u{x,y,z}, u{x,y,z}_force, u{x,y,z}_step1 ) { for(i=0; i<(Xvoxel_num);++i) { for(j=0; j<(Yvoxel_num);++j) { for(k=0; k<(Zvoxel_num);++k) { ux_step1[i][j][k] = ux[i][j][k] + dt * ux_force[i][j][k]; uy_step1[i][j][k] = uy[i][j][k] + dt * uy_force[i][j][k]; uz_step1[i][j][k] = uz[i][j][k] + dt * uz_force[i][j][k]; } } } } 表3-2参照

3.Stable Fluids　～移流～ Stable Fluids : step2 移流 step2 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 移流 : 流れに沿って移動する効果 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 一次元の移流 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 一次元の移流 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 一次元の移流 f が速度uで移動する様子を表す 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 多次元の移流 （一次元） （二次元） （三次元） 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 三次元の移流 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 多次元の移流 →スカラー　 が速度場　によって移動 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 多次元の移流 →スカラー　 が速度場　によって移動 →　 　　 が速度場　によって移動 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 多次元の移流 表3-3参照

3.Stable Fluids ～移流～ semi-Lagrange法（Stable Fluidsの移流解法） 前後からlinear補間 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 三次元のsemi-Lagrange法 trilinear補間 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～ 三次元のsemi-Lagrange法 表3-3参照

3.Stable Fluids ～移流～ step2の擬似コード 表3-3参照 step2( u{x,y,z}_step1, u{x,y,z}_step2 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { x = i - dt * ux_step1[i][j][k]; y = j - dt * uy_step1[i][j][k]; z = k - dt * uz_step1[i][j][k]; ux_step2[i][j][k] = trilinear( ux_step1, x, y, z ); uy_step2[i][j][k] = trilinear( uy_step1, x, y, z ); uz_step2[i][j][k] = trilinear( uz_step1, x, y, z ); } } 表3-3参照

3.Stable Fluids　～拡散～ Stable Fluids : step3 拡散 step3 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散 : 速度場を均一化しようとする効果 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散方程式の概念 (拡散方程式) 場が均一化していく 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散の計算方法 (拡散方程式) 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散の計算方法 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ 拡散の計算方法 ラプラシアン　　は前頁のような行列　で記述可能 表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ 連立方程式 拡散の計算方法 は と同じ形 要素数nは、非常に大きい (i.e. 三次元の場合n3) は　　　　　と同じ形 連立方程式 要素数nは、非常に大きい　(i.e. 三次元の場合n3) 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ ガウス・ザイデル法 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ ガウス・ザイデル法 表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ ガウス・ザイデル法 右辺 に適当な初期値を設定し、反復計算 右辺　　　に適当な初期値を設定し、反復計算 収束条件：行列Aの対角成分が0ではない。 　　　　　　　行列Aの対角成分が他の成分より大きい 表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ step3の擬似コード(1/2) 表3-4参照 Gauss-Seidel( float* in, float*out ) { a = dt * ν / ( Δx*Δx ); for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { out[i][j][k] = ( in[i][j][k] + a * ( out[i+1][j][k] + out[i-1][j][k] + out[i][j+1][k] + out[i][j-1][k] + out[i][j][k+1] + out[i][j][k-1] )) / ( 1+ 6*a ) } } } 表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ step3の擬似コード(2/2) 表3-4参照 step3( u{x,y,z}_step2, u{x,y,z}_spte3 ) { Gauss-Seidel( ux_step2, ux_step3 ); Gauss-Seidel( uy_step2, uy_step3 ); Gauss-Seidel( uz_step2, uz_step3 ); } 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ Stable Fluids : step4 圧力 step4 step4 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力 : 非圧縮条件を満たすように働く力 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力 : 非圧縮条件を満たすように働く力 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力の計算方法 両辺、発散を計算 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力の計算方法 非圧縮条件より 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～ 圧力の計算方法 圧力のスカラー場 　を計算 の勾配を計算し、　　　から減算 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ 圧力の計算方法 拡散と同じく、ラプラシアン は行列 で記述可能 は と同じ形 →ガウス・ザイデル法 拡散と同じく、ラプラシアン　　は行列　で記述可能 は　　　　　と同じ形 →ガウス・ザイデル法 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(1/3) 表3-5参照 step4( u{x,y,z}_step3, u{x,y,z}_step4 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { div[i][j][k] = ( ) / ( 2*Δx ); ux_step3[i+1][j][k] - ux_step3[i-1][j][k] + uy_step3[i][j+1][k] - uy_step3[i][j-1][k] + uz_step3[i][j][k+1] - uz_step3[i][j][k-1] } 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(2/3) 表3-5参照 a = (Δx*Δx ); for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { p[i][j][k] = ( -a*div[i][j][k] + ( p[i+1][j][k] + p[i-1][j][k] + p[i][j+1][k] + p[i][j-1][k] + p[i][j][k+1] + p[i][j][k-1] )) / 6; } } 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(3/3) 表3-5参照 for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { ux_step4[i][j][k] = ux_step3[i][j][k] - (p[i+1][j][k] – p[i-1][j][k]) / ( 2*Δx ); uy_step4[i][j][k] = uy_step3[i][j][k] - (p[i][j+1][k] – p[i][j-1][k]) / ( 2*Δy ); uz_step4[i][j][k] = uz_step3[i][j][k] - (p[i][j][k+1] – p[i][j][k-1]) / ( 2*Δz ); } } 表3-5参照

3.Stable Fluids　～境界～ 境界の扱い 速度：　　　境界で速度0 シミュレーションボクセル 圧力：　　微分値が0 境界ボクセル

3.Stable Fluids　～まとめ～ Navier-Stokes方程式 表3-1参照

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

4.応用　～概要～ 応用 煙 煙の濃度計算 煙の可視化

4.応用　～煙の濃度計算～ 非圧縮流体のNavier-Stokes方程式 煙の方程式 表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～ 外力：煙の供給などの外からの影響 表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～ 移流：流れに沿って移動する効果 表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～ 拡散 : 濃度を均一化しようとする効果 表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～ 煙の変化の概念 step2 step3 step1 表4参照

4.応用　～煙の外力～ 煙の変化の概念 step1 表4参照

4.応用　～煙の外力～ 外力の計算方法 表4参照

4.応用 ～煙の外力～ step1の擬似コード 表4参照 step1(d, d_force, d_step1 ) { 4.応用　～煙の外力～ step1の擬似コード step1(d, d_force, d_step1 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { d_step1[i][j][k] = d[i][j][k] + dt * d_force[i][j][k]; } } 表4参照

4.応用　～煙の移流～ 煙の変化の概念 step2 表4参照

4.応用　～煙の移流～ 多次元の移流 →スカラー　 が速度場　によって移動 表4参照

4.応用　～煙の移流～ 三次元のsemi-Lagrange法 表4参照

4.応用 ～煙の移流～ step2の擬似コード 表4参照 step2( d_step1, d_step2 ) { 4.応用　～煙の移流～ step2の擬似コード step2( d_step1, d_step2 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { x = i - dt * ux[i][j][k]; y = j - dt * uy[i][j][k]; z = k - dt * uz[i][j][k]; d_step2[i][j][k] = trilinear( d_step1, x, y, z ); } } 表4参照

4.応用　～煙の拡散～ 煙の変化の概念 step3 表4参照

4.応用　～煙の拡散～ 拡散方程式の概念 (拡散方程式) 場が均一化していく 表4参照

4.応用　～煙の拡散～ 拡散の計算方法 (拡散方程式) 表4参照

4.応用　～煙の拡散～ 拡散の計算方法 は　　　　　と同じ形 →ガウス・ザイデル法 表4参照

4.応用 ～煙の拡散～ step3の擬似コード(1/2) 表4参照 Gauss-Seidel( float* in, float*out ) 4.応用　～煙の拡散～ step3の擬似コード(1/2) Gauss-Seidel( float* in, float*out ) { a = dt * κ / ( Δx*Δx ); for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { out[i][j][k] = ( in[i][j][k] + a * ( out[i+1][j][k] + out[i-1][j][k] + out[i][j+1][k] + out[i][j-1][k] + out[i][j][k+1] + out[i][j][k-1] )) / ( 1+ 6*a ) } } } 表4参照

4.応用 ～煙の拡散～ step3の擬似コード(2/2) 表4参照 step3( d_step2, d_spte3 ) { 4.応用　～煙の拡散～ step3の擬似コード(2/2) step3( d_step2, d_spte3 ) { Gauss-Seidel( d_step2, d_step3 ); } 表4参照

4.応用 ～煙の可視化～ 煙の可視化 シミュレーション結果（煙の濃度）は、 ボクセルデータ（ボリュームデータ） 4.応用　～煙の可視化～ 煙の可視化 シミュレーション結果（煙の濃度）は、　　　　ボクセルデータ（ボリュームデータ） ボリュームレンダリングを行い可視化 レイキャスティング法、スプラッティング法　などを利用

4.応用　～煙の可視化～ レイキャスティング法 Δｓ screen

4.応用　～煙の可視化～ レイキャスティング法 ボクセルの色C（s3）＊不透明度α（s3） ＊透明度(1-α（s2）)＊透明度(1-α（s1）) ボクセルの色C（s2）＊不透明度α（s2） ＊透明度(1-α（s1）) ボクセルの色C（s1）＊不透明度α（s1）

4.応用 ～煙の可視化～ GPUを利用したボリュームレンダリング スライス(ポリゴン)を一定間隔に配置 ボリュームデータをfetchし描画 4.応用　～煙の可視化～ GPUを利用したボリュームレンダリング スライス(ポリゴン)を一定間隔に配置 ボリュームデータをfetchし描画 alpha blendingを用いて加算

1.概要　～概要～ GPUを利用したボリュームレンダリング

4.応用 ～応用～ 応用 煙のシミュレーション 速度場の計算 → 煙の濃度を移流・拡散 火のシミュレーション 速度場の計算 4.応用　～応用～ 応用 煙のシミュレーション 速度場の計算 → 煙の濃度を移流・拡散 火のシミュレーション 速度場の計算 → 熱・温度を移流・拡散 水のシミュレーション 速度場の計算 → 水表面（水表面からの距離）を移流・拡散

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

5.まとめ ～まとめ～ まとめ 流体の基礎理論を解説 非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式の説明 ボクセルベースの解法について説明 5.まとめ　～まとめ～ まとめ 流体の基礎理論を解説 非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式の説明 ボクセルベースの解法について説明 Stable Fluidsの解説

5.まとめ　～まとめ～ 非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式 外力 移流 拡散 圧力 +非圧縮条件

5.まとめ　～まとめ～ Stable Fluids

5.まとめ ～高速化～ 高速化の方向性 GPU、SIMDの利用 大部分は各ボクセル独立→並列化 グリッドサイズの最小化 5.まとめ　～高速化～ 高速化の方向性 GPU、SIMDの利用 　大部分は各ボクセル独立→並列化 グリッドサイズの最小化 　三次元の処理コストはO(n3)

5.まとめ ～最後に～ 質問・ご意見は以下までお寄せ下さい Pyramid HP - http://www.pyramid-inc.net/ 5.まとめ　～最後に～ 質問・ご意見は以下までお寄せ下さい Pyramid HP - http://www.pyramid-inc.net/ 近日中にPowerPointファイルをUpします E-mail　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 rd@pyramid-inc.net

5.まとめ ～参考文献～ 参考文献 Real-Time Fluid Dynamics for Games GPU Gems 5.まとめ　～参考文献～ 参考文献 Real-Time Fluid Dynamics for Games 　　Stam氏自らStable Fluidsを解説 　　二次元のStable Fluidsのソースコード付き http://www.dgp.toronto.edu/people/stam/reality/ 　 Research/pub.html GPU Gems 二次元のStable Fluidsの解説+GPU実装（38章） 　　GPUを用いたボリュームレンダリングの解説（39章）

5.まとめ ～参考文献～ 参考文献(Paper) 今回紹介した大本の論文 Stable Fluids, SIGGRAPH 1999 5.まとめ　～参考文献～ 参考文献(Paper) 今回紹介した大本の論文 Stable Fluids, SIGGRAPH 1999 http://www.dgp.toronto.edu/people/stam/stam.html よりDL可能 煙関係 Visual Simulation of Smoke, SIGGRAPH 2001 http://graphics.stanford.edu/~fedkiw/よりDL可能

5.まとめ ～参考文献～ 参考文献(Paper) 水関係 5.まとめ　～参考文献～ 参考文献(Paper) 水関係 Animation and Rendering of Complex Water Surfaces, SIGGRAPH2002 Practical Animation of Liquids, SIGGRAPH 2001 炎関係 Physically Based Modeling and Animation of Fire, SIGGRAPH 2002 http://graphics.stanford.edu/~fedkiw/よりDL可能

5.まとめ ～参考文献～ 参考文献(書籍) Javaによる流体・熱流動の数値シミュレーション 5.まとめ　～参考文献～ 参考文献(書籍) Javaによる流体・熱流動の数値シミュレーション 　峯村　吉泰/著　森北出版　ISBN4-627-91751-1 ・基礎から実際のソースコードまで幅広く解説 粒子法 　　　越塚誠一/著　丸善 ISBN4-621-07522-5 ・パーティクルベースの流体解析手法の解説

5.まとめ ～参考文献～ 参考文献（Homepage） Ronald Fedkiw氏のHomepage Jos Stam氏のHomepage 5.まとめ　～参考文献～ 参考文献（Homepage） Ronald Fedkiw氏のHomepage http://graphics.stanford.edu/~fedkiw/ Jos Stam氏のHomepage http://www.dgp.toronto.edu/people/stam/stam.html Tim Rowley氏のHomepage(論文リンク集) http://www.cs.brown.edu/~tor/

5.まとめ　～終わり～ ご清聴ありがとうございました

6.Appendix　～表1.微分のまとめ～ ・微分 　微小区間における傾き ・偏微分 　各軸方向の微分

6.Appendix　～表1.微分のまとめ～ ・勾配 　変化が最も大きい方向を示すベクトル

6.Appendix ～表1.微分のまとめ～ 微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー ・発散 正ならば、場が対象領域から外部に流出 　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー 正ならば、場が対象領域から外部に流出 負ならば、場が外部から対象領域に流入

6.Appendix ～表1.微分のまとめ～ 周りとの相対的な差を表すスカラー ・ラプラシアン 大きければマイナス 小さければプラス 　周りとの相対的な差を表すスカラー 　　自分が周りと比べて 　　大きければマイナス 　　自分が周りと比べて 　　小さければプラス

6.Appendix ～表2.Navier Stokes～ 非圧縮条件

6.Appendix ～表2.Stable Fluids～

6.Appendix　～記号表～ 表3-1　「Stable Fluidsの概念」までで使用する記号

6.Appendix　～記号表～ 表3-2　「step1:外力」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～ 表3-3　「step2:移流」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～ 表3-4　「step3:拡散」で使用する記号 x x

6.Appendix　～記号表～ 表3-5　「step4:圧力」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～ 表4　「煙の濃度計算」で使用する記号