第４回 関連2群と一標本t検定 問題例１ 6人の高血圧の患者に降圧剤（A薬）を投与し、前後の収縮期血圧 を測定した結果である。 教科書p28~49 問題例１ 6人の高血圧の患者に降圧剤（A薬）を投与し、前後の収縮期血圧 を測定した結果である。 血圧（投与前）：pi 138 128 140 136 147 154 血圧（投与後）：ai 126 113 135 132 139 156 前後の差:di= pi-ai 12 15 5 4 8 -2 帰無仮説：A薬の効果はない＝＞dの母集団は平均値0の正規分布 分散は未知 対立仮説：A薬の効果による差d≠0 有意水準5%で検定 標本平均dm＝42/6=7 dの不偏標準偏差

dの平均値を標準誤差で標準化（規格化）する 平均値dmの標準誤差Δd dの平均値を標準誤差で標準化（規格化）する 自由度n-1のt分布 dm Δd dm：正規分布 Δd：統計量 ：自由度pのt分布 (k=1,2,3,･･･)

t t分布（W.G.GossetのStudent分布） 自由度(df) -t P 2 t P 2 df=5, tα=0.05=2.571 12.706 63.655 2 4.303 9.925 3 3.182 5.841 4 2.776 4.604 5 2.571 4.032 6 2.447 3.707 7 2.365 3.500 8 2.306 3.355 9 2.262 3.250 10 2.228 3.169 t 自由度(df) Degree of Freedom -t P 2 t P 2 df=5, tα=0.05=2.571

dm Δd dm：正規分布 Δd：統計量 tα=0.05=2.571 t=2.83 πt≦α 帰無仮説を棄却

8人の高血圧患者で、臥位と立位で昇圧ホルモンの値Aを比較した。 体位によってAの値は変動するといってよいか。有意水準5% 問題例２ 8人の高血圧患者で、臥位と立位で昇圧ホルモンの値Aを比較した。 体位によってAの値は変動するといってよいか。有意水準5% 臥位 0.1 0.3 0.1 1.7 0.4 0.3 0.2 0.8 立位 0.2 0.5 0.8 2.3 0.1 0.7 0.8 1.3 差 0.1 0.2 0.7 0.6 -0.3 0.4 0.6 0.5 測定値Aの母集団は正規分布とは言えない 帰無仮説：体位によってAの値は変動しない 　　　　　　　　差が正になる確率p=0.5 対立仮説：立位の方が大きくなる（p＞0.5） ノンパラメトリック法 差が正になるデータ数rは2項分布に従う 符号検定 データは差が正になった回数r=7 確率P(i≧7) ＝∑8Cipi(1-p)8-i ＝8C7p7(1-p)1 +8C8p8(1-p)0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝0.0313+0.0039＝0.0352 i=7 8 対立仮説を採択：体位によって 昇圧ホルモン値は変動する。 確率P(i≦7)≦α=0.05

確率P(i≧7) =0.0313+0.0039 =0.0352

30人の医師が、2種類の鎮痛剤A、Bの効果を5段階評価した。 効果に差があるといってよいか。有意水準5% 問題例３ 30人の医師が、2種類の鎮痛剤A、Bの効果を5段階評価した。 効果に差があるといってよいか。有意水準5% A 4 4 5 5 3 2 5 3 1 5 5 5 4 5 5 5 2 3 1 5 2 3 4 5 4 3 4 3 4 2 B 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 5 2 5 3 4 4 3 1 1 1 2 3 3 3 2 1 3 3 - - - - 0 + - 0 + - - - + - 0 - + + + - - - - - - 0 - - - + 無効　１－－－５　著効 測定値A、Bの母集団は正規分布とは言えない 帰無仮説：鎮痛剤A、Bの効果に差はない 　　　　　　　　差が負になる確率p=0.5 対立仮説：鎮痛剤A、Bの効果に差はある（p≠0.5） B-Aが正：7ケース 　　　　負：19ケース 　　　　 ０：4ケース （7+19）の標本：2項分布の母集団 確率P(i≦7) ＝∑26Cipi(1-p)26-i i=0 7 =0.014479637

正規分布：N(x;μ=np,σx2=np(1-p)) x=r+0.5 連続性の補正 2項分布：B(x;n,p) 正規分布：N(x;μ=np,σx2=np(1-p)) n＞25 μ=13、σx=2.5495 測定値r=7 P(r≦7 or r≧19）=0.028959 (r+0.5)-μ 　　σx (7+0.5)-13 　　2.55 標準化 z= = P(|z|≧2.16）=0.0308≦α=0.05 帰無仮説を棄却 ：鎮痛剤A、Bの効果に差はある z=-2.16 P(|z|≧2.16）=0.0154×2=0.0308

標準正規分布表

2項分布：B(x;26,0.5) 正規分布：N(x;μ=np,σx2=np(1-p)) μ=13、σx=2.5495

2通りの方法で10個の容器の体積を測定した。2通りの方法に 何らかの偏りがあるか。有意水準5%で検定しなさい。 演習4.1 2通りの方法で10個の容器の体積を測定した。2通りの方法に 何らかの偏りがあるか。有意水準5%で検定しなさい。 方法１　10.5　11.6　10.4　11.7　12.2　11.7　11.4　12.8　10.1　10.2　ml 方法２ 　8.9　10.3　10.5　10.6　10.8　10.6　10.4 11.0　　9.2　12.3　ml 演習4.2 30人の医師が、新開発の貼り薬A、疑似薬Bを半々にしたシップを 臨床試験している。医師はどちらが疑似薬かは知らされていない、 カルテに有効性を5段階で記入してもらい、整理した結果が次の データである。新薬は有効と言ってよいか。有意水準5% A 4 4 5 5 3 2 5 3 1 5 3 4 4 4 4 2 2 3 1 5 2 3 4 5 4 3 4 3 4 2 B 2 3 5 3 4 3 3 4 2 3 4 2 5 4 5 3 4 4 3 5 3 4 2 3 5 4 2 4 3 3