第1回 確率変数、確率分布 確率･統計Ⅰ ここです！ 確率変数と確率分布 確率変数の同時分布、独立性 確率変数の平均 確率変数の分散 確率変数の共分散 ベルヌイ試行、二項分布 二項分布（続き）、幾何分布 ポアソン分布 正規分布 正規分布（続き） 大数の法則、中心極限定理 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）

確率変数、確率分布 確率変数 確率分布

確率変数とは 確率変数の直感的表現 偶然的変動を含む量を確率変数と呼ぶ 種々の値をとる確率が定まる変量を確率変数と呼ぶ 試行（実験・観測・調査等）の結果を表す変数 X のこと 決定論的に定められないすべての未知の変数 問題とする変量がいかなる値をとるか確定的には予測できないとき、その不確定変量を確率変数と呼ぶ 河野敬雄氏の収集による（「確率概論」京都大学学術出版会、pp.25-26）。

例 ある物体が動き出してからの時間を ｔ とする 確率変数とは 変数…いろいろな値をとる文字 例 ある物体が動き出してからの時間を ｔ とする x ＝ f ( t ) t=1 t=1.5 t=2 … 「確率変数」の前に、まず「変数」の概念を復習しよう。直感的には「値が変化する文字」くらいの理解ですませているはずである。では変数 t の値はいつ誰が決めるのか？ （数学的には人間がいろいろ指定するだけだが、物理的には“自然に”変化する。）

確率変数とは 確率変数…いろいろな値をとる「確率」が定まっている文字 例 サイコロを10回投げるとき、 1の目が出る回数 X 例 サイコロを10回投げるとき、 1の目が出る回数 X 2の目が出る回数 Y 「事象」は抽象的なので、「確率変数」を用いて「実数」に対応させるのである。これにより、「事象の確率」が「実数の確率」（確率変数がとる値ごとの確率）になる。 「確率変数」X の値はいつ誰が決めるのか？ （数学的には「それぞれの値に対して確率だけ決まっている」。物理的には、“神様” が決める。） 試行を行う前の状況を予測記述していると考えればよいだろう。 「値が確定しない」というイメージはよくない。 事象が決まれば、それに対応して値が「定まる」。

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確率分布 実際上、確率変数 X についてのいろいろな確率が計算できるためには、 X 1 2 3 4 5 6 1/6 確率 ・ pi が確率分布であるためには、Σpi = 1 （全部足して1）にならなければならない。 　上のように、各 xi に対する P(X=xi) ＝ pi の値がすべて決まっていればよい。この「決まり方」 pi が「確率分布」。 　X の値が離散的な場合は、上のような表を「確率分布」と思ってよい。

P ( X = x ) 確率変数 X がたとえば x という値をとる確率（定まっている）を、 P ( X = x ) と書く。 ↑X が ↑確率

例 サイコロを1回投げて出る目の数を X とする P ( X = 3 ) ＝ 1/6 P ( X=1 または X=4 ) ＝ 2/6 ＝ 1/3 P ( X=1 かつ X=4 ) ＝ 0 P ( 1≦X≦4 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3 P ( 0.5≦X≦4.2 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3 P( ) の括弧の中には、確率変数を含むいろいろな式を書いてよい。記号 P は、「そうなる確率」という言葉の代わりである。

※ X の値は離散的とは限らない。 例 区間 [0,1] にランダムに針を落とす。落ちた位置を X とする。 1 X 0.3 0.5 0.7 0.8 1 確率 ? これでは不十分。 このように、X のとる値が無限個で、連続的な場合は、 任意の a,b に対して P ( a≦X≦b ) ＝ F(a,b) が定まっていればよい。

X が連続的な場合、ふつうはその分布は定積分で与えられる： f (x) x a b 連続的な値をとる確率変数の場合、考え方は離散的な場合と同じだが、和が積分になるなどの違いがある。 f(x) は「dxをかけて積分して初めて確率になる」ので、「確率密度」と呼ばれる。 この f (x) のグラフが、前の離散的な場合の分布表と同じ役割を果たす。 f (x)を 確率密度関数という。 （ f(x)dx が確率になる ）

まとめ 離散的確率変数 連続的確率変数 確率分布 P ( X = x ) ＝ px P ( x≦X ≦x+dx ) ＝ f (x) dx 最終的には連続的な場合の理解が重要になる。 累積分布関数を考えるのと、分布密度関数を考えるのとでは、（互いに微分積分の関係にあるので）どちらでもいいが、グラフの面積として考える場合、分布密度関数を使うほうがわかりやすいだろう。この講義でも、もっぱら密度関数のほうを使うことにする。 f(x) が確率密度関数であるためには、∫f(x)dx = 1 にならなければならない。 分布関数 F (x)=P (X≦x )

(2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。 ［演習］確率変数、確率分布 （連続型） 区間[0,1]に針を落とすとき、落ちる位置の座標を X とする。風の影響で、確率変数Xの確率分布が右下図のような形をしているものとするとき、次の問いに答えよ。 (1) X の確率密度関数 f (x) を求めよ。 (2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。 まず、∫f(x)dx = 1 となるように a を定める。（幾何学的にやれば計算は楽だが、0.5の左右で分けてきちんと式でやったほうが、平均や分散の計算に応用がきく。） a 0.5 f(x) 1

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