Natural beauty of the standard model I -A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom- 西川　美幸

歴史的背景（ディラック） P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931) 積分の仕方によらず 波動関数の位相は、観測可能量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さえ　　　　一意ならば良い。 積分路の隣接する点で稼ぐ位相の差は決まっているが、 　　全積分区間にわたる位相は一価でなくても良いとする。 　　　　　　　　　　と書いたとき、位相の一価部分は打ち 消す。故に物理的意味を持つのは微分値 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のみ。 非可積分部　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が寄与。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　、ポテンシャル　　　　　　　　　。　　　　　　　

ポアンカレ群に唯ひとつ複素位相が 内在していること ミンコフスキー空間における２体問題では、 　一方の座標系の局所的ローレンツ変換に帰着できない自由度が（複素）１次元だけ存在する。 （理由）ローレンツ変換の一般形 　　　　Λ＝ＲＬＲ’ 　　Ｒ、Ｒ’ ：空間回転　Ｌ：１軸方向のブースト 　　回転は２回必要！

A general position of a pair of coordinates 3 1 2 X ωX A general position of a pair of coordinates 3 ωY Y 1 2 (step 1) Rotate the 1st axis of X to be parallel to XY. (step 2) Rotate the 1st axis of Y to be parallel to XY. (step 3) Rotate the 2nd axis of Y to be parallel to that of X.

The standard position of the two coordinates 3 3 ωY 1 1 X Y ωX 2 2 (step 4) Boost along XY. (step 5) Superpose X and Y by a parallel motion along XY.

Decomposition of angular momentums VX －Vr ωX r ωY ωY r r :=XY X VY Y Vr (step 6) Neglect VX and VY orthogonal to XY. (step 7) Only ωX and ωY are internal, and origin of the spins.

≅ ≅ ≅ ≅ ≅ General relativity ⇒ Spin synthesis spinning rotating static X Y ≅ X Y X Y ≅ α α 　　　spinning　　 rotating static α ≅ 　 ｰ α 　ｰ β ≅ 　ｰα 　ｰ β X Y rotating 　　　　　 spinning spinning β X Y X Y SX⊥ SX⊥ SＹ⊥ SX⊥ SＹ⊥ Only this inner product ≅ SＹ⊥ ⇒ SX1 X SＹ1 Y X Y SX1 ｰ SＹ1 general spins 　　　　　 spinning　　　　　　　 is important!

この複素位相から重力場や電磁場 などが定義できること Θ（ｘμ ）＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ ＋∇μ∇νΘｄｘμｄｘν 　　 　　　　　　　　　　　　　　　＋… 　　　　　　　 ＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ＋（iG+F）μνｄｘμｄｘν U(1)⇒G μνはエルミート、 Fμνは反エルミート。 重力場　　　　　　　　電磁場　　とみなす。

話は飛躍、とある大学院試問題 ２次元空間における関数ψは半径 の円の外部で有界で、２次元のラプラス方程式 ２次元空間における関数ψは半径 の円の外部で有界で、２次元のラプラス方程式 を満たし、円周上の極座標　　　　 で表される点では という値をとる。Ψを決定せよ。 y ｘ には、解が無限個ある（図を参照）。 多価性がポイント 円上で値が一致、負の ｘ 軸上に cut

物理学におけるマーフィーの法則 （TA経験から）εーδ論法は一長一短。 厳密な分、勘違いし易い（木を見て森を見ず） 　厳密な分、勘違いし易い（木を見て森を見ず） 　使わないと大雑把な理解はし易いが、 　　log の多価性に注意しない傾向がある。 試験問題を読み間違える人もいる。 　試験というのは学生が 　一定の理解をしていることの証明にはなる が、 解けなかったからといって 理解していないことの証明にはならない。

結論 多価性は、とても重要。 特に物理学で偏微分方程式の境界条件は 測定可能量と限らないので、注意深く扱うべき。 　特に物理学で偏微分方程式の境界条件は 　測定可能量と限らないので、注意深く扱うべき。 　ポアンカレ群に内在する内部自由度が 　電磁場の量子論に本質的な位相の起源？ 　 （∵　運動量と位置は非可換！期待値のみ） ⇒博士論文（継続審査中）に乞う、ご期待