確率と統計2011 平成24年1月12日(木) 東京工科大学 亀田弘之

まずは復習から 学んで時にこれを習う。また説（よろこばし）からずや。 学而時習之　不亦説乎 東京工科大学　確率と統計2011

はじめにデータありき ５ ９ ２ ８ １ ６ １ １ ４ ２ ７ 社会調査や実験の実施 により得られる 東京工科大学　確率と統計2011

データを全体として眺めるとき， 集団として何らかの性質を持っている． ＝＞統計的性質 この性質（分布の様子）を,例えば， (算術)平均・中央値・モードなどの いわゆる代表値や，分散・標準偏差・範囲(range)などで数値的に捕らえた． 定義や計算方法が重要． 統計ソフトの利用も考えよう． 東京工科大学　確率と統計2011

日本計算機統計学会のページも参考にしてください。 統計ソフトウェア 参考情報 EXCEL：お手軽？ R：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS：本格的なソフトウェア（有償） SAS：本格的なソフトウェア（有償） GnunPlot・Maximaなども便利 （いろいろと学んでください．） 日本計算機統計学会のページも参考にしてください。 http://www.jscs.or.jp/etc/softdata.html 東京工科大学　確率と統計2011

基本的な統計量 平均 (mean) 中央値 (median) モード (mode) 最大値・最小値 (maximum, minimum) 範囲 (range) 分散 (variance) 標準偏差 (standard deviation)　など 東京工科大学　確率と統計2011

平均 定義 ： m =(x1 + x2 + ・・・+Xn)÷n 意味：データ群の中心（重心） 考え方：データ群の中心（重心）で，データ群 　　　　を代表させる。（代表値） 特徴：量 の最小値を与える点． 　　（基準点としてふさわしい） 東京工科大学　確率と統計2011

中央値 定義：データを大きさの順に並べたときに 中央にくるデータ値。 意味：順序的観点から真ん中辺り。 定義：データを大きさの順に並べたときに 　　　　中央にくるデータ値。 意味：順序的観点から真ん中辺り。 考え方：順序的観点から中庸を捉えている。 　　　　真ん中辺りを代表値とする。 特徴：飛び離れ値に影響されない。 　　　量 　　　の最小値を与える点。 東京工科大学　確率と統計2011

モード（最頻値） 定義：度数（出現回数）がもっとも 多いデータ値。 意味：多数派がデータ群を代表する。 考え方：度数の多いもの程重要。 定義：度数（出現回数）がもっとも 　　　　多いデータ値。 意味：多数派がデータ群を代表する。 考え方：度数の多いもの程重要。 特徴：飛び離れ値に影響されない。 　　　代表値として素直な定義。 東京工科大学　確率と統計2011

データの散らばりも大切 分散 (variance) 標準偏差 (standard deviation) 範囲 (range) 東京工科大学　確率と統計2011

範囲（レンジ） 定義：R = 最大値 ー 最小値 考え方：データの存在範囲 （すべてのデータはこの 範囲内にある） 考え方：データの存在範囲 　　　　（すべてのデータはこの 　　　　　　　　　　範囲内にある） 特徴：計算が簡単 　　　（工場などで実用されている） 東京工科大学　確率と統計2011

分散 定義： 考え方：「各データの平均mからのずれ」に着目して、その平方数の平均を求め、データ全体の散らばりを捉える。（偏差の平方の平均） 特徴：数学的に取り扱いやすい。 東京工科大学　確率と統計2011

標準偏差 定義：分散の平方根（√分散） 考え方：分散をもとに，データと同じ 次元の量にする。 考え方：分散をもとに，データと同じ 　　　　次元の量にする。 特徴：データに対して、足したり 　　　引いたりすることができる。 東京工科大学　確率と統計2011

以上で、得られたデータ群の特徴をとらえることができるようになった。 　以上で、得られたデータ群の特徴をとらえることができるようになった。 東京工科大学　確率と統計2011

さてもっと先に進みましょう Let’s go further! 東京工科大学　確率と統計2011

知りたい対象（母集団） 母集団 ４ ３ １ ５ １ ６ ７ 東京工科大学　確率と統計2011

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 無作為抽出 東京工科大学　確率と統計2011

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 統計的分析 東京工科大学　確率と統計2011

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 統計的推論 東京工科大学　確率と統計2011

抽出法 無作為抽出法： 　どのデータも等確率で抽出されるようなサンプリング法。つまり、どの単純事象も等確率で取り出される抽出法。 　Laplaceの確率の定義参照。高校で習った確率の定義でOK。 より詳しく知りたい人は、社会調査法などの勉強をしてください。（データは適切に集めなければ、 分析しても意味がない。サンプル数の決め方なども重要です。） 東京工科大学　確率と統計2011

分析法 統計的推定 統計的検定 　この授業では「モデルに基づく分析」を主に 取り扱っているが、近年モデルに基づかない分析法も重要になっている。 （例：データマイニングの分野） 東京工科大学　確率と統計2011

統計的推定 点推定 区間推定 興味のある人は、教科書p.136～p.142を 参照のこと。 信頼区間 信頼限界 東京工科大学　確率と統計2011

統計的検定 この授業では、まず、これを学んで欲しいと思っています。 （理由：とにかく役に立つから。 そして、慣れないと結構難しいから。） この授業では、まず、これを学んで欲しいと思っています。 （理由：とにかく役に立つから。 　　　　　そして、慣れないと結構難しいから。） 東京工科大学　確率と統計2011

仮説検定の考え方 前提： 方法論： 調査や実験によりある事実Eが得られた． この事実からあることを主張したい． （これを仮説という．） モデルを仮定する（仮説設定：帰無仮説H0） その仮説が正しいとして，事実Eの生起確率pを計算する． pの値が異常に小さければ，仮説H0を棄却する． （誤謬法/背理法の考え方） 東京工科大学　確率と統計2011

検定の考え方の例 実験：サイコロを600回振ったら、１の目が 180回出た（事実E）． 主張したいこと：１の目が出やすい． 仮説の設定：どの目も等確率で出る． Eの生起確率pの計算： p≒0 判断：出易い． 計算方法と判断の基準の理解が重要 東京工科大学　確率と統計2011

(重要)確率分布の相互関係図 東京工科大学　確率と統計2011

事実： ２項分布は正規分布で近似できる この事実（定理）に着目して計算をする。 （前回お話しましたよね！） ２項分布の平均mと分散s2を求める B(m, s2 )。 Nが十分大きければN(m, s2 )で近似。 標準化する。 標準正規分布N(0,12)の数表を利用して、 確率計算する。 東京工科大学　確率と統計2011

例題（教科書p.163例１） 　ある市役所ではこれまで数年間銘柄Aの電球を購入していたが，銘柄Bの電球の方が価格が安いのでBへの切り替えを考えている．銘柄Bのセールスマンは自社の製品が品質においてAの製品と同じであると主張している．数年間の経験によれば，製品Aの平均寿命は1180時間で，標準偏差は90時間であった． 東京工科大学　確率と統計2011

　製品Bのセールスマンの主張をテストするため，その銘柄の電球100個を正規販売店から購入して試験をした．その結果，m=1140,s=80が得られた．電球の品質の尺度として平均寿命時間を考えるとすれば，どう結論すべきか？ 東京工科大学　確率と統計2011

問題の整理 事実： 製品Bの m=1140, s=80 製品Aの m=1180, s=90 知りたいこと： AとBは同じ品質なのか？ 　　　　　　　　　Bの方が劣っているではないか？ 仮説：AとBは品質的に同等． 確率の計算：Bのデータの生起確率pを， 　　　　　　　　　　平均μ=1180,分散σ2=902の母集団から　 　　　　　　　　　　の抽出として計算する． 危険率（有意水準）αを設定：α＝１０％とする． 東京工科大学　確率と統計2011

確率の計算をしてみよう （いままでと少し違うところが出てきます！） 東京工科大学　確率と統計2011

理論的根拠（１） 標本平均の平均mは母平均と等しい． 標本平均の分散σm2は母分散のｎ分の１倍．(nは標本の大きさ) つまり， E(m) = μ E(σm2)=σ2/n 東京工科大学　確率と統計2011

理論的根拠（２） ｘが平均μ，分散σ2 の任意の分布に従うとき，大きさｎの無作為標本に基づく標本平均mは，ｎが限りなく大きくなるとき， 平均 μ，分散 σ2 /n の正規分布に近づく． 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 教科書p.130 定理２ 東京工科大学　確率と統計2011

計算 標本平均の標準偏差： 90/√100 = 9 標準化： Z = ((1140 – 1180) -0)/ 9 = -40/9 = -4.4 標準正規分布表（教科書p.295 表IV）： 　Zがー∞～－4.4の範囲の値をとる確率は，p≒0． 東京工科大学　確率と統計2011

判断 確率p≒０ < 0.1 (10%) ． おきにくい事が起きたのではなく，仮説が 間違っていると考えて，仮説を棄却する． 最終結論： 　　　有意水準10％において， 　　銘柄BはAよりも劣っている． 東京工科大学　確率と統計2011

コメント 確率の計算方法を理解 (figure out)するためには、数学の勉強が必要であるが、検定自体を目的とするのであれば，基本的考え方と手順とをしっかりとマスターすればよい。 理論的なものは、必要に応じて，必要になったものだけを一生かけてゆっくり、かつ、じっくり勉強してください。 慌てず、焦らず、諦めずの精神で 東京工科大学　確率と統計2011

χ2検定 いろんな場面で使えて便利な検定法． （先ほどのサイコロの例を再び取り上げてみる．） 東京工科大学　確率と統計2011

（自分で表を作ってください） １の目が出る回数 他の目が出る回数 実測値A １８０ ４２０ ６００ 理論値B １００ ５００ (A-B)2/B 64 64/5 合計 ７６.８ 自由度φ= ２－１＝１ 東京工科大学　確率と統計2011

結論：有意水準１％のもとで，１の目は出やすい． χ2 = 76.8 ＞　χ02 = 6.6(有意水準1%) 結論：有意水準１％のもとで，１の目は出やすい． 手法は異なっても結論は同じ！ 東京工科大学　確率と統計2011

２つの平均の差の検定 先の電球A, Bの品質の差の問題を再度取り上げる。これは２つの平均同士に差があるかどうかの検定と考えることもできる。 これを「２つの平均の差の検定問題」という。 教科書p.172～p.176 東京工科大学　確率と統計2011

定理 x1, x2がそれぞれ独立に平均 μ1, μ2，標準偏差σ1,σ2の正規分布に従うとき， 変数 x1-x2 は 平均 μ1ーμ2, 標準偏差 σx1-x2 = √(σx12+ σx22) = √(σ12/n1 + σ22/n2) の正規分布に従う。 東京工科大学　確率と統計2011

Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線の面積を求めると、表VIより，p≒0 結論：AとBの平均の差は同じではない。 計算： 変数x1-x2は、 平均 = ０ 標準偏差 = √（90*90/100 + 80*80/100） = 12 の正規分布に従う． Z＝(1140-1180)/12=-40/12=-10/3=-3.3 Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線の面積を求めると、表VIより，p≒0 結論：AとBの平均の差は同じではない。 東京工科大学　確率と統計2011

コメント 「２つの平均の間に差があるのか？」はしばしば問題となるので、この検定方法は役に立つ。 ただし今の場合、母分散σ1,σ2が既知である。これらが既知でない場合はもう一工夫が必要となる（ t検定 を導入する必要がある）。 東京工科大学　確率と統計2011

練習問題 東京工科大学　確率と統計2011

Problem1 さいころを180回投げて、１の目の出る 確率が28回以上、34回以下である確率を 求めよ。 さいころを180回投げて、１の目の出る 確率が28回以上、34回以下である確率を 求めよ。 東京工科大学　確率と統計2011

ヒント B(n,p)の二項分布は、nが十分大きければ、平均np, 分散np(1-p)の正規分布N(np, np(1-p)で近似できる。 N(μ, σ2)の正規分布は、標準化変換 Z = (X – μ)/σ により、標準正規分布N(0, 1)に 変換される。 標準正規分布に関する計算は、数表を利用することができる。 東京工科大学　確率と統計2011

Problem2 １つのさいころを120回投げたら以下のようになった。このさいころは正しく作られているか？ 有意水準5%で検定せよ。 目の数 １つのさいころを120回投げたら以下のようになった。このさいころは正しく作られているか？　有意水準5%で検定せよ。 目の数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 合計 出現回数 １９ ３１ １７ ２３ １１ 120 東京工科大学　確率と統計2011

Problem3 ある町で無作為に選ばれた618名に対して、とある伝染病の予防接種の効果を調べたら、以下のようになった。この予防接種は有効といえるか？有意水準5%で検定せよ。 罹病　　　健康 　合計 予防接種した 予防接種せず 　４　　　　３５４ 　９　　　　２５１ 　３５８ 　２６０ 計 １３　　　　６０５ 　６１８ 東京工科大学　確率と統計2011

Problem4 結婚に対する適応性に関してのアンケート調査を行ったら次ページのような結果が得られた。“学歴”と“結婚に対する適応性”の間には関係があるといえるか？　 ただし、有意水準5%として考察せよ。 学歴 　　　　　結 婚 に 対 す る 適 応 性 非常に低い　　低い　　　高い　　非常に高い 　　計 大学卒 高校卒 小中学卒 　　　　　　　２９　　　 ７０　　　 １１５ 　　　　　　　２８　　　 ３０　　　　 ４１ １１　　　　　　　１０　　　　１１　　　　 ２０ 　２３２ 　１１６ 　　５２ 計 ４６　　　　　 ６７　　 １１１　 　　１７６ 　４００ 東京工科大学　確率と統計2011

ヒント I. 理論値 II. 自由度φ ＝ (行数 ー 1)× (列数 ー 1) ＝ (3－１)・(4ー1) ＝ 6 学歴 　　　　　結 婚 に 対 す る 適 応 性 非常に低い　　低い　　高い　　非常に高い 計 大学卒 高校卒 小中学卒 　２７　　　　　　３９　　　 ６４　　 １０２ 　１３　　　　　　１９　　　 ３２　　　 ５１ 　　６　　　　　　　 ９　　　１４　　　 ２３ 　２３２ 　１１６ 　　５２ ４６　　　　　 ６７　　１１１　　 １７６ 　４００ II. 自由度φ ＝ (行数 ー 1)× (列数 ー 1) 　　　　 ＝ (3－１)・(4ー1) 　　　　 ＝ 6 III. 計算値χ2 = 20.7　＞　 χ02 = 12.6 東京工科大学　確率と統計2011