（ ） （ ） 行 列 式 置 換 ｎ文字の置換σ： ｎ個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への１対１の写像 1 2 ・・・ n 　　　　　　　　　行　列　式 　　　　置　換 ｎ文字の置換σ： 　ｎ個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への１対１の写像 （ 1 2 ・・・　 n ） σ ＝ k1 k2 ・・・ kn 1→k1, 2→k2, ・・・ ,n→kn （ ） 1 2 3 4 σ(1)=3, σ(2)=1, σ(3)=4, σ(4)=2 例） σ ＝ 3 1 4 2

（ ） （ ） （ ） 置換の積 ２つのｎ文字の置換σ,τの積στを στ(i)=σ(τ(i)) (i=1,2,・・・,n) と定義する。 　 置換の積 ２つのｎ文字の置換σ,τの積στを στ(i)=σ(τ(i)) 　　 (i=1,2,・・・,n) と定義する。 （ ） （ ） 1 2 3 4 1 2 3 4 例） σ ＝ τ ＝ 4 3 1 2 2 3 4 1 στ(1)=σ(2)=3, στ(2)=σ(3)=1 　 στ(3)=σ(4)=2, στ(4)=σ(1)=4 　 （ ） 1 2 3 4 σ τ ＝ 3 1 2 4

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 単位置換、逆置換 単位置換ε：全ての文字を動かさない置換 σの逆置換：σ－１ 1 2 ・・・ n 　 単位置換、逆置換 単位置換ε：全ての文字を動かさない置換 σの逆置換：σ－１ （ ） （ 1 2 ・・・　 n ） k1 k2 ・・・ kn σ ＝ σ－１ ＝ 1 2 ・・・　 n k1 k2 ・・・ kn σ－１ σ＝ σ σ －１＝ ε （ ） 1 2 3 4 5 例） σ ＝ 4 5 1 3 2 （ 4 5 1 3 2 ） （ 1 2 3 4 5 ） σ－１ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 3 5 4 1 2

（ ） 巡回置換 {1,2,・・・,n}のうち、 k1, k2, ・・・, kr 以外は動かさないで、 　 　　巡回置換 {1,2,・・・,n}のうち、 k1, k2, ・・・, kr 以外は動かさないで、 K1, k2, ・・・, kr のみを k1→k2 , k2→k3, ・・・ kr→k1 と順にずらす置換 （ k1 k2 ・・・ kr ） σ ＝ を巡回置換といい k2 k3 ・・・ k1 σ ＝ （ k1 k2 ・・・ kr ） と書く． 例） σ ＝(2 5 3) σ ：2→5, 5→3, 3→2 σ ＝(2 5 3) ＝(5 3 2) ＝(3 2 5) 任意の置換は，巡回置換の積で表される．

互換 置換の符号 ２文字の巡回置換 (i j) を互換という． 任意の巡回置換は 　 　　互換 ２文字の巡回置換 (i j) を互換という． 任意の巡回置換は (k1 k2 ・・・ kr)＝ (k1 kr) ・・・(k1 k3) (k1 k2) と表されるので、全ての置換は互換の積で表される． 　 置換の符号 置換σがm個の互換の積で表されるとき sgn(σ)＝(－１) m ：σの符号 sgn(στ)＝ sgn(σ) sgn(τ) sgn(σ－１)＝ sgn(σ)

偶置換、奇置換 置換全体の集合 sgn(σ)＝１ ：偶置換 sgn(σ)＝－１ ：奇置換 Ｓn：ｎ文字の置換全体 　 偶置換、奇置換 sgn(σ)＝１　　　　：偶置換 sgn(σ)＝－１　　　：奇置換 　 置換全体の集合 Ｓn：ｎ文字の置換全体 Ｓnの元の個数＝ｎ！（＝ｎ個の順列の個数） 例） Ｓ3＝{ε, (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}

det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) 　　　行列式の定義と性質（１） 　　行列式 ｎ次正方行列 Ａ＝[ａij] det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) σ∈ Ｓn 例） ａ11　ａ12 ａ21　ａ22 ＝ sgn(ε)ａ11ａ22 ＋ sgn((1 2))ａ12ａ21 ＝ ａ11ａ22 － ａ12ａ21 ａ11 ａ12 ａ13 ａ21 ａ22 ａ23 ａ31 ａ32 ａ33 ＝ ａ11ａ22ａ３３ ＋ａ12ａ23ａ３1 ＋ ａ13ａ21ａ３2 －ａ12ａ21ａ３３ －ａ11ａ23ａ３2 －ａ13ａ22ａ３1

サラスの方法 ａ11 ａ12 ａ13 ａ21 ａ22 ａ23 ａ31 ａ32 ａ33 ａ11　ａ12 ａ21　ａ22 ー ＋ ＋ ＋ ＋ ー ー ー ａ11 ａ12 ａ13 ａ21 ａ22 ａ23 ａ31 ａ32 ａ33 ａ11 ａ12 ａ13 ａ21 ａ22 ａ23 ａ31 ａ32 ａ33 ー ー ー ＋ ＋ ＋

det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) 定理３.２.１ ａ11　ａ12　・・・　ａ1n ａ22　・・・　ａ2n ０　 ａ22　・・・　ａ2n ＝ａ11 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn2　・・・　ａnn ０　 ａn2　・・・　ａnn det(Ａ)＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) σ 　　　　＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1)ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) σ(1)=1 　　　　＝ａ11 Σ sgn(σ) ａ2σ(2)・・・ａnσ(n) σ(1)=1 ａ22　・・・　ａ2n ＝ａ11 ・・・ ・・・ ａn2　・・・　ａnn

3 1 2 2 3 0 2 3 = 3 = 3(2・4ー1・3) = 15 1 4 0 1 4 上三角行列の行列式 ａ11　ａ12　・・・　ａ1n ａ22　・・・　ａ2n ０　 ａ22　・・・　ａ2n ０　 ・ ０　 ０　 = ａ11 =・・・= ａ11ａ22 ・・・ａnn ・ ・・・ ・ ・ ・・・ ・ ・ ・・・ ・・・ ・・・ ・ ・ ・ ・ ０　・・・０ ａnn ０　 ０　・・・０ ａnn ｜Ｅ｜＝１

Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｃａiσ(i)・・・ａnσ(n) 定理３.２.２ （１）１つの行をｃ倍すると行列式はｃ倍になる。 ａ11　　・・・　ａ1n ａ11　　・・・　ａ1n ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ｃａi1　・・・　ｃａin ＝ ｃ ａi1　・・・　 ａin ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn1 　・・・　ａnn ａn1 　・・・　ａnn Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｃａiσ(i)・・・ａnσ(n) σ ＝ｃΣ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ａiσ(i)・・・ａnσ(n) σ

Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・(ｂiσ(i)+ｃiσ(i))・・・ａnσ(n) 定理３.２.２ （２）第ｉ行が２つのベクトルの和である行列の行列 　　　式は、他の行は同じで第ｉ行に各々の行ベクトル 　　　をとった行列の行列式の和になる。 ａ11　　・・・　ａ1n ａ11・・・ａ1n ａ11・・・ａ1n ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ｂi1+ｃi1・・・ｂin+ｃin ＝ ＋ ｂi1・・・ ｂin ｃi1・・・ｃin ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ａn1 　・・・　ａnn ａn1・・・ａnn ａn1 ・・・ａnn Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・(ｂiσ(i)+ｃiσ(i))・・・ａnσ(n) σ ＝Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｂiσ(i)・・・ａnσ(n) σ ＋Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ｃiσ(i)・・・ａnσ(n) σ

-1 2 0 -1 2 0 -1 2 0 a+3 b+6 c+9 = a b c + 3 6 9 7 2 4 7 2 4 7 2 4 -1 2 0 -1 2 0 = a b c + 3 1 2 3 7 2 4 7 2 4

Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ａjσ(i)・・・ａiσ(j)・・・ａnσ(n) 定理３.２.３ （１）２つの行を入れ替えると行列式は－１倍になる。 （２） ２つの行が等しい行列の行列式は０である。 ａ11　・・・　ａ1n ａ11　・・・　ａ1n ・・・・・ ・・・・・ ａj1　・・・　 ａjn ａi1　・・・　 ａin ｉ → ← ｉ ・・・・・ ・・・・・ ＝ － ｊ → ａi1　・・・　 ａin ａj1　・・・　 ａjn ← ｊ ・・・・・ ・・・・・ ａn1 ・・・　ａnn ａn1 ・・・　ａnn τ＝σ(ｉ　ｊ)　とする Σ sgn(σ)ａ1σ(1) ・・・ａjσ(i)・・・ａiσ(j)・・・ａnσ(n) σ ＝－Σ sgn(τ)ａ1τ(1) ・・・ａjτ(j)・・・ａiτ(i)・・・ａnτ(n) τ

2 3 1 2 3 1 4 6 2 = 2 2 3 1 = 0 1 6 7 1 6 7 0 0 1 　3 -1 1 0 2 2 = ー 0 2 2 = ー6 3 -1 1 　0 0 1

定理３.２.４ 　行列の１つの行に他の行の何倍かを加えても、行列式の値は変わらない。 ａ11　・・・　ａ1n ａ11　・・・　ａ1n ・・・・・ ・・・・・ ａi1+ｃａj1・・・ａin+ｃａjn ａi1　・・・　 ａin ｉ → ← ｉ ・・・・・ ・・・・・ ＝ ｊ → ａj1　・・・　 ａjn ａj1　・・・　 ａjn ← ｊ ・・・・・ ・・・・・ ａn1 ・・・　ａnn ａn1 ・・・　ａnn ａ11　・・・　ａ1n ａ11　・・・　ａ1n ａ11　・・・　ａ1n ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ａi1+ｃａj1・・・ａin+ｃａjn ａi1　・・・　 ａin ａj1　・・・　 ａjn ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ＝ ＋ ｃ ａj1　・・・　 ａjn ａj1　・・・　 ａjn ａj1　・・・　 ａjn ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ａn1 ・・・　ａnn ａn1 ・・・　ａnn ａn1 ・・・　ａnn

1 3 4 1 3 4 1 15 -2 -5 7 = 0 1 15 = 11 11 -3 2 -1 0 11 11 1 15 1 15 =11 = 11 11 11 0 -14 =11・(-14) = ー154