東邦大学理学部情報科学科 白柳研究室 5510039 小泉宏美 対称群の元の位数について 東邦大学理学部情報科学科 白柳研究室 5510039　小泉宏美

研究の背景と目的 対称群の元の最大位数を求める際に、自力で計算す るには非効率であり、そのためのプログラムをつくり 研究につなげることにした。 対称群の元の位数のうち最大のものを、Mapleにより プログラムし、位数に関する性質を調べる。

元の位数 群における元aの位数とは axが単位元となる最小の自然数ｘ (1 5 3)(2 6)(4 7) 元の位数　 群における元aの位数とは 　　　　　　axが単位元となる最小の自然数ｘ [定理]対称群の任意の元を互いに素な巡回置換の積で表したとき、その元の位数は、それぞれの巡回置換の位数の最小公倍数となる。（cf.Robinson,An Introduction to Abstrsct Algebra） 積 1 2 3 4 5 6 7 5 6 1 7 3 2 4 群における元aの位数とは、a＾ｘが単位元となる最小の自然数xである。つまり何回演算したら単位元になるかということである。 そして対称群の任意の元を互いに素な巡回置換の積で表したとき、その元の位数はそれぞれの巡回置換の位数の最小公倍数となる。 (1 5 3)(2 6)(4 7) 　　3 2 2 最小公倍数の６が位数

最大位数　 n 最大位数 1 2 3 4 5 6 7 12 8 15 9 20 10 30 11 60 13 14 84 105 16 140 17 210 18 19 420 20 21 22 23 840 24 25 1260 26 27 1540 28 2310 29 2520 30 4620 31 32 5460 33 210 34 9240 35 36 13860 37 38 16380 39 40 27720 41 30030 42 32760 43 60060 44 45 46 47 120120 48 49 180180 50 9240 210 9240 420 13860 420 13860 420 16380 6 420 16380 6 840 840 1260 1260 60060 30 60060 30 60060 60 60060 60 4620 120120 4620 120120 5460 180180 5460 180180

最大位数をつくる巡回置換の組み合わせ (1 5 3)(2 6)(4 7) [3 2 2] ｎ 巡回置換を位数で表した組み合わせ 6 位数で表すと、、、 (1 5 3)(2 6)(4 7) [3 2 2] ｎ 巡回置換を位数で表した組み合わせ 6 [6],[1,2,3] 11 [1,2,3,5],[5,6] 18 [1,2,3,5,7], [5,6,7] 21 [2,3,4,5,7], [1,1,3,4,5,7] 22 [4,5,6,7], [3,3,4,5,7], [1,2,3,4,5,7], [1,1,1,3,4,5,7] 45 [2,3,4,5,7,11,13],[1,1,3,4,5,7,11,13] 46 [4,5,6,7,11,13],[3,3,4,5,7,11,13],[1,2,3,4,5,7,11,13],[1,1,1,3,4,5,7,11,13]

元の個数 ６次対称群の位数２の元 [2,2,2],[1,1,2,2],[1,1,1,1,2] [2,2,2] [2,2,2]　　 …（1 2)(3 4)(5 6) 6C2・（2−1）!・ 4C2・（2−1）!・ 2C2・（2−1）! ３！ ＝１５ [1,1,2,2] 6C2・（2−1）!・ 4C2・（2−1）! ２！ ＝４５ [1,1,1,1,2] 6C2・（2-1）!＝１５ 15+45+15=75

ｎ 組み合わせ 元の個数 6 [6] 120 [1,2,3] 11 [1,2,3,5] 1330560 [5,6] 18 [1,2,3,5,7] 30487493836800 [5,6,7] 21 [2,3,4,5,7] 60822550204416000 [1,1,3,4,5,7] 22 [4,5,6,7] 446032034832384000 [3,3,4,5,7] 1338096104497152000 [1,2,3,4,5,7] [1,1,1,3,4,5,7] 45 [2,3,4,5,7,11,13] 995855984561107180835524154975505453416448000000000 [1,1,3,4,5,7,11,13] 46 [4,5,6,7,11,13] 15269791763270310106144703709624416952385536000000000 [3,3,4,5,7,11,13] 45809375289810930318434111128873250857156608000000000 [1,2,3,4,5,7,11,13] [1,1,1,3,4,5,7,11,13]

まとめと考察 最大位数に関して、ところどころに異なる対称群に対し て等しい最大位数が連続する部分がいくつかあった。 １つの最大位数に対して巡回置換の組み合わせが２個存 在する場合はそれらの元の個数は等しくなり、組み合わ せが　４個存在する場合は元の個数が等しくなるものが ２組ずつ　あった。 Ｓ18以降からだんだん位数分布の類似性がでてきた。 Ｓ50になると１０５６種類の位数の中でたった数個の位 数だけが際立って多くの元をもち、それはＳ50の位数の うち比較的小さな位数ばかりであった。 今後はプログラムを改良し、Ｓ50以降のグラフについて も調べていきたい。