ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ （第６回） 第４章 戦略形ゲームの応用 ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ （第６回） 第４章　戦略形ゲームの応用 2014年5月16日 担当　古川徹也 2014/05/16

今日の講義 教科書第４章「戦略形ゲームの応用」 4.1 弱支配戦略と支配されないナッシュ均衡 4.2 支配された戦略の繰り返し削除 4.1　弱支配戦略と支配されないナッシュ均衡 4.2　支配された戦略の繰り返し削除 4.3　【応用】オークション 4.4　【実践】インターネットオークション 2014/05/16

（弱）支配とゲームの解 支配戦略がある場合は，それを選択すると言うことが直ちに言える。 ３つ以上戦略がある場合，支配戦略はなかったとしても，ある戦略に支配される戦略がある場合，支配される戦略を削除することでゲームの解を絞り込むことができる。そのことを確認する。 この考え方をオークションのモデルに応用することを考える。 2014/05/16

4.1 弱支配戦略と 支配されないナッシュ均衡 4.1.1 戦略の支配関係 定義4.1（戦略の支配関係） 　あるプレイヤーの2つの戦略xとyを比べたときに，自分以外のプレイヤーがどんな戦略を選択しても，xのほうがyより高い利得を与える場合，そのプレイヤーの戦略はxはyを支配すると言う。 2つの戦略の間の関係であることに注意。支配戦略とは異なる。 2014/05/16

２ １ x2 y2 z2 x1 y1 z1 図4.1 戦略の支配関係 （４，３） （３，１） （２，２） （３，２） （２，１） （１，１） 図4.1　戦略の支配関係 　　　２ １ x2 y2 z2 x1 （４，３） （３，１） （２，２） y1 （３，２） （２，１） （１，１） z1 （２，３） （１，２） （０，１） ・x1はy1を支配する。y1はz1を支配している。したがって，x1はz1を支配している。 ・x1は支配戦略である。 2014/05/16

２ １ x2 y2 z2 x1 y1 z1 図4.1 戦略の支配関係（続き） （４，３） （３，１） （２，２） （３，２） （２，１） 図4.1　戦略の支配関係（続き） 　　　２ １ x2 y2 z2 x1 （４，３） （３，１） （２，２） y1 （３，２） （２，１） （１，１） z1 （２，３） （１，２） （０，１） ・合理的なプレイヤーであれば支配される戦略を選ばない。支配戦略があればそれを選択する。 2014/05/16

4.1.2　弱支配と弱支配戦略 定義4.2（戦略の弱支配関係） あるプレイヤーの２つの戦略xとyを比べたときに，そのプレイヤー以外がどんな戦略を選んでも，xの利得がy以上であり，なおかつ他のプレイヤーの少なくとも1つの選択に対してはxの利得がyの利得より高いとき，そのプレイヤーの戦略xは戦略yを弱支配すると言う。 ・戦略xがyを支配するならば，xはyを弱支配するが，xがyを弱支配するとき，xがyを支配するとは限らない。 2014/05/16

図4.2 弱支配関係 戦略x1は戦略y1を弱支配する。 2 1 x2 y2 x1 （２，０） （３，１） y1 （１，１） （３，０） 図4.2　弱支配関係 2 1 x2 y2 x1 （２，０） （３，１） y1 （１，１） （３，０） 戦略x1は戦略y1を弱支配する。 2014/05/16

弱支配戦略 定義4.3（弱支配戦略） あるプレイヤーの戦略xが他のすべての戦略を弱支配するとき，そのプレイヤーの戦略xを弱支配戦略と呼ぶ。 合理的なプレイヤーは，弱支配された戦略を選択しないと考える。 もし弱支配戦略があれば，それを選択する。 2014/05/16

4.1.3 支配されないナッシュ均衡と ナッシュ均衡の精緻化（図4.3） 4.1.3　支配されないナッシュ均衡と ナッシュ均衡の精緻化（図4.3） 2 1 x2 y2 x1 （２，１） （３，０） y1 （１，０） （３，１） 弱支配の考え方を利用すれば，ゲームの解は(x1,x2)のみがもっともらしい。 しかし，ナッシュ均衡は(x1,x2)と(y1,y2) 2014/05/16

ナッシュ均衡の中で，支配されないナッシュ均衡をゲームの解として考える。 定義4.4（支配されないナッシュ均衡） ナッシュ均衡の中で，すべてのプレイヤーの戦略がそのプレイヤーのどの戦略にも弱支配されていないとき，そのナッシュ均衡を支配されないナッシュ均衡と呼ぶ。 ナッシュ均衡の中で，支配されないナッシュ均衡をゲームの解として考える。 2014/05/16

均衡の精緻化（refinement） ナッシュ均衡は，ゲームの解が持つべき最低限の性質しか持っていないと考えられる。 したがって，ナッシュ均衡の定義だけでは，ゲームの種類によってはおかしな戦略の組み合わせもナッシュ均衡として認められてしまう。 ナッシュ均衡の中から，より望ましいと思われる性質をもつ戦略の組み合わせに絞り込むことを，均衡の精緻化と呼ぶ。 2014/05/16

4.2 支配された戦略の繰り返し削除 「支配された戦略は合理的プレイヤーによって選択されない」ということを利用して，大きなゲームを小さなゲームに変形する。 それを繰り返すことによって，唯一の戦略の組み合わせに到達できれば，それをゲームの解と考えることができる（合理的なプレイヤーがプレイした結果）。 ただし，いつも唯一の戦略の組み合わせにたどりつけるわけではない。 2014/05/16

２ １ x2 y2 z2 x1 y1 x2がz2を支配する→z2を削除 図4.5 支配された戦略の繰り返し削除（１） （２，３） （２，１） 図4.5　支配された戦略の繰り返し削除（１） 　　　２ １ x2 y2 z2 x1 （２，３） （２，１） （１，２） y1 （１，６） （８，１） x2がz2を支配する→z2を削除 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 y1 x1がy1を支配する→y1を削除 図4.5 支配された戦略の繰り返し削除（２） （２，３） （２，１） 図4.5　支配された戦略の繰り返し削除（２） 　　　２ １ x2 y2 x1 （２，３） （２，１） y1 （１，２） （１，６） x1がy1を支配する→y1を削除 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 図4.5 支配された戦略の繰り返し削除（３） （２，３） （２，１） x2がy2を支配する→y2を削除 図4.5　支配された戦略の繰り返し削除（３） 　　　２ １ x2 y2 x1 （２，３） （２，１） x2がy2を支配する→y2を削除 唯一残る組み合わせは(x1,x2) これはもとのゲームの唯一のナッシュ均衡ともなっている。 2014/05/16

２ １ x2 y2 z2 x1 y1 (x1,x2)がナッシュ均衡であることの確認 （２，３） （２，１） （１，２） （１，６） 　　　２ １ x2 y2 z2 x1 （２，３） （２，１） （１，２） y1 （１，６） （８，１） 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 y1 z1 x1がz1を弱支配する→z1を削除 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（１－１） （8，３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（１－１） 　　　２ １ x2 y2 x1 （8，３） （0，３） y1 （4，２） （0，１） z1 （8，１） （－８，２） x1がz1を弱支配する→z1を削除 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 y1 x2がy2を弱支配する→y2を削除 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（１－２） （8，３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（１－２） 　　　２ １ x2 y2 x1 （8，３） （0，３） y1 （4，２） （0，１） x2がy2を弱支配する→y2を削除 2014/05/16

２ x2 １ x1 y1 x1がy1を支配する→y1を削除 残るのは(x1,x2) 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（１－３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（１－３） 　　　２ １ x2 x1 （8，３） y1 （4，２） x1がy1を支配する→y1を削除 残るのは(x1,x2) 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 y1 z1 x1がy1を弱支配する→y1を削除 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（２－１） （8，３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（２－１） 　　　２ １ x2 y2 x1 （8，３） （0，３） y1 （4，２） （0，１） z1 （8，１） （－８，２） x1がy1を弱支配する→y1を削除 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 z1 y2がx2を弱支配する→x2を削除 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（２－２） （8，３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（２－２） 　　　２ １ x2 y2 x1 （8，３） （0，３） z1 （8，１） （－８，２） y2がx2を弱支配する→x2を削除 2014/05/16

２ y2 １ x1 z1 x1がz1を支配する→z1を削除 (x1,y2)がゲームの解 図4.6 弱支配された戦略の繰り返し削除（２－３） 図4.6　弱支配された戦略の繰り返し削除（２－３） 　　　２ １ y2 x1 （0，３） z1 （－８，２） x1がz1を支配する→z1を削除 (x1,y2)がゲームの解 2014/05/16

２ １ x2 y2 x1 y1 z1 (x1,x2)，(x1,y2)がナッシュ均衡 図4.6のナッシュ均衡 （8，３） （0，３） 　　　２ １ x2 y2 x1 （8，３） （0，３） y1 （4，２） （0，１） z1 （8，１） （－８，２） (x1,x2)，(x1,y2)がナッシュ均衡 2014/05/16

均衡の精緻化と今日の議論 ナッシュ均衡の条件だけでは，ゲームの解が複数出てくる可能性がある。これは予測として問題がある。 そこで，ナッシュ均衡の条件以外の要件を付け加え，その要件「も」満たす解はないかを考えるのが均衡の精緻化。 「（弱）支配される戦略の繰り返し削除でも生き残る」という要件を加えて考えたのが今日の議論。 2014/05/16

「繰り返し削除」でわかること 「支配される戦略の繰り返し削除」で絞り込みが成功するとは限らない（そのような戦略がないゲームもたくさんあるから） 「（強い意味の）支配される戦略の繰り返し削除」によって唯一の解が得られた場合，それはもともと唯一のナッシュ均衡として得られるものだから，絞り込みという観点からは弱い。 「弱支配される戦略の繰り返し削除」で唯一の解が得られた場合，それは複数のナッシュ均衡からの絞り込みとなっている。しかし，削除の順番で別のナッシュ均衡にたどり着くことがある，という問題点を抱えている。 2014/05/16

確認：今日の議論の意味 戦略的相互依存関係が存在する合理的な主体（プレイヤー）の間で「ゲーム」が行われたときに，どのような状況が起こるかを予測することが，ゲームを解くと言うこと。 ゲームの解が満たすべき条件の基本がナッシュ均衡の条件。 ナッシュ均衡の条件だけでは予測として弱い可能性があるので，新しい条件を付け加えた解を考える必要がある。 今日の「繰り返し削除」は，合理的なプレイヤーの間のゲームの解が満たすべき要件の１つの例。 2014/05/16