5個の数字0,1,2,3,4から異なる3個を選んで3桁の整数を作る。 場合の数 問題 5個の数字0,1,2,3,4から異なる3個を選んで3桁の整数を作る。 (1)全部で 個の3桁の整数ができる。 (2)偶数は 個で、奇数は 個である。 (3)9の倍数は 個で、4の倍数は 個である。
(1) よって4∙ 4 P 2 =4∙4∙3=48 ∴48 (2) 4 P 2 通り 3桁の整数を作る その後 ここに0は来れない。 1,2,3,4のうちのどれか⇒4通り 残りの4つの数字から2つを選んで 並べる。 よって4∙ 4 P 2 =4∙4∙3=48 ∴48 (2) 偶数を作るには、一の位が偶数であればよい (ⅰ)一の位が0の時 偶数 4 P 2 通り
(ⅰ)または(ⅱ)または(ⅲ)であればいいので 4 P 2 +9+9=30 ∴30 (ⅱ)一の位が2の時 その後 2 偶数 ここに0は来れない。 1,3,4のうちのどれか⇒3通り 真ん中には残りの3つの数字から どれか一つを選ぶ よって3×3=9通り (ⅲ)一の位が4の時 その後 4 偶数 ここに0は来れない。 1,2,3のうちのどれか⇒3通り 真ん中には残りの3つの数字から どれか一つを選ぶ よって3×3=9通り (ⅰ)または(ⅱ)または(ⅲ)であればいいので 4 P 2 +9+9=30 ∴30
(ⅰ)または(ⅱ) であればいいので 9+9=18 ∴18 奇数を作るには、一の位が奇数であればよい (ⅰ)一の位が1の時 その後 1 奇数 ここに0は来れない。 2,3,4のうちのどれか⇒3通り 真ん中には残りの3つの数字から どれか一つを選ぶ よって3×3=9通り (ⅱ)一の位が3の時 その後 3 奇数 ここに0は来れない。 1,2,4のうちのどれか⇒3通り 真ん中には残りの3つの数字から どれか一つを選ぶ よって3×3=9通り (ⅰ)または(ⅱ) であればいいので 9+9=18 ∴18
(3) 4,3,2の3つをならべる⇒3!=6 ∴6 ということなので、各位の和が9の倍数であればよい。 9の倍数は各位の数の和が9の倍数であればよい。 倍数のまとめ 2の倍数 偶数。つまり1の位が0or2 3の倍数 各位の数字の和が3の倍数。 4の倍数 下2桁が4の倍数。 5の倍数 下1桁が0or5 6の倍数 各位の数字の和が3の倍数かつ、偶数。 9の倍数 各位の数字の和が9の倍数。 ということなので、各位の和が9の倍数であればよい。 各位の和が9の倍数になるのは今回の場合、4,3,2の3つを選ぶしかない。 4,3,2の3つをならべる⇒3!=6 ∴6
よって3+2+3+2+2+3=15 ∴ 15 4の倍数は下2桁が4の倍数であればよい。 ここに 0は来れない 4 3通り 3 2 2通り 4 3通り 3 2 2通り ここに 0は来れない 2通り 4 3通り 1 2 2 3通り ここに 0は来れない 2 4 2通り よって3+2+3+2+2+3=15 ∴ 15