”Economics Mathematics by Graphics” Graphics10 PART2 2011年10月21日 学習院大学経済学部教授　白田由香利 千葉商科大学商経学部准教授　橋本隆子 学習院大学計算機センター准教授　久保山哲二

経済数学グラフィクス10個 PART2 2011年度科研費 基盤研究（Ｃ） 22500231推論エンジン法による知識ベースの構築 (代表　白田由香利)および，学習院経済経営研究所GEMの補助金の一部をこの サイトの開発に利用しています． 経済数学グラフィクス10個 PART2 Legal Notice: The copyright for this application is owned by the authors. The authors are not responsible for any errors contained within and are not liable for any damages resulting from the use of this material. This application is intended for non-commercial, non-profit use only. Contact the authors for permission if you wish to use this application in for-profit activities. Contact address: Prof. Yukari Shirota, Faculty of Economics, Gakushuin University, 1-5-1 Mejiro, Toshima-ku, Tokyo, 171-8588 JAPAN, yukari.shirota@ipsj.or.jp

国民所得決定問題 (政府支出を増やすと，国民所得が増える） [問題1] 総需要モデルを， Yd＝C+I+Gとする．消費C=100+0.6Y，投資I=40，とする．政府支出G が，40から60に増加した場合，均衡国民所得Yはどのように変化しますか？ ヒント： 総需要Ydの平面の式は， Yd=140+0.6Y+G　です．式を変形してGについて解き，G＝G(Yd, Y)の3Dグラフィクスを描いてみましょう． G=　Yd – 0.6Y - 140

G=　Yd – 0.6Y – 140 G Yd Y

政府支出　40→60で， 均衡国民所得　450→500に増加 G=500のYd G=450のYd Yd Ys Ys=Y

IS-LM分析 (中央銀行がマネーサプライを増やすと，国民所得が増える） [問題2] 経済モデルが以下のように与えられた場合，マネーサプライが　580から　590　に増加されると，均衡高民所得は増加するか減少するか？ 財市場 Yd=C+I, C=0.7Y+200， I＝－100r + 100 貨幣市場 マネーサプライMs，貨幣需要Md Md=0.2Y＋400－200r ヒント：連立方程式をMsについて解いて， Ms ＝ Ms(Y, r)の3Dグラフィクスを描いてみましょう．財市場の金利 r=r(Y) との交点が均衡点となります．

IS-LM分析 (中央銀行がマネーサプライを増やすと，国民所得が増える）      

Ms=(Y-1000*r+2000)/5 Ms r Y

マネーサプライ 580→590で， 均衡国民所得 975→987.5に増加 マネーサプライ　580→590で， 均衡国民所得　975→987.5に増加 財市場からえられた IS曲線 r=r(Y) Ms=580 r Ms=590 Y

需要と供給の分析 [問題3a] 「あんこクロワッサン」の需要量Qdと，供給量Qsは価格Pの関数として以下で与えられたとします． 　Qd＝　－0.5P＋40 　Qs＝　　1*P－20 　均衡価格と，均衡取引量を求めなさい．

需要曲線と供給曲線の交点 P Qs, Qd

需要と供給の分析 [問題3b] あんこクロワッサンの需要量Qdと，供給量Qsは価格Pの関数として以下で与えられたとします． 　Qd＝　－0.5P＋40 　Qs＝　　P－20 　あんこクロワッサン1個に8円の税金がかけられると，均衡価格と，均衡取引量はどのように変化しますか？

Qs ＝（供給側が手にする金額）－20 (供給側が手にする金額): Pー（税金） 税金あり P Qd, Qs

[問題4] ネピアのeの意味 この式で，aを２から３まで動かしながら，式とその導関数を描いてみましょう． 2.71828…で一致しました． この値をｅと呼ぶことに，昔，決めたのです．

a=2.0の場合 導関数のほうが小さい a=2.8の場合 導関数のほうが大きい a=2.4の場合 導関数のほうが小さい a=3.2 の場合 導関数のほうが大きい a=2.718の場合 ぴったり一致

[問題5]ネピアのeを使ったモデル化 ある国でのスマートフォン「ミネルバ」(実際にはありません）の普及台数をモデル化しました．どんなカーブになるでしょう． 変数ｘは，2010からの経過年数とします．

Exp(-ax+b)　の　a　を変化させて， 違いを比較する．

Exp(-ax+b)　のb 　を変化させて， 違いを比較する．

問題６　一次変換と平行移動 これについての説明は，ビデオ教材を見てください．

1変数関数の最大化問題 （マージナルに関する公式） [問題7]：　利潤π＝π(Q) が最大値をもつならば，その点において，以下が成り立つ．これは公式です．(証明は，｢悩める学生のための経済・経営数学入門の121ページ参照） 本当に，上記が成立するのか，以下の例で確かめてください． ある企業が独占ブランド品を生産販売しており，総費用関数Cと，需要関数Qdは，以下で与えられる． Q の係数　100 の値を変えても 最大点では，いつも MRとMCが交わる ことを確認しましょう．

使う経済セオリー 利潤 収入

利潤最大点で常に，MR=MC Q　係数　100　の値を変えても 最大点では，いつも MR(赤）とMC(黄緑）が 交わることを確認しましょう．

1変数関数の最大化問題 （マージナルに関する公式） [問題8]：　利潤π＝π(Q) が最大値をもつならば，その点において，以下が成り立つ．これは公式です．(証明は，｢悩める学生のための経済・経営数学入門の121ページ参照） 本当に，上記が成立するのか，以下の例で確かめてください． ある企業が独占ブランド品を生産販売しており，総費用関数Cと，需要関数Qは，以下で与えられる． Q　の係数 10 の値を変えても 最大点では，いつも MRとMCが交わる ことを確認しましょう．

Q=19.91で利潤最大 そこで，MR=MC

2変数関数の制約付き最大化問題 コブ・ダグラス型生産関数 [問題9] 　　スーパーお掃除ロボットHyper Constellation ZEN (実在しません）の生産量は以下の式の通りです． 資本Kと，労働Lに関して，K+3L＝100　という制約があるとき，生産量が最大となるKとLの値を求めなさい．

K+3L=100 → L= - K/3 + 100/3

2次元平面に投影することで， 最大点の(K,L)が読み取れる K=60, L=13.33

2変数関数の制約付き最大化問題 [問題10] 　　ジュースは100円，ハンバーガーは200円とします．所持金がM円しかありません．ジュースをｘ個，ハンバーガーをｙ個，購入したときの効用関数　u　は以下で与えられるとします． 　　この問題をラグランジェの未定乗数法で解くとします．効用が最大となる点で，ラグランジェ乗数　λ　とMの間の関係が以下のようになります．この式の意味をグラフィクスで見てみましょう．

M={1000, 1100, 1200}の平面で切断

Mが増加するにつれて，uも増加する． その増加率がλ．

終わり