確率･統計Ⅱ 第7回

カイ二乗検定（1） 適合度検定 独立性検定

適合度検定とは 例題： １つのサイコロを120回投げたところ、1の目が27回出た。このサイコロは正常か。危険率５%で検定せよ。 まず比率の検定として解いてみる。 帰無仮説 H0 : 母比率 p = 1/6 標本比率

帰無仮説 H0 : 母比率 p = 1/6 標本比率 =1.71… < 1.96

Z = 1.71 < z0.025=1.96 だから H0 は棄却できない。 すなわち、正常でないとはいえない。 （両側検定； 対立仮説 H1 : p ≠ 1/6 ） H0 は棄却できない。 すなわち、正常でないとはいえない。

適合度検定とは 例題： １つのサイコロを120回投げたところ、各目の出た回数は次のとおりであった。このサイコロは正常か。危険率５%で検定せよ。

適合度検定とは 母集団 E が k 個のグループ E1, E2, …, Ekから成っているとする： E = E1 + E2 + … + Ek それぞれの比率（確率）は p1, p2, …, pk とする。 大きさ n の標本を抽出したとき、それぞれのグループに属するものの個数が x1, x2, …, xk であったとする。

適合度検定とは 定理： は、自由度 k-1 のカイ二乗分布に従う。 ただし、これはnが十分大きいときの近似であるので、nおよびnpが小さすぎないことが必要である。 実際には、n≧50, npi ≧5 であればよい。 は、自由度 k-1 のカイ二乗分布に従う。

適合度検定とは もっと標語的に書くと： つまり、χ2 の値が大きいほど棄却されやすい。χ2 は現実と期待との食い違いと考えられるから、食い違いが大きいほど棄却されやすいのは理解できるだろう。 　なお適合度検定は右片側検定であることに注意。 χ2の値がχ20.05 （自由度k-1のカイ二乗分布の右側5%点）より大なら、有意水準5%で仮説（p1, p2, …, pk）を棄却する。

適合度検定とは 例題： １つのサイコロを120回投げたところ、各目の出た回数は次のとおりであった。このサイコロは正常か。危険率５%で検定せよ。

適合度検定とは サイコロを正常と仮定した場合の期待度数

適合度検定とは 自由度5のカイ二乗分布の5%点 χ20.05 = 11.07 これより大きいから、仮説は棄却できる。 （サイコロは正常でない）

カイ二乗分布のパーセント点 これは右側パーセント点での表であるが、本によっては左側パーセント点での表になっているので注意すること。 （「分布関数」の表はここの用語で言えば左側パーセント点の表である）

自由度5のカイ二乗分布 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 右側5%点 実現値

適合度検定と比率検定の関係 例題： １つのサイコロを120回投げたところ、1の目の出た回数は次のとおりであった。このサイコロは正常か。危険率５%で検定せよ。

適合度検定と比率検定の関係 カイ二乗検定で計算すると

適合度検定と比率検定の関係 自由度 1のカイ二乗分布の5%点 χ20.05 = 3.84 これより小さいから、仮説は棄却できない。 （サイコロは正常でないとはいえない）

自由度1のカイ二乗分布 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 実現値 右側5%点

適合度検定と比率検定の関係 < z0.05 = 1.96 < （自由度1）χ20.05 = 3.84 上の式を2乗すると下の式になっている。 1.962 = 3.84

適合度検定と比率検定の関係 一般に、自由度1の場合の適合度検定は、比率の検定（大標本の場合の両側検定）とまったく同じになる。 すなわち、カイ二乗検定（適合度検定）は比率の検定の拡張と考えられ、自由度が2以上の場合にも使えて便利。

［演習］適合度検定 [1] ある問題について400人にアンケートをとったところ、賛成222人、反対178人だった。この問題について世論は賛成多数といえるか、有意水準5%で検定せよ。 自由度1だから二項分布の正規近似をもちいた比率の検定でもできるが、適合度検定でやってみよう。 （両方やって比較してみよう）

［演習］適合度検定 [2] 240人に支持政党を尋ねたところ、自由党90人、共和党85人、公民党65人であった。これらの政党の支持率に差があるといってよいか。危険率5%で検定せよ。 自由度2の場合である。「支持率に差はない」と仮定して検定する。

［演習］適合度検定 [3] 前回の投票結果では、自由党・共和党・公民党の支持率は7:8:5であった。今回100人調査したところ、自由党35人、共和党30人、公民党35人であった。これらの政党の支持率は前回から変化したといってよいか。危険率5%で検定せよ。 「支持率に変化はない」と仮定して検定する。

[4] 硬貨を投げたところ、続けて8回表が出た。この硬貨は正常といってよいか。 ［演習］適合度検定 [4] 硬貨を投げたところ、続けて8回表が出た。この硬貨は正常といってよいか。 たとえば有意水準5%で検定する。2項分布とカイ二乗検定の両方でやってみよ。

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