IT入門B2 ー 連立一次方程式 ー

　授 業 内 容　 行列，ベクトルの表現法と行列の演算 連立一次方程式の解法 ガウスの消去法 具体例 前進消去 後退代入 ピボット選択 演習

行列，ベクトルの表現法 C言語で，行列やベクトルを表現するには？ ベクトル：配列の利用 double x[N]; 　行列，ベクトルの表現法　 C言語で，行列やベクトルを表現するには？ ベクトル：配列の利用 double x[N]; ⇒ x[0]～x[N-1]のN個の要素を確保 行列：2次元配列の利用 double a[N][N]; ⇒ a[0][0], a[0][1], … , a[0][N-1], a[1][0], a[1][1], … , a[1][N-1], …… a[N-1][0], a[N-1][1], … , a[N-1][N-1] の(N×N)個の要素を確保

行列，ベクトルの表現 #include <stdio.h> int main(void) { int i, j; double x[3] = {-33.0, 9.0, 6.0}; double a[3][3] = {{2.0, 4.0, 6.0}, {3.0, 8.0, 7.0}, {5.0, 7.0, 21.0}}; printf("x = \n"); for (i=0; i<3; i++) { printf("%6.2f\n", x[i]); } printf("a = \n"); for (i=0; i<3; i++) { for (j=0; j<3; j++) { printf(" %.2f", a[i][j]); } printf("\n"); return 0;

行列の演算 n×n行列 A と n次元ベクトル x の積を計算するプログラムを作ってみよう． 　行列の演算　 n×n行列 A と n次元ベクトル x の積を計算するプログラムを作ってみよう． 計算結果を n次元ベクトル y に代入することにすると， これを具体的に記述すると，

ベクトル y の各成分は と記述できる． ベクトル y の計算 for(i = 0; i < n; i++){ の計算 }

各成分 の計算： 各項 ( j =0,1,…,n-1)の総和を計算する． 成分 の計算 y[i] = 0.0; 各成分 の計算： 各項 ( j =0,1,…,n-1)の総和を計算する． 成分 の計算 y[i] = 0.0; for(j = 0; j < n; j++){ y[i] += a[i][j]*x[j]; } y[i] += a[i][j]*x[j]; は y[i] = y[i] + a[i][j]*x[j]; と同じ意味．

まとめると，行列 A とベクトル x の積 y を計算するプログラムは以下のようにして実現できる： for(i = 0; i < n; i++){ y[i] = 0.0; for(j = 0; j < n; j++){ y[i] += a[i][j]*x[j]; }

　演 習　 以下の行列 A とベクトル x の積（ ）を計算するプログラムを作ってみよう：　

連立一次方程式の解法 直接解法 ガウスの消去法 LU分解法 … 反復解法 ヤコビ法 ガウス・ザイデル法 　連立一次方程式の解法　 直接解法 ガウスの消去法 LU分解法 … 反復解法 ヤコビ法 ガウス・ザイデル法 ガウスの消去法を用いて連立一次方程式の解を計算する プログラムを作成しよう

　ガウスの消去法　 まず，具体例として3元連立方程式 を解くことを考えよう．

[第1列消去] ②，③からxを消去： ②-①×3/2 ③-①×5/2 ① ② ③ ① ②’ ③ ① ②’ ③’

[第2列消去] ③’からyを消去： ③’-②’×(-3/2) 各列の係数を順次消去していく：前進消去 ① ②’ ③’ ① ②’ ③”

③”から z = 6 zの値を②’に代入し y = 9 y, zの値を①に代入し x = -33 求まった変数の値を順次代入しながら 解を計算する：後退代入 ① ②’ ③”

ガウスの消去法 前進消去と後退代入の組み合わせにより連立一次方程式の 解を求める手法 以下，連立一次方程式 　ガウスの消去法　 前進消去と後退代入の組み合わせにより連立一次方程式の 解を求める手法 以下，連立一次方程式 の解を計算するプログラムを作成することを目標とする．

前進消去のプログラムでの実現 に対し，第0列消去，第1列消去，… と繰り返し， 同じ解を持つ以下の方程式へと変形する：

前進消去のプログラムでの実現 に対し，第k列消去を，k = 0, 1, 2, … , (n-2) について 繰り返し行えばよい． 前進消去 for(k=0; k<=n-2; k++){ 第k列消去 }

前進消去のプログラムでの実現 [第k列消去]

[第k列消去]

[第k列消去] 第k列消去 for (i=k+1; i<=n-1; i++) { r = a[i][k]/a[k][k]; for (j=k+1; j<=n-1; j++) { a[i][j] = a[i][j] – a[k][j]*r; } b[i] = b[i] – b[k]*r;

後退代入のプログラムでの実現 第(n-1)行: 第(n-2)行: 第 i 行:

後退代入のプログラムでの実現 for (i=n-1; i>=0; i--) { } 考えてみよう

　演 習　 ガウスの消去法を実現するプログラムを完成させて，下記の連立一次方程式の解を計算してみよう： ただし