最終講義 2009.3.14 武蔵工業大学 数学部門 有本彰雄

数学のおもしろさ 零点に関係するいくつかの問題の紹介 無関係なところにある出会い serendipity どこかで繋がっている 経営工学科 統計工学研究室　昭和49年ー平成10年 電子情報工学科 情報数学研究室　平成11年ー平成18年 数学部門　平成18年ー平成21年

今の研究 モーメント問題 N-extremalなメジャーと零点 に関する研究 有限予測の問題 非線形微分方程式 近況（国際会議参加）と今後

数学のおもしろさ 深く考えることに醍醐味 例として零点にまつわる問題を紹介 serendipity：何かを探している時、探しているものとは別の価値あるものが見つかる（ふとした偶然をきっかけに、幸運をつかむ事。） I was looking for something 例として零点にまつわる問題を紹介

零点つながりの問題 野原先生とシュレディンガー方程式 ミレニアム問題 伊藤先生との共著論文 定常確率過程の予測問題 Akhiezerの問題 (古典モーメント問題） ＝＞有本の定理 野原先生とシュレディンガー方程式 ミレニアム問題 リーマン予想（仮説） 伊藤先生との共著論文 定常確率過程の予測問題

Akhiezer の問題 (古典モーメント問題） 定理の条件①②③ 3条件では不十分のため、 ③を見直して十分にする ことが行われている。 → クリスチャンバーグ （コペンハーゲン.dk) にメールで連絡

きっかけ （Christian Berg とメールのやり取り） メール（1995,April) Dear Akio Arimoto, Thank you for the email with question about Akhiezer. Some years ago I was puzzled by the same question ・・・ Akhiezer定理の反例 Paul Koosis from McGill who finally constructed a counterexample, C.R.Acad,Science Paaris 311 (1990),503-506.

Kreinへの手紙 クリスチャンバークがクラインに送った手紙 (ソ連ウクライナの数学の権威)

メールで海外の研究者と直接情報交換できる！ 最先端の情報が手に入る 1993年 6月 NCSA、Mosaic 1.0 をリリース。 　　　WWW閲覧ソフト、 Mosaic （→後のNetscapeへ）が インターネットに嵐を起こす。 1995年 MS-Windows 95が発売され、 WWWやEmailが本格的に家庭で使われるようになった。Microsoft社、Internet Explorer 1.0 をリリース。コードは Mosaic をベースにしている。 メールで海外の研究者と直接情報交換できる！ 最先端の情報が手に入る

複素平面 ガウス平面 メジャーサポート点 ⇒解析関数の零点

野原先生との共同研究 ルーシエの定理：解析関数（多項式）の零点の個数（高木貞治 解析概論 岩波） ルーシエの定理：解析関数（多項式）の零点の個数（高木貞治　解析概論　岩波） シュレディンガー微分方程式のソリトン解の問題 シュレディンガー微分方程式の摂動が 小さい⇒安定なソリトンの存在保証

ソリトン 安定な孤立波

ミレニアム懸賞問題 数学上の未解決問題 クレイ数学研究所100万ドルの懸賞金を約束 リーマンゼータ関数について 　　リーマンゼータ関数について 虚部が小さい方から約15億個までの零点(複素零点) はすべてリーマン予想（一直線上にある）を満たすことがコンピュータで計算されているが数学の証明はまだ・・・

与えられた限界以下の素数の個数について （ベルリン学士院月報、1859年11月, pp.671-680） リーマンゼータ関数の零点 素数の分布に直結 素数が無限個　　　　ＲＳＡ暗号がいくらでも作れる

伊藤先生と共著論文 Arimoto,Akio; Ito, Takashi, 　 Singularly Positive Definite Sequences and　Parametrization of Extreme Points. Linear Algebra Appl. 239, 127-149(1996). これは、モーメント問題の解をあつかう

伊藤先生との共著論文：定理 a)多項式 の零点 は 実数軸上（一直線上）にある b) メジャーはの重み c) をモーメントとする 　　　実数軸上（一直線上）にある b) メジャーはの重み c)　　　　　　　　　　 をモーメントとする 　　　メジャーは一意 (determinate)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

モーメントの定義 はメジャー のモーメントと定義する 確率密度 確率測度 平均(s1)、分散(s2)はモーメントの一種 　　はメジャー　　のモーメントと定義する 平均(s1)、分散(s2)はモーメントの一種 　　　　　　　確率密度 　　　　　　　確率測度 チェビシェフ　（ロシアの数学者）が考えた

モーメントとメジャーの関係 実験データは 正規分布？ ポアソン分布？ モーメント 確率分布(メジャー) モーメント問題 モーメント　　　　　確率分布(メジャー) 実験データは 正規分布？　　 ポアソン分布？ モーメント問題 Moment Problem

零点とは ｎ次多項式にはｎ個の零点がある ガウスの代数学基本定理 整関数（多項式の ）にしたもの 　ガウスの代数学基本定理 整関数（多項式の　　　　　）にしたもの 　零点は無限個あるが集積できないとびとびにある 　零点が決める場所がメジヤーの離散分布を定める

Ｎ extremal の定義 メジャー が N extremal である （１）メジャー　　　が決めるモーメントは 　　indeterminate である （２）多項式は　　　　　　で　dense である

Indeterminateとは メジャー　　が一意に決まる　　　　　determinate メジャー　　が一意に決まらない　　　indeterminate

における２乗誤差 　　　　　　　最小にする　 　　　　　　　をもとめよ　　　　

どんな　　　　　　　　についても、多項式を選んで 　　　として誤差をゼロにできるなら、多項式は 　　　　　で　dense という　

dense 　　　　　　　　をうまく選んで 最小２乗誤差が 0　とできるとき多項式は 　　　　　　　denseという 26

Ｎ extremal の定義 メジャー が N extremal である （１）メジャー　　　が決めるモーメントは 　　indeterminate である （２）多項式は　　　　　　で　dense である

必要十分条件 メジャー　　　　が　indeterminate 多項式が　　　　　　　　でdense でない

メジャー　　　　　は　　N extremal 多項式が　　　　　　　でdense でない 多項式が　　　　　　　　　　でdense である

N -extremal とは何だろう 多項式全体 N extremal is co-dimension one in

多項式 c 定数

N-extremal もう一つの解釈

のモーメントが　determinate 　多項式が 　　　　dense 逆命題は言えないが最大限での対応関係を探すこと　 　　　答えがN-extremal なメジャー 　というアイディア

Arimotoの定理（未完成） メジャー　　　　　　　　　　が　N-extremal 必要十分　　　　（１）（２）（３）　　　　　　 Akiezer の書物の（３）を正確にする

Arimotoの定理(未完成） 不完全なAkhiezerの定理の条件(3)の修正 零点集合（一直線上にある） Akhiezer’s(3) Arimoto’s(3) 零点集合（一直線上にある）

Borichev ,Sodin ウクライナ カーコフ大学 de Brange リーマン予想の証明を インターネットに公開 不思議なつながり Borichev ,Sodin 　ウクライナ　カーコフ大学 de Brange リーマン予想の証明を 　　　　　　　　　　インターネットに公開 　　　　　　　　　　ビ―ベルバッハ予想を証明

実は・・・ 多項式が　　　　　　　で　dense という概念は確率論の予測問題 Past（　 ) and　 Future ( ) 時系列の時刻　　　

2007/3/16 定常系列 と　　　の isometry 自己相関関数 相関関係、共分散 スペクトル分布（メジャー） 2007/3/16

時刻nのランダム値　　　　　　 予測量（株価の予測） 多項式

isometry

過去と未来 Past and Future スペクトル密度関数 Future 未来 past 過去 現在値 2007/3/16 現在値　 2007/3/16

Henry Helson and Donald Sarason, “Past and future", Math. Scand., 21 (1967), 5–16, 過去と未来 確率変数の空間　と　関数空間の美しい関係

The first prediction problem 2007/3/16 The first prediction problem Szegö-Kolmogorov-Wiener 2007/3/16

過去のデータだけを用いて 予測誤差がゼロ 多項式が　　　　　　dense　の必要十分条件 （Kolmogoroff –Szego の定理）

弱定常過程における有限予測の近似について スペクトルメジャー　　　　　　　　　　　　, 　 Hardyクラスの解析関数 　　　　　　　　　　を　　　　　　　　　　 　 で近似すること　（時間の対称性、 時間の流れを逆転しても同じ）

Hardy class の整関数（全平面で解析的）は零点をもたない ゼロになる度合予測が完全か不完全かをきめる

弱定常過程における有限予測の近似について 日本数学会1986 千葉大学 　伊藤清　の前で発表 Arimoto, Akio, Approximation of the Finite Prediction for a Weakly Stationary Process. Annalus of Probability. 16, No.1, 355-360 (1988). Zbl 641.60049

定理（有本） ある で 長さ の過去をもちいた有限予測は 無限予測に一致

をもちいて推定した有限予測の誤差の評価 定理（有本）

研究活動 ウクライナ アキーゼルの故郷 著名な数学者を多数輩出した土地 Krein Akiezer Lyapunov(微分方程式） Scorohod（確率とヒルベルト空間） ２００８年６月野原先生と訪問

Ｉnternational Scientific Conference   "DIFFERENTIAL EQUATIONS, THEORY OF FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS" June 16 to 21, 2008, in Melitopol, Ukraine. 招待講演 演題：Non-exsitence theorem except in-pase and out-of-phase solutions in the coupled van der Pol Equation system, B.T.Nohara and A.Arimoto

キエフの駅

目的地: メリトポール

ウクライナ

不思議な出会い　 （ウクライナで修業中日本人バレリーナとの出会い）

メリトポールの街

メリトポールの街

メリトポールの街 さくらんぼ 60

Ｉnternational Scientific Conference "DIFFERENTIAL EQUATIONS, THEORY OF FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS" dedicated to 70th birthday of academician of NAS of Ukraine A.M.SAMOILENKO Tavriyskiy State Agrotechnological University from J une 16 to 21, 2008, Melitopol, Ukraine.

１９６１年９月１２日から１８日 キエフ市のウクライナ科学アカデミーで 「非線形振動に関する国際シンポジウム」 が開催された。 特別講演はボゴリーボフ このシンポジウムに当時の非線形振動に関心を持つ 世界各国のほとんどの学者が集まったそうである。 日本からの参加者は 林　千尋（京大） 占部　実（広大） 吉沢太郎（日大） 前沢成一郎（山梨大） 金田潔（京大） であった。

野原先生 Non-existence theorem except in-phase out-of-phase solutions in the coupled van der Pol equation, International conference at Melitipol,Ukraine, June 16-21,2008

ウクライナの数学者たち Igor Cokolenko,Institute Mathematik HAH Ukraine, in Kiev

女性数学者

ぼくはどこへ行けばいいんですか？

ありがとう 過去未来 時間の流れ 予測の問題 さかのぼり 何年かして再び卒業生がここにあつあまり 今日何を得て何を失ったかを確認しに・・・ 過去未来　時間の流れ 予測の問題 さかのぼり 何年かして再び卒業生がここにあつあまり 今日何を得て何を失ったかを確認しに・・・ We are Time Travelers 時間が普通の人と逆に進んだなら・・・ The Curious Case of Benjamin Button 年齢が若くなっていく 肉体は若くなる、精神が年老いていく

人生はそんなに複雑なものじゃない 自分が探しているものを追い求めればいい ありがとうまた会おうね “Life wasn’t all that complicated. If you want you might say I was looking for something.” ベンジャミンの日記の一節より 人生はそんなに複雑なものじゃない 自分が探しているものを追い求めればいい

Last Lecture by Akio Arimoto March 14th 2009