碁石ゲームに関する考察 4目並べ講座 パターン生成ゲームの楽しみ 徳山　豪　(東北大学）　

パターン生成ゲーム 伊藤さんの数理解析研究所でのセミナー 黒(先手）と白(後手）が碁盤上に互いに石を置く（スライドでは、黒は青く、白は赤い） 先手が指定されたパターンを作れば勝ち 後手は邪魔をして守りきれば勝ち 　後手がパターンを作っても勝ち(反撃あり） 　後手のパターン生成は無視(反撃なし） 伊藤さんの数理解析研究所でのセミナー　

五目並べ 縦横、対角線、逆対角線に５連を作れば勝ち 反撃あり 、１５ｘ１５の盤 (交差点に石を置く） 反撃あり　、１５ｘ１５の盤　(交差点に石を置く） パターンが出来なければ、満局(通常白勝ち） 三十数手程度で先手勝ちが示されている。 1993年にコンピュータプログラム化 連珠：　複雑（五珠2箇所打ちルールなど） 満局を引き分けにすることもある 6目並べ：後手の勝ち（つまり満局）？ 　7目並べならたぶん証明できるが。。。

浦月定石の典型例 1５ 1６ 1９ 11 ６ 1３ ５ ２ 1７ 10 9 ７ １ 1８ 1２ ８ 1４ ３ ４

花月定石の典型例 ６ ２ ３ ４ ８ 1４ １ 11 1２ 9 ５ 1３ 1６ 1５ ２３ ７ ２４ 1８ 10 1７ ２２ 1９ ２１ ２0 ２５

（斜めなし）４目並べ 縦横に４連を作れば勝ち 先手必勝　 先手が６手(反撃なし）または７手(反撃あり）で勝てる　

４ ４ １ ２ １ ２ ７ ３ ８ ３ ７ ５ ６ ５ ６ 後手の反撃が無ければ４手(あと２手）で２－２が出来る 後手の反撃含みの防ぎ

５ ６ １ ２ ７ ３ ４ 後手の反撃が無ければ４手で２－２が出来る

４ ４ １ ２ １ ２ ３ ５ ６ ３ ５ ６ ７ ７ 後手の反撃があっても５手で２－３が出来る 後手の反撃があっても５手で２－３が出来る

７ ７ １ ２ １ ２ ３ ５ ６ ３ ５ ６ ４ ４ 後手の反撃があっても５手で２－３が出来る 後手の反撃があっても５手で２－３が出来る(連珠の花月定石と似ている）

斜めなし５目ならべは？ 後手の反撃が無くても後手が勝ち 数学的にエレガントな証明 (伊藤さんの講演） 局部戦略でOK 白は直前黒の着手の 数学的にエレガントな証明　(伊藤さんの講演） 局部戦略でOK 白は直前黒の着手の 　　隣接点に打つ どの隣接点かは 　タイリングで指定

斜めなし５目ならべは？ 後手の反撃が無くても後手が勝ち 数学的にエレガントな証明 ドミノタイリング 　　を用いる

ドミノ以外のタイリング 斜めなし5目並べ後手勝ち 別証明 ３ｘ３タイリングを 用いる

疑問： 横４または縦５だと？ 定理？？ 後手の反撃が無いと先手が勝ち 予想 後手の反撃があれば後手が勝ち 疑問：　横４または縦５だと？ 定理？？　後手の反撃が無いと先手が勝ち 予想　　　　後手の反撃があれば後手が勝ち 横４または縦７：　反撃なしでも後手勝ち 　証明：ドミノタイリングを用いる 横4または縦６：　たぶん反撃なしでも後手勝ちだが、証明は不明。　巨大タイリングを用いて計算機をぶん回せば多分。。。　

横４または縦５　（反撃なし版） 定理　後手の反撃が無いと先手が勝ち いくつかの捕題を用いて、最後は各個撃破での証明(？？）

基本事項 基本事項２： 横に二連または縦に三連ができたら、後手はどちらかの端を止める必要がある。 飛び二、飛び三は真ん中もしくは端を止める 基本事項１：　ゲームは単調 　ある局面が先手勝ちなら、黒石追加、もしくは白石削除を行った局面も先手勝ち(囲碁や将棋では成立しない条件） 基本事項２：　横に二連または縦に三連ができたら、後手はどちらかの端を止める必要がある。 飛び二、飛び三は真ん中もしくは端を止める

補題１： ある黒石の左半平面および右隣列に白石が無く、同列の上下にそれぞれ３枡と4枡空白があるとき、続けて黒が打てば黒勝ち 補題１：　ある黒石の左半平面および右隣列に白石が無く、同列の上下にそれぞれ３枡と4枡空白があるとき、続けて黒が打てば黒勝ち ４ ３ １ ２

４ ６ ５ ３ ８ ７ ９ １ ２

５ ｘ △ ４ ３ １ ２

１ 補題2．これでも勝ち

３ １ ２ 補題2の「証明」

補題の系 黒が離れたところに着手したときには、白はその近傍（隣接8近傍、△の位置、もしくは上下に距離2以下）に応手しないといけない ｘ ｘ １ ｘ ｘ １ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ △ ｘ △ △ ｘ △ ｘ ｘ

最も基本の手筋(基本手筋１） 補題：　黒石が縦に２つ並んだ場合、次の2種類の図面は黒から打てば勝ち。

妙手あり

５ １ ２ ３ ４ 補題の系より勝ち

５ ４ ３ １ ２

１

基本手筋２。　横に止まらない石が縦に2つ並ぶ下図は勝ち ｘ 補題の系から勝ち ２ １ ３

基本手筋２。 横に止まらない石が縦に2つ並ぶ下図は勝ち 基本手筋２。　横に止まらない石が縦に2つ並ぶ下図は勝ち ７ ６ ５ ２ ４ １ ３

基本手筋２に対する最強の受け ２ １ ３ ４

２ １ ｘ ６ ３ ｘ ４ １４ １３ ５ ９ １０ １２ １１ ７ １５ １６ １８ ８ １７ １９

２ １ ６ ３ ４ ｘ △ ５ ９ １０ １１ ７ １２ ８ 基本手筋1に帰着 １３

基本手筋２に対する次善の受け　(解答略） ２ １ ３ ４

弱い受け（その１） ２ ２ １ １ 詳細略

５ ２ １ ３ 手筋２で解決 ４

２ １ ４ ３ ５ 手筋１で解決

弱い受け（その２）　解説不要？ ２ ２ １ １ ３ ３

２ １ ３ ４ ５ 手筋２で解決

２ １ ４ ３ ５ 手筋１で解決

中級の受け ３ １ ２ ４ ２と４を入れ替えたものも同様

７ ５ ６ ３ １ ２ ４ 基本手筋１で解決

７ ５ ３ １ ２ ６ ４ 基本手筋１で解決

６ ５ ３ １ ２ ８ ４ ７ 9 基本手筋２で解決

７ ５ ３ １ ２ ６ ４

６ ｘ ５ ｘ ３ １ ２ ４ ７ △

最強の受け ４ ２ ３ １

応手 ４ ２ １ ３ A ５ C D B

最難関の変化 1２ ４ ２ １ ３ 9 ｘ ５ 10 11 ６ ７ ８ 基本手筋２に帰着 1３

最難関の変化その２ 1５ ４ ２ １ ３ 1４ 1３ 10 9 1２ ５ 11 ６ ７ ８ 基本手筋１に帰着

４ ２ １ ３ ６ ５ ８ 1２ 10 ７ 9 11 １３ 1４ 1５

４ ２ １ ３ ６ ５ ８ 1２ ７ 9 10 11 １３ 1４ 1５

以下はEasy　Cases 13 ４ ２ １ ３ 10 9 ｘ ６ ５ 11 ８ ７ 12 基本手筋１に帰着

４ ２ １ ３ ７ ８ ５ ６ 9 基本手筋１(変形）に帰着

その他の受け(難しくない） ４ ４ ３ １ ２ ３ １ ２ Easy

８ ２ １ ３ ４ ５ ６ ７ 9

9手目が少し難しい 15 10 ２ １ ３ ４ 11 12 9 ５ ６ 13 ７ 14 ８

10 ２ １ ３ ４ 14 11 9 12 ５ ６ 13 ７ ８ 15

10 ２ １ ３ ４ 11 9 12 ５ ６ 13 14 ７ ８ 15

11 ２ １ ３ ４ 9 ５ ６ 10 ７ ８

８ ７ 9 10 ２ １ ３ ４ ６ ５ 11

６ ２ １ ３ ４ ５ ７

15 9 13 10 11 ７ 12 ８ 14 ２ １ ３ ４ ５ ６

15 9 10 13 ７ ８ 12 11 14 ２ １ ３ ４ ５ ６

問題点 証明になっているか？（誰か詳細を詰めて！） 計算理論の論文にはならない？？？ 後手反撃ありの場合は後手勝ちか？ 考え方自体は計算理論の論文でも似たようなもの 後手反撃ありの場合は後手勝ちか？ 必勝手順の盤面サイズはかなり大きい 横4、縦６はどうなんだろうか？ ほかの組み合わせはどうだろうか？　 　　　　　　または　　　　　は白勝ち　など 　縦五、横五、斜めｋで後手必勝になるｋは？

７目並べ 縦、横、斜めに７つ並べる 後手は反撃しない 後手勝ちか？ アイデア： ４ｘ４のタイリング 　縦、横、斜めに７つ並べる 　後手は反撃しない 　後手勝ちか？ 　アイデア：　４ｘ４のタイリング 　４ｘ４の中で、縦横の４連、対角線4連、副対角線3連、さらに 　「副副対角線の2連のうちの指定した2通り」がどれも出来ないことを示せばよい　 　計算機でチェックすればよいのだが。。。

４ｘ４での攻防 防ぐ必要のある2連はAa と Bb 黒の1手目に対する白の応手は AaBbのどれか(他は負けそう）。 A B a b a a 黒の1手目の位置に対する白の応手のテーブル 3手目は、もう一つの2連候補をつぶす 　ちょっと怪しい。。。 A B B A B b a A a b a b