応用数学Ⅱ:書き込み式ノート フーリエ解析とその応用 (知能機械学科,バージョン3) 担当:綴木 馴.

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応用数学Ⅱ:書き込み式ノート フーリエ解析とその応用 (知能機械学科,バージョン3) 担当:綴木 馴

直流(direct current)と交流(alternating current) ●今までの電気回路 直流(direct current)と交流(alternating current) 交流といっても特に正弦波形の交流回路を扱ってきた 60Hzの正弦波形は中国電力が苦労して作っている 中国電力が優秀だからできる. でも一般には,ひずみ(distortion)が混ざる. 図

●ひずみ派の解析法(フーリエ解析)と周期関数 ひずみ派を解析する方法にフーリエ解析がある. フーリエ解析は電気回路のひずみ派だけでなく, 周期関数であれば,一般の解析することができる. 式 周期関数とは (periodic function) 式 を満たす である. Tは周期(fundamental period) 図 例えば, 式 等である.

●周期関数の性質と例 周期関数の線形性(linearity) 関数 と が周期 の周期関数であれば その線形結合 関数    と    が周期   の周期関数であれば その線形結合 もまた,周期   の周期関数となる. (証明) 式

●例題 次の関数の基本周期を求めよ (解)

●例題 関数    と    がともに周期   の周期関数であるとき この2つの関数の積 も周期   の周期関数となることを示せ. (解)

関数 のフーリエ級数展開(Fourier series expansion) ●フーリエ級数 いま関数    を周期2πの周期関数とする. 関数    のフーリエ級数展開(Fourier series expansion) とは,三角関数の級数(三角関数級数)によって, 関数    をあらわそうというものである. 式 周期2πの任意の周期関数はフーリエ級数に展開できる. 周期が2πでない場合はまた後でやる.

実は周期2πの周期関数であれば,どんな関数でも, ●フーリエ級数2 実は周期2πの周期関数であれば,どんな関数でも, と    を適当に選ぶことにより以下のように フーリエ級数展開することができる. 式 フーリエ係数(Fourier coefficient) 式 (       ) (       )

添え字のeは偶(even),oは(odd)をあらわす ●偶関数と奇関数 任意の  (          )にたいして 偶関数とは となるもの 奇関数とは ポイント1 関数   を任意の関数とするとき 式 はそれぞれ,偶関数および,奇関数となる 添え字のeは偶(even),oは(odd)をあらわす また   は次のようにあわせる. 式 偶関数部分 式 式 奇関数部分

をそれぞれ偶関数,奇関数とする,このとき ●偶関数と奇関数2 ポイント2 偶関数と偶関数の積は偶関数となる. 奇関数と奇関数の積は偶関数となり, 偶関数と奇関数の積は奇関数となる ポイント3 式 式 , をそれぞれ偶関数,奇関数とする,このとき 式 となる.

フーリエ係数(Fourier coefficient) ●フーリエ級数計算のコツ(1) 偶関数 式 のフーリエ係数は,計算しなくても 式 である. フーリエ係数(Fourier coefficient) 式   理由: 式 式 ポイント2 より,偶関数    と奇関数 の積           は奇関数である. 式 よって ポイント3 より 式

フーリエ係数(Fourier coefficient) ●フーリエ級数計算のコツ(2) 奇関数 式 のフーリエ係数は,計算しなくても 式 である. フーリエ係数(Fourier coefficient) 式   理由: 式 式 ポイント2 より,奇関数    と偶関数 の積           は奇関数である. 式 よって ポイント3 より 式

よって,関数 のフーリエ係数は以下のように計算できる ●フーリエ級数計算のコツ(3) ポイント1 より,任意の関数     は以下の様に分解できる 式 式 よって,関数    のフーリエ係数は以下のように計算できる 式 コツ(1),(2) の結果ら明らか 別の理解の仕方 関数 の偶関数部分     のフーリエ係数は と 0 の奇関数部分     のフーリエ係数は 0 と

●フーリエ級数計算のコツ(4) フーリエ変形数の線形性について 関数 のフーリエ係数を とする. 関数 のフーリエ係数を このとき,関数 超重要! 関数 式 のフーリエ係数を 式 とする. 関数 式 のフーリエ係数を 式 このとき,関数 式 のフーリエ係数は 式 となる.(ただし,   ,   は定数.) この性質をフーリエ係数の線形性という.

●例題1 関数 を によって周期的に拡張した関数 をフーリエ級数展開せよ. ヒント: を奇関数部分 と 偶関数部分 に分け, コツ(4) 図 ヒント: を奇関数部分     と 偶関数部分     に分け, コツ(4) を駆使せよ.

●例題1(続き1) の奇関数部分を と置くと, は を によって周期的に拡張した関数である. また, の偶関数部分を と置くと, は 解 の奇関数部分を     と置くと, は 式 を によって周期的に拡張した関数である. 図 また, の偶関数部分を     と置くと, は 式 となる. 図

●例題1(続き2) 解 のフーリエ系数     は 式 式 のフーリエ系数     は 式 式 のフーリエ系数     は 式 式 のフーリエ系数     は 式 式

●例題1(続き3) 解 よって コツ(4) フーリエ係数の線形性より, 式 式 以上から関数      のフーリエ級数展開は 式 と求まる.

●例題1(続き4) m=4 m=2 m=3 m=5 m=6 m=7 m=∞で元の関数 式 と等価になる.

●例題2 関数 を によって周期的に拡張した関数 をフーリエ級数展開せよ. ヒント: は偶関数. コツ(1) より, は考えなくても 図 式

●例題2(続き1) 解

●例題2(続き2) 解 m=3

●例題3 関数 を によって周期的に拡張した関数 をフーリエ級数展開せよ. 図

●例題3(続き1) 解

●例題3(続き2) 解 n=4 n=8

関数をスケール変換し,スケール変換した関数の級数展開を ●一般の周期を持つ周期関数に対するフーリエ級数 関数 を周期 の周期関数とする. この関数をフーリエ級数展開することを考える. □考え方□ 周期    の周期関数 の展開法ついてはもう知っている. 周期    の周期関数 をスケール変換することで 周期    の周期関数 の関数に変換できる. 関数をスケール変換し,スケール変換した関数の級数展開を スケール逆変換すればいい.

●スケール変換の方法 変換前 変換後 周期 変数 関数 このとき と の間には次の関係がある. 導出法: のとき = であるので = = 式 導出法: のとき = であるので = = とおいて を求める = よって,関数 をスケール変換して得られる 関数 式 = は周期 の周期関数となり (次のページへ)

●スケール変換の方法2 式 = とフーリエ級数展開できる. を変数 に戻すと 式 = により, 式 = となる. 一方フーリエ係数は 式

●例題1(一般の周期関数) 関数 を によって周期的に拡張した関数 をフーリエ級数展開せよ. 解

解(の続き)

●例題2(一般の周期関数) 関数 を によって周期的に拡張した関数 をフーリエ級数展開せよ. 解

解(の続き)

実は,フーリエ係数こそが波のスペクトルをあらわす. すなわち,フーリエ変換されたモノである. しかし と と言う様に二つもあっては困る. ●これからの流れ 1.複素フーリエ級数 実は,フーリエ係数こそが波のスペクトルをあらわす. すなわち,フーリエ変換されたモノである. しかし   と   と言う様に二つもあっては困る. よって,一つの係数に統一する. 2.離散フーリエ変換 複素フーリエ係数こそが離散フーリエ変換されたモノ. 3.線形RLC回路 電気回路を解析してみる. 4.線形システム 5.連続フーリエ変換    が整数ではなく,実数を取る場合を考える.

電気系の本では,通常以下のような表記を行うが, ●オイラーの公式 オイラーの公式 電気系の本では,通常以下のような表記を行うが, 物理・数学系の本では とすることが多い.本稿では,引き続き物理・数学系の 表記を取ることにする. 電気系の表記を取るときはその都度,注意を促す.

●ド・モアブル(de Moivre)の公式 オイラーの公式 (1) に   を代入すると (2) 式(1),(2)の和と差を取ることにより, 式 次のド・モアブルの公式を得る. ,

と定義すると,次で与えられる複素フーリエ級数展開の式が得られる. ●複素フーリエ級数 ド・モアブルの公式 , をフーリエ級数展開の式 に代入すると, 式 となる,ここで,複素フーリエ係数を 式 と定義すると,次で与えられる複素フーリエ級数展開の式が得られる. 式(ここは小さい字で書いてね)

複素フーリエ係数に対し,今までのフーリエ係数を ●複素フーリエ係数 フーリエ係数 を に代入すると, 式(3行) 複素フーリエ係数                      を得る. 複素フーリエ係数に対し,今までのフーリエ係数を 実フーリエ係数という.

●一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開 周期   の場合の複素フーリエ級数を考える. とおくことができる. (   座標の上では,周期   であると考える.) と  の間に        の関係があるとするなら となり, と求まる. よって となり, と一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開の式が得られる.

●一般の周期の場合の複素フーリエ係数 同様に周期   の場合の複素フーリエ級数を考える. 座標   上において複素フーリエ級数を以下のように置くと, が成り立つ. 及び より, と一般の周期の場合の複素フーリエ係数が得られる.

その,離散フーリエ変換は次で与えられる. ●離散フーリエ変換 が 周期   の周期関数とするとき, その,離散フーリエ変換は次で与えられる. 「複素フーリエ係数の式」 理工学では,   をスペクトル(SPECTRUM)と呼ぶ. を求めることを    のスペクトルを調べるとか,     をスペクトルに分解するとか言う. 逆フーリエ変換は次の式で与えられる. 「複素フーリエ級数展開の式」 離散でない場合や周期関数でない場合は連続フーリエ変換を使う

1.太陽光はいろいろな周波数を持つ光の集まりである. ●スペクトルの例(光) 事前知識 1.太陽光はいろいろな周波数を持つ光の集まりである. 2.光の色はその周波数によって決まる. 3.いろいろな色の光が集まって太陽光となっている. 異なる周波数の光は屈折率が違う. 太陽光をプリズムに通すと,色が分解して現れる(分光). 分光された光の強さの分布がスペクトル. 赤 分光された   番目の光の強度は で与えられる.

●光について(補足) 1.光は物に当ると反射・吸収・透過する. 2.吸収された光は見えないが反射・透過した光は「色」として見える. カボチャが橙色に見えるのは スペクトルの中の赤や橙色の光を反射して 青や青紫の色を吸収しているからである. 物が光を反射や透過して見える色を物体色と呼ぶ.

関数 が実数のときには, となることを示せ. ただし, は の複素供役( のとき ,ただし, と は実数) ●スペクトルについての例題1 関数     が実数のときには,        となることを示せ. ただし,   は   の複素供役(          のとき            ,ただし,  と  は実数) 解

によって周期的に拡張した関数 のスペクトル を調べよ. ●スペクトルについての例題2 関数          (         )を  によって周期的に拡張した関数    のスペクトル   を調べよ. (豆知識)このような波形をのこぎり派 と呼ぶ.電気工学では, テレビの走査線の調整に用いる -T 0 T 2T 3T 4T 5T 解

●スペクトルについての例題2(つづき) 解 -10 -5 0 5 10

ただし, は複素共役を意味する.すなわち . ●複素直交関数系 重要! (これからよく使う) 任意の整数   ,  に対して, = が成り立つ. ただし, は複素共役を意味する.すなわち            . この成立を,複素関数直交関数系がなされている,と言う こっちの方をむしろ よく使う 言い換えれば が値を持つのは のときのみで その値は である

●複素直交関数系の証明 (証明) (i) (ii)

●例題(逆変換の確認) 離散逆フーリエ変換: を離散フーリエ変換: すると元に戻ることを確認せよ. 解

●離散フーリエ変換の微分 周期    の周期関数    の離散逆フーリエ変換 が項別に微分できるとすると, となる. とおくと, よって離散フーリエ変換の微分は と求まる.

このとき関数 を不定積分した関数を とすると, ●離散フーリエ変換の積分1 周期   の周期関数   の離散逆フーリエ変換 が項別に積分できるとする. このとき関数    を不定積分した関数を    とすると, 分離 ここで, が を除く和を意味するものとすると, となるので,項別に積分すると よって

●離散フーリエ変換の積分2 元の式 を展開すると となる,この式と以下の式を比較すると, (対応している箇所) よって,次の離散フーリエ変換を積分した式が得られる. 単に   で割れば良いだけ

●演習問題1 周期関数    が偶関数であれば,その複素フーリエ係数    は実数となることを示せ,また,奇関数であれば純虚数となることを示せ. 解

●演習問題2 ド・モアブルの公式を利用して,次の複素フーリエ級数展開を求めよ. (1)                     (2) 解 (1) より (2) より

●整流回路 (1)半波整流回路 (2)両波整流回路 ・ダイオードが1個で済む最も簡単な回路. ・交流の半サイクルのみ整流. ・小電流負荷の場合によく使用される. ・出力リップル(脈動)は電源周波数と同じになる. ・ダイオードの逆耐電圧は、トランス2次側交流電圧の3倍以上必要. 図S-1 (2)両波整流回路 ・センタ・タップ付のトランスを使って半波整流回路で利用しなかった  残りの半サイクルも整流する回路. ・出力リップルは電源周波数の2倍になる. ・ダイオードの逆耐電圧は、トランス2次側交流電圧の3倍以上必要. 図S-2

その出力電圧が になることが知られている. ●両波整流回路のスペクトル分析1 分析を簡単化するために,図S-2からコンデンサを取り去った 以下の図S-3を考える. 入力 出力 図S-3 この回路において,入力電圧を       とすれば, その出力電圧が             になることが知られている. この整流回路の出力電圧            のスペクトルを求める. のグラフ

●両波整流回路のスペクトル分析2 スペクトルを求めるには を離散フーリエ変換すれば良い. ここで の周期は であるので, の周期は  であるので, ド・モアブルの定理を使うと この間の計算は次ページ演習 と    のスペクトル が求まる

●演習問題(両波整流回路のスペクトル分析の計算) 前ページの が成り立つことを 確認せよ. 解

●線形システム 線形性をもつ系を線形システム(linear system)と呼ぶ ここからは,これまでの知見を元に, 周期的な外力(これを励振ともいう)を受ける, 特に電気回路の線形システムの解析を行っていく. 線形システムでは,重ね合わせの原理がなりたつ. 線形性により,いくつかの解を 足し合わせて(重ね合わせて) 新しい解を作ること 電気回路もフーリエ変換も線形性が成り立つ. ここからはそれらの密接な関係を見ていく.

●線形RLC回路1 図のようなRLC回路を考える.キャパシタに蓄えられる電荷を とすると,回路に流れる電流 は次の式で与えられる. とすると,回路に流れる電流    は次の式で与えられる. さらに電圧源の電圧を    とおくと,キルヒホッフの第二法則より 次の式が得られる. であるので この式の解を 求める を代入すると

●線形RLC回路2(定常解の解法) いま,電圧源 が角周波数 の周波波形であるとする. すなわち, は周期 の周期関数とする. いま,電圧源    が角周波数   の周波波形であるとする. すなわち,   は周期             の周期関数とする. 以後の計算を簡単化するために    を以下のように複素フーリエ級数に展開する. 対応している ここで, 対応している 一般にこう書ける は複素数であり,複素振幅と呼ばれる. ←この式の線形性から     を         で置き換えた式 の解    をまずは求める.

●線形RLC回路3(定常解の解法) を求めることができれば, とすることで の解 が求まる. (★) は, の重ね合わせで求まる. は,    の重ね合わせで求まる. ここからは    を実際に求める. と同様に   を複素フーリエ級数に展開することで    を以下のように置く. であるので (★)式に            を代入すると次のようになる(次ページ演習), よって, と,フーリヘ級数展開を用いることで特解を簡単に求めることができる.

●線形RLC回路4(演習問題) に を代入することで, を求めよ. 解

数学的には から を決める規則を与えている. ●一般化された線形システム1 これまでの話しをより一般的にまとめてみる. 電圧   を加えたときの出力として電荷   が得られていると考えられる. 入力から出力への対応関係を数式にすると以下のようになる.   は関数関係とか微分演算とかを意味する. 数学的には   から   を決める規則を与えている. これを  から  への写像 (map)と言う. 電気回路の場合,  を複素数として,この   は以下の二つの式を満たしている. (1) (2)

●一般化された線形システム2 一般に上図のように入力 に対し出力 を対応させるシステム 一般に上図のように入力    に対し出力   を対応させるシステム が,以下の性質を満たすとき,これを線形システムという. (1) (2) いま入力   が周期関数で で与えられるとする.このとき線形システムの出力   は となる. つまり    に対する応答      が分かっていれば,一般の周期入力 に対応する応答   を調べることができる.

●演習問題1(線形システム) 上図のRLC回路に下図に示すような方形波列が入力されたときの定常出力    を求めよ. ヒント: を使う.

●演習問題1(線形システム)その2 解

●演習問題2(線形システム) 左図の回路に,ノコギリ派 ( ) を加えたときの定常解 を求めよ を使う. 1.まず を求める.           (         )  を加えたときの定常解   を求めよ ヒント を使う. 1.まず     を求める. 2.次に    を求める.

●演習問題2(線形システム)ー2 解

●演習問題2(線形システム)ー3 解

●非周期関数1 非周期関数 とは,周期のない関数,すなわち を満たす が存在しない関数である. 非周期関数    とは,周期のない関数,すなわち を満たす     が存在しない関数である. 非周期関数は,周期関数の周期   が      となったものと 考えることができる. (例1)ソリトン:粒子のような性格を持った非線形波動として, ソリトンと呼ばれる.パルス波が理工学の様々な分野に現れる. ソリトンは,各時刻で次のような単一パルス波形をしており,     の非周期波形として あるいは, とあらわされる.

●非周期関数2 (例2)概周期関数 において, で比 を無理数とすると, は 非周期関数となる.これを概周期関数と呼ぶ. において,        で比    を無理数とすると,   は 非周期関数となる.これを概周期関数と呼ぶ. 意味は,厳密に言うと周期関数ではないが,おおむね周期的 と言う意味である.無理数      を小数点以下第   位までで 打ち切った数を    とすると は周期          の周期関数である.ここで      とすると,     は   になると考えられるので,この場合もやはり概周期関数は 周期関数の極限と考えることができる.

●フーリエ変換(まずはフーリエ積分公式) フーリエ積分公式   これまで非周期関数とは周期関数の周期   を とした極限であることを確認した. ここからは,周期   の周期関数に対する離散フーリエ変換が でどのようになるかを考察し,非周期関数に対するフーリエ変換を導入する. 周期       の周期関数    を考える. 関数    が複素フーリエ級数に展開できるとすると (1) (2) 式(1)に式(2)を代入すると, フーリエ積分公式 が得られる 右辺を関数    に対するフーリエ積分表示と呼ぶ.

●演習問題(フーリエ積分公式の導出1) (1) (2) 式(1)に式(2)を代入することで, フーリエ積分公式 を求めよ. 解

●演習問題(フーリエ積分公式の導出2) 解

●離散フーリエ変換の復習 フーリエ係数 を求めること(離散フーリエ変換すること)は 周期関数 をフーリエ係数 の組みに変換することであり, フーリエ係数   を求めること(離散フーリエ変換すること)は 周期関数    をフーリエ係数   の組みに変換することであり, 逆にフーリエ係数   から   を求めること(離散逆フーリエ変換すること)は はこの変換の逆変換を行うことである. このような立場から,フーリエ積分公式を次のページのように 置き直すことができる

●(連続)フーリエ変換 フーリエ積分公式 を次のように置き換える. 関数 を関数 のフーリエ変換(Fourier transform) 関数    を関数    のフーリエ逆変換(Fourier inverse transform)という 以下,フーリエ変換を行う写像を  であらわすことにする. また,   の逆写像であるフーリエ逆変換を    であらわす.

●(連続)フーリエ変換ー2 フーリエ変換とフーリエ逆変換の公式の対称性を良くするために フーリエ逆変換の式の右辺の積分係数 を に改め フーリエ逆変換の式の右辺の積分係数   を    に改め その代わりにフーリエ変換の式の右辺に      を掛けても良い. つまり, としても良い.上のペアを使うかしたのペアを使うかは 本や論文によって異なるから注意を要する. 本講義では,上のペアを用いることにする.

●演習1 次の非周期関数をフーリエ変換せよ { 解

●演習2 次の非周期関数をフーリエ変換せよ 解