線形代数学 谷津 哲平 第１章 ベクトル 1.1 ベクトル空間 1.2 ベクトルの一次独立性 1.3 部分ベクトル空間 第１章　ベクトル 1.1　ベクトル空間 1.2　ベクトルの一次独立性 1.3　部分ベクトル空間 平成16年6月3日（木） 谷津 哲平

n次元数ベクトル n次元数ベクトル n個の実数または複素数 a1, a2,…, an 定義1.1 を順序も考えて横に並べた列

加法と数乗法 n次元の実数ベクトルの全体の作る集合Rｎの要素の間には次の演算が考えられる 加法 数乗法 (a1, a2, …,an) + (b1, b2, …,bn) = (a1 +b1, a2 +b2, …,an +bn) 数乗法 λ・(a1, a2, …,an) = (λa1, λa2, …, λan) Rｎの任意の要素にこの演算をほどこしても， Rｎから出てしまうことは無い

ベクトル空間の公理 1 a + b = b + a 2 (a + b) + c = a + (b + c) 3 a + 0 = a この性質を持つ元 0 が どんな a にも存在する 4 a + x = 0 この性質を持つ元 x が a に応じて存在する 5 1 ・ a = a 6 λ・(μ・a) = (λμ)・a 7 (λ+μ)・a = λ・a +μ・a 8 λ・(a + b) = λ・a + λ・b

ベクトルとスカラー ベクトル…ベクトル空間の元 スカラー…数乗法に用いられる数 係数体（スカラー体）…スカラー全体の作る集合 （その中で四則演算ができる集合） ※スカラー体は実数全体 Rか，複素数全体 Cをとることが多い どちらでも通用するときK 例）K上のベクトル空間

ベクトルの1次結合 x = c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak (1.3) ベクトル x を a1, a2,…..,ak の1次結合という （張られている） c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4)

ベクトルの1次従属 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4) 定義1.2 a1, a2,…..,ak が1次従属である すべては 0 でないあるスカラー c1,c2, ….,ckによって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5)

1次従属と1次結合 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) a1, a2,…..,ak が1次従属ならばc1,c2, ….,ckのうちどれかは0でない -ci ai = c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak 0でないスカラー ai = (-1/ ci )（c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak ) ai は a1,…ai-1, ai+1, … akの1次結合!!

ベクトルの1次独立 a1, a2,…..,ak が1次独立である c1 = c2=….=ck = 0 によって次が成り立つ 1次従属 でなければ 1次独立 定義1.3 a1, a2,…..,ak が1次独立である c1 = c2=….=ck = 0 によって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5)

部分ベクトル空間 a１,….,ak-1で張られる部分ベクトル空間といい次のようにかく Rｎの部分集合Eが，スカラー乗法に関して“閉じて”いるときE を Rｎの部分ベクトル空間という R2では原点を通る直線 R3では原点を通る直線や平面 Eが 部分ベクトル空間 であることをいうには 　　「任意のa, b∈E とλ,μ∈Rに対し，λa +μb∈E 」 　　　 をいえばよい ベクトルa１,….,akから決まる E を a１,….,ak-1で張られる部分ベクトル空間といい次のようにかく E = [a１,….,ak-1]

部分空間の基底 a1, a2,…..,ak が1次従属ならば ある一つ例えばakは他のa１,….,ak-1で張られている →Eはa１,….,ak-1で張られている a1, a2,…..,ak が1次独立で，かつ， E=[a１,….,ak-1] ならば a１,….,ak-1をEの基底という．　k は E の次元

まとめ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) 0 でないスカラーc があるなら 1次従属 c がすべて 0 なら 1次独立 a1,…, akが 1次従属 であることと, そのうちのどれか1つが他の 1次結合 であることは同じ概念 ＜基底＞　 　　1．それらは1次独立 　　2．任意のベクトルはそれらの1次結合の形に表せる

宿題 1. 次のベクトルは1次独立か否か． (1) a1 = ( 1, 1, -1), a2 = ( 2, 1, 0), a3 = ( 0, -2, 5) (2) a1 = ( 1, 0, 1, 0), a2 = ( 2, 1, 1, 1), a3 = ( 0, 1, 2, 3) 2. 　n次元ベクトルが （n+1） 個以上あればそれらは1次従属であることを示せ． 3. 　次のR3の平面は部分ベクトルである．基底をつくれ． (1) x + 3y – z = 0 (2) 2x – y = 0