Kbar N N 核の構造と チャンネル結合Faddeev方程式 サマースクール@理化学研究所（8/5 `09） Kbar N N 核の構造と チャンネル結合Faddeev方程式 池田　陽一 (東大 / 理研) 共同研究者 佐藤　透 (阪大)、 鎌野　寛之 (JLab)

目次 　はじめに（研究の背景と目的） 　Kbar N 相互作用の模型 　チャンネル結合Faddeev方程式 　数値計算結果 　議論とまとめ

はじめに なぜ、反Ｋ中間子の物理に注目したのか？？

ハドロンとその励起状態の性質を解明する ハドロン構造 なぜこのような質量、スピンを持つのか？ どんな内部構造をしているのか？ ハドロン構造における問題児!! (他にもたくさんいますが…) バリオンたち（2006年現在) Particle Data Group http://pdg.lbl.gov/　 L2I2J ハドロンとその励起状態の性質を解明する なぜこのような質量、スピンを持つのか？ どんな内部構造をしているのか？ どのような機構で生成されるのか？

Controversialなハドロンの共鳴状態 Λ系列の第一励起状態 Λ(1405) KN pS L(1405) … Λ(1405)の性質 (PDG) スピン・パリティ＝1/2-，ストレンジネス＝－１，アイソスピン＝０ 質量 ： 1406±4 MeV (Kbar N 閾値より下) 崩壊幅 : 50±2 MeV (πΣへ崩壊) 様々な実験により、その存在は確立されている Λ(1405)の構造はどのようなものなのか？？

ハドロンの構造：素朴な構成クォーク模型 SU(3)フレーバー対称性に基いたハドロンの分類（Gell-Mann, Zweig (1964)） 　　⇔ ハドロンの量子数を代表する“元素”としてクォークを導入 　　（valence クォーク） valence クォークを“実体としての構成要素”と考え（構成クォーク） 調和振動子ポテンシャルなどに束縛されているものとする。 バリオンの励起状態の例 Isgur, Karl (1978), (1979); Glozman, Riska (1996)

構成クォーク模型でのΛ(1405) 構成クォーク模型では、 理論値は実験値より大きく出てしまう 構成クォーク模型だけで、 　　　　理論値は実験値より大きく出てしまう 構成クォーク模型だけで、 　　　　Λ(1405)を記述するのは難しそう、、、

(基底状態の)メソン-バリオンの散乱問題を解き、 ハドロン反応模型でのΛ(1405) KN pS L(1405) (基底状態の)メソン-バリオンの散乱問題を解き、 動的に生成されるハドロン共鳴を探求 共鳴状態　→　T行列要素（散乱振幅）のpole(極) メソン-バリオンの 分子共鳴的な描像 　Chiral Dynamics 　Effective Hamiltonian Approach Kaiser, Siegel, Weise Oset, Ramos Jido, Hyodo, Hosaka bareなバリオン 中間子の雲(衣) Veit et al. Siegel, Weise Hamaie et al.

Controversialなハドロンの共鳴状態 Λ(1405) … Λ系列の第一励起状態 　構成クォーク模型では質量が大きくなる 　ＫbarＮの束縛状態? (散乱の動的過程で生成) 　Ｔ行列にΛ(1405)二つのポールが見られる？ 　ストレンジネスを含む様々な反応の鍵になる (中間子原子核/天体核 など…) 鍵となるのはKbar N 相互作用！！ Taken from Jido’s talk

研究方針 Kbar N 相互作用を3体系（Kbar N N 束縛状態）から探る

Kbar N N 束縛状態 Kbar N 相互作用 非常に強い引力 ( K中間子原子、Λ(1405) ) Λ(1405) 共鳴状態 KN pS L(1405) KbarN 準束縛状態？ ２つの共鳴の重ね合わせ？(Jido et al.) Kbar N 相互作用のエネルギー依存性 KNN pSN KNN - pSN(?) Kbar N N 束縛状態 Kbar N N –　πΣN －πΛN 結合チャンネル Akaishi, Yamazaki

KbarN 相互作用の模型

Energy-dependent potential Energy-independent potential KbarN 相互作用の模型（Weinberg-Tomozawa項） Weinberg-Tomozawa term F: メソン場 , B : バリオン場 Potential model (s-wave meson-baryon scattering) Fixed with SU(3) symmetry Energy-dependent potential (E-dep.) e.g., Oset, Ramos, NPA635. Chiral unitary model Energy-independent potential (E-indep.) Lutz, PLB426. Ikeda, Sato, PRC76.

２体系のＴ行列（散乱振幅） Lippmann-Schwinger equation 共鳴状態はＴ行列のポール（極）として表現される regularize loop integral 共鳴状態はＴ行列のポール（極）として表現される

KbarN 相互作用の模型 Our parameters -> cutoff of dipole form factor Fit : pS invariant mass spectrum K- p p- p+ S+ S+(1660) L(1405) with assumption Viet et al. (85) Hemingway (85)

Resonance poles on KbarN-physical, pS-unphysical sheet MpS MpS MpS E-indep. potential model : One resonance pole E-dep. potential model : Two resonance poles (e.g. Jido et al.)

位相のずれ（πΣ散乱）

Faddeev方程式  3体系散乱問題の基礎方程式

Faddeev方程式 Faddeev Equations W : 3-body scattering energy i(j) = 1, 2, 3 (Spectator particles) T(W)=T1(W)+T2(W)+T3(W) (T : 3-body amplitude) ti(W, E(pi)) : 2-body t-matrix with spectator particle i G0(W) : 3-body free Green’s function

分離型ポテンシャルでのFaddeev方程式 Alt-Grassberger-Sandhas(AGS) Equations i j = Xij tn + n Z(pi,pj;W) : Particle exchange potentials t(pn;W) : Isobar propagators KbarNN-pYN coupled-channel formalism π Σ, Λ K N

３体系散乱振幅のポール（極）の求めかた Eigenvalue equation for Fredholm kernel Formal solution for three-body amplitudes three-body resonance pole at Wpole Wpole = -B –iG/2

数値計算結果

Energy-independent potential エネルギー依存性のないポテンシャル Energy-independent potential (E-indep.) L(1405) pole position 束縛エネルギー ： 18 MeV，　崩壊幅/2 ： 19 MeV KNN pole position deeply bound state -45.2-i21.7 MeV BKpp> 2 BL*

Energy-dependent potential エネルギー依存性のあるポテンシャル Energy-dependent potential (E-dep.) L(1405) pole position (KN束縛状態) 束縛エネルギー ： 13 MeV，　崩壊幅/2 ： 20 MeV Two-body scattering energy in three-body system W Ei i (Non-relativistic) KNN pole position Shallow bound state BKpp～BL*

Summary The strange dibaryon resonance was studied in KbarNN - pYN system. We constructed the model of KbarN interaction from WT term. We solved the Faddeev equations. -- We found the resonance pole of strange dibaryon on KbarNN physical and pYN unphysical sheet. -- (-B, G) = (-45 , 43)MeV for energy-independent KbarN interaction. -- (-B, G) = (-14, 42) and (-71, 280)MeV for energy-dependent KbarN interaction. We can expect the energy dependence of the potential can be determined by J-PARC/E15 experiment.

Thank you very much for your attention!! Future plan Photo-production mechanism 　　　　　　　　　　　　　reaction This production mechanism is investigated by LEPS and CLAS collaborations @SPring8, JLab. Thank you very much for your attention!!

Future plan I (pS potential) E-indep. E-dep.

Model of baryon-baryon interactions NN potential => Two-term separable potential Attraction Repulsive core YN potential => One-term separable potential Torres, Dalitz, Deloff, PLB174 (86) I=1/2 I=3/2

Numerical results (Pole position of strange dibaryon) KNN physical pSN unphysical energy plane Martin -74.4-i33.6 Dalitz -62.9-i20.5 Hemingway -45.2-i21.7 Martin Dalitz Hemingway FINUDA Our results show deeper binding energy of strange dibaryon than that of the L(1405). We find resonance pole of strange dibaryon. The energy of strange dibaryon strongly depends on KN interaction in I=0. BKpp>2BL*

Comparison with other studies Faddeev equations -> Full dynamics of KbarNN-pYN system Variational approach -> pYN system is effectively included Ikeda, Sato (45-80, 45-75)MeV Shevchenko et al. (55-70, 90-110)MeV Faddeev equation (B, G) Dote, Hyodo, Weise (17-23, 40-70)MeV Akaishi, Yamazaki (48, 60)MeV Variational Method Chiral SU(3) Phenomenological KN interaction 3-body Method In order to compare our result with DHW’s result, we calculate the energy of strange dibaryon using cUM for KbarN amplitudes.

Energy-dependent potential K-pp system in chiral unitary approach Energy-dependent potential (E-dep.) e.g., Oset, Ramos, NPA635, 99 (98) Two-body scattering energy in three-body system W Ei i (Non-relativistic) K-pp pole positions Shallow bound state BKpp～BL* The binding energy of the strange dibaryon is shallow in cUM.