３パラメーター解の 相対論的・弦理論的解釈と タキオン凝縮について 東京大学ビッグバンセンター 小林　晋平 ２００４年９月１日 於　関東ゼミ

0. String Theory 開弦、閉弦を物質の基本要素とする理論 超対称性から10次元時空を示唆 量子重力理論として無矛盾 D-brane (boundary state)という高次元オブジェクトも存在 開弦 閉弦 D-brane

1. 動機 D/anti D-brane系のような非ＢＰＳ状態の D-brane系の物理に興味がある 弦理論の相互作用・非摂動的理解に役立つ 1.　動機 D/anti D-brane系のような非ＢＰＳ状態の D-brane系の物理に興味がある 弦理論の相互作用・非摂動的理解に役立つ 重力系への応用という観点からも重要 例えばSchwarzschild BHは非ＢＰＳ状態 →一般に、相対論的オブジェクトは弦理論ではどんなものか？という重要な問題がある ⇒ＢＨ系・宇宙論へ弦理論を応用することが念頭に

D-brane 開弦の端点がくっつく超曲面、閉弦のソース 弦理論の重要な構成要素 X0 Xμ Xi open string D-brane

Boundary State ( = D-brane) mass = charge を表す

BPS Dp-brane周りの時空とは？ BPS Dp-brane の性質 質量とチャージが釣り合って何枚重ねても安定 SO(1,p)×SO(9-p)対称性を持つ ( bosonic string　なら　 SO(1,p)×SO(25-p) ) 質量　M ~ Tp ( Tp : Dp-braneの張力 ) チャージ　Q ~ Tp ( = M ) 4次元extreme Reissner-Nordstrom BHに類似 →　周囲の時空も同じようなものになるはず →　BPS black p-brane解と呼ばれる解

BPS black p-brane解 対称性　SO(1,p)×SO(9-p)、ＲＲチャージ持つ 作用 ansatz

BPS Black p-brane 解 BPS状態なので M = Q (~ N Tp) →物理量は NTp のみ、調和関数１つで表現

Black p-braneとboundary state (Di Vecchia et al. (1997)) 　→　Boundary stateから出る　graviton, dilaton 　　などと対応するはず M 重力場 gravitonの伝播

（例） <B| |φ> boundary stateからblack p-brane解の 　|φ> boundary stateからblack p-brane解の リーディング（無限遠での振舞い）を再現出来る

安定な（ＢＰＳ状態の）D-brane 一般的な非ＢＰＳ状態のD-brane （閉）弦理論では boundary state として表現 重力理論では black p-brane 解として表現 一般的な非ＢＰＳ状態のD-brane boundary state がわかっているものもある （ D/anti D-brane系など） D/anti D-brane系には開弦のタキオンモードがある 　任意のタキオン期待値に対し、boundary state はわかっている 重力理論では３パラメータ解で表現されると言われているが、各物理量との対応はよくわかっていない （動的な解は弦理論・重力理論のどちらでもほとんどわかっていない）

D/anti D-brane system 枚のD-brane と 安定な 枚の 重なった不安定状態 D-braneが残る が引き合う 重なった不安定状態 開弦が不安定性を表す 安定な　　　　　枚の D-braneが残る ただし　　

タキオンのプロファイル Ｖ（Ｔ） Ｔ 過渡状態にある D/anti D-brane系 対応

D/anti D-braneのmassの変化 N枚のD-brane, 　　枚のanti D-braneが 重なる ( T=0 ) 　 過渡状態 　途中のmassにタキオンの期待値が絡む 終状態（ＢＰＳ状態） ( T=∞ ) チャージと同じ値になって落ち着く

Boundary state for D/anti D-brane

タキオン T に任意の期待値を持たせたとき、 この境界状態に対応する古典解は何か？ →３パラメータ解がそれだと考えられてきた ３つのパラメータ（　　　　　　）持ち、対称性が D/anti D-brane と同じであるような静的な古典解 →　各物理量は対応しているのか？ ？

boundary stateと古典解との対応を利用して、物理量の対応を検証する 結果、D/anti D-braneは３つのうち、２つのパラメータだけで表せることがわかった 今までタキオンの期待値を表すと考えられてきたパラメーターがdilaton chargeに対応し、タキオン期待値を表していないことがわかった

2. Three-parameter solution (Zhou & Zhu (1999)) 対称性　SO(1,p)×SO(9-p) を持つ一般解 （D/anti D-brane系と同じ対称性） 作用はblack p-braneに使ったのと同じもの

チャージに 相当？ massに相当？

３パラメータ解の特徴 （１） 4次元、p=0で RN black hole に一致 (一般にD次元解も存在し、D=4に出来る) ３パラメータ解の特徴　（１） 4次元、p=0で RN black hole に一致 　(一般にD次元解も存在し、D=4に出来る) 　　　　　　という３つのパラメータがある D-braneの枚数、anti D-braneの枚数、タキオンの期待値に対応していると言われていた 特に　　　がタキオンの期待値と同一視されてきた 　　 ~（mass）, ~(charge), ~(tachyon VEV?)

３パラメータ解の特徴　（２） ADM mass RR charge ~ ? ~ ?

3. boundary stateによる３パラメータ解の検証 black p-brane のときと同様に、boundary state と３パラメータ解の十分遠方での振舞いとを比較する →特に　　の働きに注目

これはmodified boundary stateで再現可能 の変形で３パラメータ解のリーディングを再現 タキオン期待値 T の動きとは関係ない！ （この変形の弦理論的解釈は？）

　　はboundary stateの　　　を変える 　　→　タキオンの期待値とは関係ない boundary stateの形状から、タキオンの期待値はbraneの張力として効く 　　→古典解としてはmassに働く 　　遠くから見るとタキオンは張力の一部にしか 　　見えない Sを変形したboundary stateは、弦理論的にはどう解釈されるのか？ 　　→ Gaussian brane　(?)

　　がタキオンの期待値を表していない 　　→　　　　　という２つのパラメータだけで 　　boundary state を表せるはず 以下、　　　　　の場合について解析を行う →　　　　　については次回の論文で詳しく 　　今回は相対論的な解釈のみ少し述べる

４．D-anti D-braneと３パラメータ解 古典解とboundary stateとの完全な対応がわかっているのは BPS の場合のみ ３パラメータ解も一般には通常の boundary state と対応しなかった c_1=0 のときのみ、通常の boundary state と対応しそう Schwarzschild BH などの場合に、ソースを点粒子と捉えられるかどうか、という問題もある →以下、BPS 近傍に話を限る

ε→0 の極限で、３パラメータ解は BPS black p-brane 解に一致 extremal limit

３パラメータ解の near extremal limit

ε as a non-extremality parameter ADM mass RR charge 確かに εは non-extremality を表す

タキオンとしてのε D/anti D-brane 系のBPSからのズレはタキオン項で表される T=∞近傍の（ＢＰＳからのズレが小さい）状態は、３パラメータ解の near BPS limit と対応しているはず このタキオン項がＢＰＳからのズレを表す mass を表す charge を表す

新しいパラメータの導入 を使うのはＭが一定でＱが動く、という系に対応 　　　→Ｍが動くタキオン凝縮の過程と合わない 　　　そこでパラメータを変更する

q を使って書いた near extremal limit

boundary state と比較するために、３パラメータ解の無限遠方での振舞いを見る 　→　それが　graviton, dilaton, RR potential mass が　　だけ変更された分、古典解も同じ 　　だけ補正が現れる →　これがタキオンの分に対応するはず

３パラメータ解から計算されたgraviton, dilaton および RR potential

弦理論 (boundary state) による graviton, dilaton および RR potential 　|physical field>

こうして弦理論の計算により、gravitonなどを得る これを古典解の無限遠方での振舞いと比較

BPS から少しずれた D-anti D-brane を表すboundary state → となると、　　　　　はどんな古典解なのか？ 対応することがわかった

５．dilaton charge としての c_1 ～相対論的な理解～ 4次元、p=0、RR chargeなしの３パラメータ解 →Schwarzschild BH＋free scalar →Wyman解（Janis-Newmann-Winicour解） Wyman 解は dilaton charge を持つ →　　と dilaton charge が関係を持つはず

Wyman 解 (Schwarzschild gauge) フリーのスカラー場のみ入れた静的球対称解

Wyman解 (isotropic gauge) r → Rへ変数変換して、isotropic gaugeへ ３パラメータ解と比較可能

３パラメータ解 　　　　　　　　　　　（chargeなし）　　　　　　　 　　はdilaton charge qと対応 massを変えるように見える →タキオンと誤解

まとめ D/anti D-brane系の古典解だと思われている３パラメータ解がある ３パラメータ解のc_1は、タキオンの期待値とは対応していない 重力的には dilaton charge とみなせる タキオンの期待値は張力として効く c_1が入ると boundary state の S が変形される そのような boundary state に対応するのはGaussian brane かもしれない

これから c_1 を弦理論で理解する → Gaussian brane か？ Schwarzschild BH などの相対論的オブジェクトを 弦理論で表現する ホライゾンが弦理論でどう見えるか、などに興味　 ※ただし、ソースの議論が必要 時間依存解を構築、弦理論の真空について知見を得る boundary state で書ければ、BH entropy も原理的に計算可能 　→Hawking のやっている計算と関係あるかも？