確率と統計 -確率２回目- 平成23年10月27日

今日の内容 確率の復習（再整理） 加法の定理 乗法の定理へのイントロ

ある質問 イタリアのある貴族がGalileo(1564-1642)にこう尋ねた。「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」 Galileoに代りあなたは答えられますか？ 確率と統計2007

自由研究　Galileo問題 ３個のサイコロを投げるとき、その目の和をTとする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ? 実際にサイコロを投げて調べてみよう。 （理論値は次週説明します。） 確率と統計2007

試行 標本点 標本空間 事象 確率と統計2007

X + Y + Z = N N=9,10 確率と統計2007

X + Y + Z = 10 のとき (6, 3, 1) (4, 5, 1) (3, 6, 1) (2, 6, 2) (1, 6, 3) (6, 2, 2) (4, 4, 2) (3, 5, 2) (2, 5, 3) (1, 5, 4) (6, 1, 3) (4, 3, 3) (3, 4, 3) (2, 4, 4) (1, 4, 5) (5, 4, 1) (4, 2, 4) (3, 3, 4) (2, 3, 5) (1, 3, 6) (5, 3, 2) (4, 1, 5) (3, 2, 5) (2, 2, 6) (5, 2, 3) (3, 1, 6) (5, 1, 4) 27通り 確率と統計2007

X + Y + Z =9 のとき (6, 2, 1) (4, 4, 1) (3, 5, 1) (2, 6, 1) (1, 5, 3) (6, 1, 2) (4, 3, 2) (3, 4, 2) (2, 5, 2) (1, 4, 4) (5, 3, 1) (4, 2, 3) (3, 3, 3) (2, 4, 3) (1, 3, 5) (5, 2, 2) (4, 1, 4) (3, 2, 4) (2, 3, 4) (1, 2, 6) (5, 1, 3) (3, 1, 5) (2, 2, 5) (1, 6, 2) (2, 1, 6) 25通り 確率と統計2007

25/216 = 0.116 約0.9%の差！ （人間はこれを知覚できるようだ） 27/216 = 0.125 25/216 = 0.116 約0.9%の差！ （人間はこれを知覚できるようだ） 確率と統計2007

それでは今日の話

確率の定義（再考） 試行 標本点ω: a, b, c, …, z 標本空間Ω={ a, b, c, …, z } 事象系F:（事象の集合） F={ Φ, {a}, {b}, …, {a,b}, {a,c},…, Ω } 確率関数P: P: F ∋x 　→　P(x)

加法の定理（No.1) 例：１つのサイコロ 試行：１つのサイコロを投げ、出る目を記録 標本点ω：1, 2, 3, 4, 5, 6 標本空間Ω=｛ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ｝ 事象系 F={Φ,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}, 　　{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}}

加法の定理（No.2) 確率関数（確率の割り当て）： P(Φ)=0 P(Ω)=1 P({1})= P({2})= … =P({6})=1/6 それ以外のもの(事象)は？ 定義 等確率の原理より （等確率の仮定より）

加法の定理（No.3) P({1,2})=? P({1,2,3})=? P({1,2,3,4})=? どうやって計算する？

加法の定理（No.4) 事象の意味の確認： 事象とは、… 標本空間の部分集合 事象系の要素

加法の定理（No.5) 事 象 解釈（意味) 備 考 {1} １の目が出る 単一事象 {1,2} １の目が出るか ２の目が出る 複合事象 備 考 {1} １の目が出る 単一事象 {1,2} １の目が出るか ２の目が出る 複合事象 {1,2,3} ２の目が出るか ３の目が出る

加法の定理（No.6) 事 象 確率 備 考 Φ P(Φ)=0 空事象 Ω (={1,2,…,6}) P(Ω)=1 全事象 事 象 確率 備 考 Φ P(Φ)=0 空事象 Ω (={1,2,…,6}) P(Ω)=1 全事象 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} P({1})=1/6 etc. 単一事象 {1,2},{1,3},…, {2,3,4,5,6} ??? （ここが問題！） 複合事象

加法の定理（No.7) 確率の計算とは、数学的には、測度（曲線の長さ、図形の面積、体積）の計算と同等である。 （注）詳しくは、「ルベーグ(Lebesgue)積分」 あるいは「測度論」に関する参考書を参照 のこと。 つまり、．．．

加法の定理（No.8) 各部分の図形の面積がP({k})になっている。 {6} {3} {1} {5} {4} {2}

加法の定理（No.9) したがって、 図形{1,2}の面積は図形{1}の面積と図形{2}の面積の和として求められる。つまり、 P({1,2}) = P( {1} ∪ {2} ) = P( {1} ) + P( {2} ) =1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 P({1,2,3}) = P( {1}∪{2}∪{3} ) = P( {1} ) + P( {2} ) + P( {3} ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

加法の定理（No.10) 一般に、 A=ｗ１∪ｗ2∪ｗ3∪…∪ｗn ⊂Ω かつ ｗ１∩ｗ2 = Φ （互いに排反） ｗ１∩ｗ2　= Φ　（互いに排反） （２つの図形に重なり合う部分がない） のとき、 P(A) = P(ｗ１∪ｗ2∪ｗ3∪…∪ｗn ) = P(ｗ１) + P(ｗ2) + … + P(ｗn) これを加法の定理という。

加法の定理（No.11) 重なり合う部分があるときは？ 全体の面積 = ２つの図形の面積の和　 － ２つの図形の重なり部分の面積

加法の定理（No.12) 加法の定理（一般形） P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(C∩A) + P(A∩B∩C)

加法の定理（No.13) 事象 解釈（意味) 確率 {1} １の目が出る 1/6 {1,2} １の目が出るか ２の目が出る 2/6 したがって、 事象 解釈（意味) 確率 {1} １の目が出る 1/6 {1,2} １の目が出るか ２の目が出る 2/6 {1,2,3} ２の目が出るか ３の目が出る 3/6

箱の中に、赤球が２個、白球が2個、青球が3個入っている。 練習問題 箱の中に、赤球が２個、白球が2個、青球が3個入っている。 （１）箱の中から無作為に球を１つ取り出すとき、 　赤球が取り出される確率はいくらか？ （２）箱の中から無作為に球を２つ同時に取り出す 　とき、２個とも赤球となる確率はいくらか？

考え方： 試行 標本点 標本空間 事象系 確率の割り当て： 空事象・全事象の確率は定義よりOK 単一事象の生起確率を決める 複合事象は計算で求める

答え：標本空間を作り、単一事象の確率を求める。あとは単なる計算。 （１）球は全部で 2+2+3=7個 Ω={赤1,赤2,白1,白2,青1,青2,青3} P({赤1}) = 1/7　（等確率の原理より） P({赤1,白2})=P({赤1})+P({白2}) =1/7 + 1/7 = 2/7

赤か白が取り出される確率： 赤か白が取り出される事象： {赤1, 赤2, 白1, 白2} 赤が取り出される： 赤１が取り出されるか、赤２が取り出される {赤1, 赤2} 白が取り出される： 白1が取り出されるか、白2が取り出される {白1,白2} {赤1, 赤2, 白1, 白2} P({赤1, 赤2, 白1, 白2})=1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 = 4/7

（２）Ω={ {赤1,赤2}, {赤1,白1}, {赤1,白2}, {赤2,白1},{赤2,白2}, {赤1,青1}, {赤1,青2}, {赤1,青3}, {赤2,青1}, {赤2,青2}, {赤2,青3}, {白1,白2}, {白1,青1}, {白1,青2}, {白2,青3}, {白2,青1}, {白2,青2}, {白2,青3}, {青1,青2}, {青1,青3}, {青2,青3}}　　（２１個の事象）

これらの事象が等確率で起きるなら、 P(２つとも赤)=P({赤1,赤2})=1/21

乗法の定理（No.1) 先ほどまでは、 「ある出来事Aが起きるか、または、他の出来事Bが起きる確率」 を考えた。 今度は、 を考えよう。　＝＞（乗法の定理をめざして）

例：１個のコインを1回だけ投げる 試行：コインを投げて出る面を記録 標本点ω：H,T 標本空間Ω={H,T} 事象系F={Φ, {H}, {T}, Ω} 確率：P(Φ)=0, P(Ω)=1, P({H})=P({T})=1/2 （等確率の原理）

例：1個のコインを２回投げる 試行：コインを２回投げて、出る面を順に記録 標本点ω：HH, HT, TH, TT 事象系F={Φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, …, Ω} (16個) 確率：P(Φ)=0, P(Ω)=1, P({HH})=P({HT})= P({TH})=P({TT})= 1/4 （等確率の原理）

例：1個のコインを３回投げる 試行：コインを投げ出る目を順次記録 標本点ω：HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT 標本空間 Ω={{HHH}, {HHT}, {HTH}, {HTT}, {THH}, {THT}, {TTH}, {TTT}} 事象系F={Φ, {HHH}, {HHT}, {HTH}, {HTT},…, Ω} (256個) 確率：P(Φ)=0, P(Ω)=1, P({HHH})=P({HHT})= … =P({TTT})= 1/8 （等確率の原理）

表が２回、裏が１回となる確率は： 表裏の出方：HHT, HTH, THH の３つ したがって、 P({HHT, HTH, THH }) = P({HHT})+P({HTH})+P({THH}) （各事象{HHT}{HTH}{THH}は同時には起き得ない、つまり、　 互いに排反） = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

この考え方で、一応計算はできる。 でも、場合によってはもっと便利で発展性のある考え方がある。 それが『乗法の定理』である。 続きは次回としましょう。

これ以後の内容 加法定理から乗法定理へ 事後確率の話し（ベイズの定理） 独立性とは Ｎ個の確率変数の期待値と分散 確率論による統計学の基礎付け （この辺からまた統計に戻ります。）

付録 その他の確率の定義 確率の定義にはいろいろなものがあります。 どれが本当は正しいのでしょうか？　 これは定義の問題です。

経験的確率 サイコロをずっと振り続けると、どの目も同じ程度に現れる。 だから、 P( ① ) = P( ② ) = … = P( ⑥ ) = 1/6

測度論的確率 確率空間 M =<Ω, F, P> ただし、 Ω：標本空間 F: σ-加法族 2P ∋ F は（無限回の） 　　　　　　　　　集合演算に関して閉じている。 P: 確率関数（測度関数） P(Ω)=1 <注>Fは事象の集合（Ωの集合族の部分集合）

例えば、さいころ投げ 試行：１個のさいころを投げ、出た目を調べ 記録する。 標本：①,②,③,④,⑤,⑥の6通り。 試行：１個のさいころを投げ、出た目を調べ 　　　　記録する。 標本：①,②,③,④,⑤,⑥の6通り。 標本空間 Ω = { ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } 事象系 F : Ω の部分集合からなる集合族の 　　　　　　　うち、Ω自身と空集合をその要素と 　　　　　　　して持つとともに、A∊FかつB∊Fの　　　 　　　　　　　とき、~A, A∩B, A∪B　のいずれも 　　　　　　　Fの要素になっている。

つまり Ωの部分集合は全部で２6の６４個あるので、… F1 = { Φ, Ω }

F8 = { Φ, {①,②}, {③,④,⑤,⑥},Ω } F9 = { Φ, {①,③}, {②,④,⑤,⑥},Ω } F10= { Φ, {①,④}, {②,③,⑤,⑥},Ω } F11= { Φ, {①,⑤}, {②,③,④,⑥},Ω } F12= { Φ, {①,⑥}, {②,③,④,⑤},Ω }

F13= { Φ, {②,③}, {①,④,⑤,⑥},Ω } F14= { Φ, {②,④}, {①,③,⑤,⑥},Ω } F15= { Φ, {②,⑤}, {①,③,④,⑥},Ω } F16= { Φ, {②,⑥}, {①,③,④,⑤},Ω }

F17= { Φ, {③,④}, {①,②,⑤,⑥},Ω } F18= { Φ, {③,⑤}, {①,②,④,⑥},Ω } F19= { Φ, {③,⑥}, {①,②,④,⑤},Ω } F20= { Φ, {④,⑤}, {①,②,③,⑥},Ω } F21= { Φ, {④,⑥}, {①,②,③,⑤},Ω } F22= { Φ, {⑤,⑥}, {①,②,③,④},Ω }

F23= { Φ, {①,②,③}, {④,⑤,⑥},Ω } F24= { Φ, {①,②,④}, {③,⑤,⑥},Ω } F25= { Φ, {①,②,⑤}, {③,④,⑥},Ω } F26= { Φ, {①,②,⑥}, {③,④,⑤},Ω } F27= { Φ, {①,③,④}, {②,⑤,⑥},Ω } F28= { Φ, {①,③,⑤}, {②,④,⑥},Ω } F29= { Φ, {①,③,⑥}, {②,④,⑤},Ω }

F30= { Φ, {②,③,④}, {①,⑤,⑥},Ω } F31= { Φ, {②,③,⑤}, {①,④,⑥},Ω } F32= { Φ, {②,③,⑥}, {①,④,⑤},Ω } F33= { Φ, {②,④,⑤}, {①,③,⑥},Ω } F34= { Φ, {②,④,⑥}, {①,③,⑤,Ω } F35= { Φ, {②,⑤,⑥}, {①,③,④},Ω } F36= { Φ, {①,③,⑥}, {②,④,⑤},Ω }

F37= { Φ,{①} ,{①,②}, {②,③,④,⑤,⑥}, {③,④,⑤,⑥}, Ω } などなど

確率関数（測度関数）の設定 確率関数P（X)の定義 P: X ∊ F → P(X) ∊ [ 0, 1] P(Φ) = 0 P(Ω) = 1 P(ω1∪ω2 ∪ ω3 ∪ ・・・ ∪ ωn+・・・) 　　=P(ω1)+ P(ω2)+ P(ω3)+・・・ P(ωn)+・・・ (ただし、任意の 異なるj, k に対して、ωj∩ωk=Φ )

この場合例えば次のようになる

例１ 確率空間 M =<Ω, F, P> 標本空間 Ω = { ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } F={ Φ, Ω } P