変換されても変換されない頑固ベクトル どうしたら頑固になれるか 頑固なベクトルは何に使える？ 固有値と固有ベクトル 変換されても変換されない頑固ベクトル どうしたら頑固になれるか 頑固なベクトルは何に使える？

Googleの検索エンジンはなぜ高精度？ 各Webページの重要度を計算している 他 ページからリンクされたページは重要 リンクが重要度を伝播 そのページの重要度を 出力リンク数で割る 入力リンクの重要度の合計が そのページの重要度 重要度のベクトル 　， リンクを表わす行列 A とすると リンク伝搬をした後の重要度は リンクがループしているはず 重要度が安定すると，ループしてきても　同じ重要度 この性質を使って重要度を計算

が意味するものは？ を展開して として変換後の は 　　　　　が意味するものは？ を展開して として変換後の　　　　　　　は と表現でき，　は　 と 　の線形結合で， 　と　 が張る空間内の任意の点となるはず．変換後に元のベクトルの定数倍になるのは特別．これを 固有ベクトル(eigenvector) という. 線形変換しても元のベクトルの定数倍，つまり，元のベクトルに 平行 なベクトル 通常は任意の点

固有方程式(characteristic equation)と 固有値(eigenvalue ) を変形して 左辺に移項して が逆行列を持つと，左からかけて つまり， これは矛盾．よって は存在しない． Aがn次正方行列なら上式はλ のn次方程式になる．この式を 固有方程式， λを 固有値 という．

２次行列での固有方程式の例 行列 の固有値と固有ベクトルは？ だから を解いて のとき に値を当てはめ を展開 双方の式から となり，固有ベクトルでは常に xの(-1)倍が y の値．つまり，固有値 の固有ベクトルは

のとき ２つの式から となり，この固有ベクトルでは常 に xの3/2倍が yの値．つまり，固有値 の固有 ベクトルは 固有ベクトルは単位ベクトルにすると，後の計算が簡単． の２つで代表させる． 当然ながら だから 変換後の は λ1=-1倍 変換後の は λ2= 4倍 1 2 3

行列Aによる座標変換 前例は固有ベクトルを新しい座標軸とみなすことを意味する 固有ベクトル を斜交する 座標系の単位ベクトルとする． をAで変換後のベクトル について，適当な x, y , x’, y’があり と表現できる． であり， と比較すると 返還前後で固有ベクトルは向き不変で，固有値は元の座標成分に関する 比例定数 になる．

行列の対角化 固有値のご利益 の固有値α，βが存在したとき，それぞれに 対する固有ベクトルを とすると ２つの式の列ベクトルを１つの行列にまとめると 右辺を変形すると だから

固有ベクトルを列ベクトルとする行列 を考えると，前の結果は 両辺に左からP-1をかけると だから 固有ベクトルからできる行列Pを使ってAを上式のように対角行列にすることを，行列の 対角化 という． n次行列Aからn個の固有ベクトル が得られれば だから で対角化できる Dとおく Pとおく

対称行列と固有ベクトル 統計で用いるのは分散共分散行列のように，対称行列がほとんど 対称行列Aの固有値λi, λk (λi ≠ λk)に対応する固有ベクトルを　　　　とする． 　　はn行1列の行列（縦ベクトル） 　　は1行n列の行列（横ベクトル） 対称行列だから 固有ベクトルだから 上記③の結果を使って 　 一方，左辺は②を使い ① BtAt=(AB)t ② ③ (AB)t=BtAt ② (AB)t=BtAt

対称行列の固有ベクトルは直交 前記④の結果から λi ≠ λkなので とすると つまり，内積 で，ベクトル は直交

対称行列の固有ベクトルでつくる 行列は直交行列 n次の対称行列 A の固有値λ1 , λ2 , …, λn に対応する大きさ１の固有ベクトルを 　　　　　　　とする． は互いに直交．しかも大きさは１ 　　　　　　　　がつくる行列 P は正規直交行列 Aは P-1AP で対角化できるが，P は直交行列だから P-1=Pt 　となり， PtAPで対角化できる. P-1の計算は大変だが，Ptの計算は単純

スペクトル分解 とおくと となる． 左からP，右からPtをかけると だから 固有ベクトルを縦ベクトルとして，これを書くと さらに展開して とおくと 　　　　　　 となる． 左からP，右からPtをかけると 　　　　　　だから 固有ベクトルを縦ベクトルとして，これを書くと さらに展開して 次ページへ続く

この式を対称行列Aの スペクトル分解 という （これを展開した結果は次の補足スライド） よって，Aは以下のように書ける この式を対称行列Aの 　スペクトル分解　 という

補足スライド

固有値の数値的解法（累乗法） 対称行列の固有ベクトルが直交するので，その固有値を数値的解法で求めることができる もっとも有名な累乗法（べき乗法）を紹介 n×n行列Aの固有値がλ1,λ2,....λnとすべて異なる場合で，絶対値の大きい順に並べたとする． これらに対する正規直交固有ベクトルをそれぞれ 　　　　　　　　とする 任意のn次元ベクトル　　は と書ける

最大の固有値に着目 両辺にAを左からかけると， だから 次々とAをかけていくと λ1は絶対値が最大の固有値なので，kを増やしていくと 成分以外は 小さく なっていく

内積 を考えると，固有ベクトルは正規直交ベクトルだから となり， よって， 行列演算をk+1回実施したベクトルと，同じくk+1回実施したベクトルとの内積が分子 行列演算をk+1回実施したベクトルと，今度はk回だけ実施したベクトルとの内積が分母 この結果はλに近づく でもｋ回とか，ｋ+1回実施するのは大変

もう少し単純な方法 大きさ１の初期ベクトル にAをかけ をつくる． で を計算 としてλの近似値を計算 としλが収束するまで①～③を繰り返す 　　　　 で　　を計算 　　　　　としてλの近似値を計算 　　　　としλが収束するまで①～③を繰り返す 行列演算を実施した後のベクトル同士の内積が分子， 行列演算を実施した後と前のベクトルの内積が分母， これも，いずれはλに近づくから，これを収束するまで繰り返す．

2番目の固有値に対する固有ベクトル 対象行列Aはスペクトル分解で と書ける．最大の固有値λ1が計算できたとき， とすると， も対称行列だから，対称行列どうしの差をとる左辺も対称行列． よって， を新しいA とみなし，いままでと同じ手法を適用すれば，λ2が算出可能．

レポート [注] 途中の計算式も書くこと 対称行列 の固有値α, βを求めよ 固有値に対応する，大きさ１の固有ベクトルを求めよ 対称行列　　　　　　　　　　　の固有値α, βを求めよ 固有値に対応する，大きさ１の固有ベクトルを求めよ 固有ベクトルが直交していることを示せ 大きさ１の固有ベクトルからなる正規直交行列をPとする． 　　　　　　　　　　　　となることを，行列の掛け算で示せ． 学生証番号　　　　　　　　　　　　氏名　　　　　　　　　　　　　　．