ロジスティクス工学 第２章 経済発注量モデル サプライ・チェインの設計と管理 pp. 49-52, 3.2.1節 経済的ロットサイズ・モデル 東京商船大学 久保　幹雄

経済発注量（Economic Ordering Quantity ：EOQ)モデル K (円): 発注１回あたりの固定費用 [生産現場では段取り費用 h ( 円/(日・個) ）: 品目１個あたり・１日あたりの在庫保管費用 目的： 無限期間における最適な（発注費用＋在庫保管費用を最小にする）発注方策（いつ，どれだけ発注するのか）を決める． 条件： 品切れは許さない． 注文した品目はすぐに（リード時間0で）到着する． 初期在庫は 0 とする．

例：研究室のビール在庫 Ｋ研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管理することが義務づけられている．ビールは新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10円で，発注は近所のコンビニに出前を頼むので１回あたり３００円かかる．また，研究室には大酒のみが多いため１日に１０本のペースで消費されるものとする．最適な（研究室費を無駄にしない）発注方策を考えよ．

d：傾き＝－需要のスピード Q h×面積 サイクル時間 (T 日) = [ ] 時間 T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用 = 在庫レベル d：傾き＝－需要のスピード Q h×面積 サイクル時間 (T 日) = [ ] 時間 T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用 = f(Q)= １日あたりの費用 =

EOQモデル 最小化 f(Q) ∂f(Q)/∂Q = ∂2f(Q)/∂Q2 = f(Q) は [ ] 関数. Q* = f(Q* )=

練習問題 2-1 （易） Find the optimal ordering quantities when d =10 items/day K =300 yen h=10 yen/day・item. Check the dimension of the EOQ formula.

練習問題 2-2　（中） Consider EOQ model in a factory. When the inventory is zero, production of Q items starts at a rate of p (items/day) (p ≧d). The set-up cost is K (yen) and every time production starts at a level p, we incur a cost of α×p (α>0). What is the optimal production rate?

練習問題 2-3（難） Consider EOQ model at a warehouse. When an order of size Q is placed, the items are delivered by trucks of capacity q; thus the number of trucks used to deliver Q is . The set-up cost is a linear function of the number of trucks used; 　　　　　　　　　　　 (yen) . What is the optimal ordering quantities?

感度分析 （「サプライ・チェインの設計と解析」p.52 表3-1） 最適な発注量が整数でないかもしれない．最適からずれたら，どれくらい費用が増えるのだろう？->感度分析 ビールの在庫の例 Table3-1.xls

感度分析の図 最適値の20％増しのの発注量でも，費用は（たった）1.6% しか増えない！ -> EOQモデルの解は頑強（robust）である！

２のべき乗方策（Power-of-two Policy） サイクル時間が1.732日や1.4142日は実用的か？ たとえば，タバコの配送では，配送周期を１週間，２週間，１ヶ月（４週間）に一度に限定している． ２のべき乗方策 基準となる時間間隔 B (Basicの頭文字）を与え，kを整数(・・・-2,-1,0,1,2,・・・）としたとき，サイクル時間をB 2k に限定して発注を行う．

２のべき乗方策（定式化） g=h d/2 を導入（記号の簡略化のため） 発注固定費用K，在庫保管費用h，需要量d （発注量Qでなく）サイクル時間 Tを変数とする！ ２のべき乗方策 最小化 f(T)= K/T + g T 条件 T = B 2k kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・ 　　　　　 T ≧ 0

２のべき乗方策の最悪の場合の保証（悪くても６％以下） (式変形については，「ロジスティクス工学」pp.34-35参照） 2のべき乗であることを外した（緩和した）問題の最適サイクル時間と最適値；EOQ公式より ２のべき乗に限定したときのサイクル時間 を満たす 式変形すると：

直列多段階（ ２段階）モデル 3 メーカー 2 卸 1 小売店 需要 d h’3 =0 h’2 h’1 第２段階（卸） 第１段階（小売店） T=2 T=1 ノコギリ型にならない！

エシェロン在庫 第２段階のエシェロン在庫 2 1 需要 d 第２段階（エシェロン在庫） h’2 h’1 各在庫点からみて下流（需要側） の在庫をすべて含めた在庫 第１段階 2 2 T=2 T=1

エシェロン在庫費用 3 メーカー 2 卸 1 小売店 需要 d h’3 =0 h’2 h’1 第２段階（卸）の のエシェロン在庫費用 h2 = h’2－h’3 = h’2 第１段階（小売店） のエシェロン在庫費用 h1 = h’1－h’2 下流（需要側）に行くにしたがって在庫費用は増加 （品目に付加価値がつくから） 外部（メーカー）の在庫費用は0 とする． エシェロン在庫費用＝ 各在庫点とそこに供給する上流の在庫点との在庫費用の差

通常の在庫費用と エシェロン在庫費用の関係 エシェロン在庫費用(4日分） 第２段階（卸）＝2×4× h2 ＝[ ] 第１段階（小売店）＝4 h1 ＝[ ] 通常の計算法(4日分） 第２段階（卸）＝4 h’2 第１段階（小売店）＝4 h’1 2 1 T=2 T=1

練習問題2-4 以下のサプライ・チェインに対して，通常の定義による在庫費用がエシェロン在庫費用と一致することを確認せよ． ３段階のサプライ・チェイン １倉庫・多小売店モデル 3 メーカー サイクル時間＝4 2 卸 サイクル時間＝2 1 小売店 サイクル時間＝1 小売店１ サイクル時間=1，需要＝１ 倉庫 サイクル時間＝４，需要＝３ 小売店2 サイクル時間=2，需要＝2

入れ子方策（nested policy） 入れ子方策：ある在庫点が発注を行うなら，かならずその下流の在庫点も発注を行う． 直列多段階モデルにおいては，入れ子方策の中に最適方策がある． ２のべき乗方策の下では， 上流のサイクル時間≧下流のサイクル時間 を満たせばよい．

入れ子方策でない方策 第２段階（卸） エシェロン在庫 ２段階（卸）が発注して いないときに発注 第１段階（小売り） 2 2 0に近づけると在庫減少

２段階直列モデルの定式化 ２のべき乗・入れ子方策 需要量d，第 i段階の在庫点の発注固定費用Ki， エシェロン在庫保管費用hi，サイクル時間（変数）Ti gi=hi d/2 を導入（記号の簡略化のため）　 ２のべき乗・入れ子方策 最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti 条件 Ti = B 2k kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・, i=1,2 Ti ≧ Ti-1 i=2 　 　　　　 Ti ≧ 0 i=1,2 ２のべき乗方策 入れ子方策 （２のべき乗方策の下）

２段階直列モデルの最適解 Lagrange緩和(1) 需要量 10 第 1段階の在庫点の発注固定費用K1=３００ エシェロン在庫保管費用h1＝5=(10-5), g1=h1 d/2=25 第 2段階の在庫点の発注固定費用K2=１００（他のビールと一緒に注文するので安い） エシェロン在庫保管費用h2＝5=(5-0), g2=h2 d/2=25 ２のべき乗・入れ子方策 最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1）λ 条件 Ti = B 2k kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・, i=1,2 Ti ≧ Ti-1 i=2 　 　　　　 Ti ≧ 0 i=1,2 入れ子条件より0以下 0以上のLagrange乗数

２段階直列モデルの最適解 Lagrange緩和（2） ２のべき乗・入れ子方策を緩和（外した）式 ０以下の項を目的関数に加えて制約を外した ->下界（最適値以下の値）を算出する！ 最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1）λ 条件 Ti ≧ 0 i=1,2 ->２つのEOQモデルに分解 第1段階：最小化 K1/T1 + (g1 +λ) T1 第2段階：最小化 K2/T2 + (g2 －λ) T2

２段階直列モデルの最適解 Lagrange緩和（3）: Excelによるλの推定 B1 =SQRT(300/(50+B1)) =SQRT(500/(100-B1)) Section2-3.xls

１倉庫・多小売店モデル 入れ子方策が悪くなる例 小売店１　発注費用1 需要＝2　エシェロン在庫費用=1 倉庫 発注費用 =1 需要＝2+ε エシェロン在庫費用=1 小売店2 発注費用 K（大きな数） 需要＝ε(小さな数) エシェロン在庫費用=1 最適方策：小売店1，倉庫が毎日発注，小売店2は約 日に１回発注 ->１日あたり に比例した費用 入れ子方策1：小売店2を約 日に１回；入れ子方策より倉庫も約 日に１回；小売店１むけの倉庫における在庫費用は，　　　　　　 に比例　　　 入れ子方策2：小売店2，倉庫が毎日発注；小売店2の在庫費用 は K に比例