Closed String Field Theory with Dynamical D-branes 京都大学　大学院　 人間・環境学研究科　人間・環境学専攻 阪上研究室　博士課程　 小林　晋平 Based on JHEP0310 (2003) 023 Collaboration with T. Asakawa (YITP) S. Matsuura (Riken) 於名古屋大CG研 2004年1月2７日

目次 導入と動機 弦理論とは HIKKO型閉弦の場の理論 ソース項を持つ閉弦の場の理論 結果とまとめ 今後の展望

１．導入と動機 宇宙の創生 宇宙はどうやって誕生したのか？ 構造の形成 プランクスケールで何が起きたのか？ 物質の構成 　　宇宙はどうやって誕生したのか？ 構造の形成 　　プランクスケールで何が起きたのか？ 物質の構成 　　宇宙全体に存在する物質の10％しかわかっていない 　　→超弦理論を用いて 　　　　　　　　　　　　これらの問題に取り組む

超弦理論とは？ 弦という「ひも」状の1次元物体を基本構成要素とする理論 cf.) 量子力学/場の理論の点粒子的描像 開いた弦（open string）と閉じた弦(closed string)　の2種 弦の振動状態で各種粒子を表す

点粒子 閉弦 開弦 弦の長さのスケール (string scale  Planck scale(?) ) 遠方（低エネルギー）から観測すれば、 弦も点粒子に見える

エネルギースケール

超弦理論の特徴 重力まで含めた統一理論の候補 4次元以上の高次元時空の存在を示唆 時空の非可換性を示唆 ボゾン的弦理論では26次元 超弦理論では10次元 D-braneのような高次元オブジェクトを内包 時空の非可換性を示唆 相対論的にも興味深い

超弦理論の問題点 摂動論しかわかっていない 今のところ何も予言していない 数学的な整合性にのみ立脚 摂動的には無数の弦理論を定式化可能 それぞれいろいろな場・チャージを持つ どれが「真の」理論なのかわからない 弦同士の相互作用の仕方がわからない 不安定な系・時間依存する系が扱えない 低エネルギー部分の効果しかわからない 今のところ何も予言していない 数学的な整合性にのみ立脚

摂動的超弦理論のいろいろ

D-braneの発見 (Polchinski, ’94) 弦理論の非摂動的効果を表す物体 RRチャージを持つ 開弦の端点がくっつく領域 その上にゲージ場が住む 空間p次元に広がっているとき、Dp-braneという 　 IIA型超弦理論・・・D(2p)-braneが安定に存在 IIB型超弦理論・・・D(2p+1)-braneが安定に存在 各種摂動的超弦理論の間の双対性の発見に役立った

T-dual, S-dual などの操作 → 別の摂動論のD-braneへ 開弦が励起 端点がくっつく 閉弦を放出 閉弦のソース D-brane T-dual, S-dual　などの操作 →　別の摂動論のD-braneへ 　　→　別の摂動的超弦理論へ移行

D-braneの研究を通じ、 各種摂動的超弦理論の間に双対性を発見 → 非摂動的弦理論の存在を示唆 IIB型 IIA型 M理論 ？ I型 E8E8 ヘテロ型 超弦理論 SO(32) I型 IIA型 IIB型 M理論 ？ T双対性 コンパクト化 T双対性 T双対性 S双対性 D-braneの研究を通じ、 各種摂動的超弦理論の間に双対性を発見 →　非摂動的弦理論の存在を示唆

D-braneからわかったこと 各種摂動的超弦理論の間に双対性 AdS/CFT対応 これらの解析は全て BPS状態の（安定な）D-brane D-brane上のゲージ場とD-brane周りの時空に対応関係がある これらの解析は全て 　　　　BPS状態の（安定な）D-brane 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に限られている

D-braneと重力系 D-brane系は重力系への応用として面白い D３-braneは4次元時空 （空間3次元） 我々の宇宙？ D-braneとblack p-brane D-braneを低エネルギー近似 →ブラックホールと同じ計量 →D-braneでブラックホールが記述出来る？

不安定なD-brane系 重力系はほとんどが不安定で動的 これまで理解されているのは安定なD-brane系のみ しかし、不安定で動的なD-brane系も存在 　　　　　　→重力系へ応用出来る

不安定なD-brane系 不安定なD-brane系の例 (1) 閉弦を放出 D-braneが崩壊 真空に遷移 非BPS状態D-brane　（チャージのないD-brane） 閉弦を放出 D-braneが崩壊 真空に遷移

不安定なD-brane系 不安定なD-brane系の例（２） D/D-brane系 互いに逆符号のチャージをもつ2枚のD-brane ¯ 互いに引き合う 消滅

不安定なD-brane系の応用 相対論・宇宙論的観点 D-brane　インフレーション (Dvali et al., Alexander et al., …) Ekpyrotic 宇宙 (Khoury et al., …) cf.) ブレーンワールド (S.K. & Koyama, and too many authors!) タキオン宇宙論 (Gibbons, Mukohyama, …) (ブラックホールの蒸発)

不安定なD-brane系の応用 素粒子論的観点 時間依存性のある時空上での弦理論の定式化 タキオン凝縮　(A.Sen, …) 弦の相互作用の構造理解 非摂動的弦理論の構築

タキオン凝縮 不安定なD-braneの崩壊は、D-brane上のタキオン場の凝縮過程によるもの 崩壊（または変形）後の時空にはタキオンは存在しない タキオン凝縮後には「真の」真空が選択される

Sen の予想 非BPS D-brane上のタキオン場が凝縮すると、D-braneは崩壊して閉弦の真空へ移行

タキオンポテンシャルの高さがもともとのD-braneの張力に一致 Tachyon potential V(T) Tension of non-BPS D-brane T

非等方性のあるタキオン場 Non-BPS D(2p+1)-brane in type IIA string BPS D(2p)-brane

ここまでのまとめ 不安定D-brane系の記述・解析が重要 重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理論が必要 弦理論は未完成　（摂動論のみ完成） D-braneは弦理論の重要な構成要素 不安定D-brane系の研究は弦理論の非摂動的効果や相互作用の性質を明らかにすることにつながる 不安定・動的なD-braneは重力系に応用可 　不安定D-brane系の記述・解析が重要

D-braneの崩壊過程や生成などのダイナミクスを記述することで これらの問題を解明する 従来の（超）弦理論での 解析を超える目的のために・・・ 閉弦の場の理論 （Closed String Field Theory） を用いる

なぜならば・・・ 相互作用が本質的な役割を果たすので、弦の場の理論が必要になる （弦理論は弦の一体系、 on-shellしか扱えない） 宇宙論、BHなどとの関連を見越し、重力子を含む閉弦を考える 超重力理論に含まれていない、弦のmassive modeの効果も取り入れたい （低エネルギーに限らない解析を試みる）

戦術 閉弦の場の理論 相互作用が単純なことからHIKKO型を選ぶ 議論は型に依らないようにする HIKKO型　 (Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86) Witten型　など 相互作用が単純なことからHIKKO型を選ぶ 議論は型に依らないようにする ソースを閉弦の場の理論に付け加える 　・・・ ソースがD-braneの一般化 宇宙論・相対論では馴染み深いテクニック

戦略 不安定D-braneを動的に記述する方法の開発 弦理論の相互作用の理解 非摂動的弦理論の開発 弦理論による重力の理解 　⇒超弦理論的宇宙論の構築

本研究のまとめと結果 動的なD-braneのような一般的なソースを、閉弦の場の理論で扱うための形式を構築 理論の対称性から、ソースが従うべき拘束条件を導いた 拘束条件が低エネルギー理論における「エネルギー・運動量テンソルの共変保存則」に対応することを発見

２．弦理論とは 作用・対称性・臨界次元・場 BRST量子化 D-brane Polyakov作用・共形対称性・26次元・X,b,c 弦以外にも重要なオブジェクトがある

２．弦理論とは　(1) ~ 作用・対称性・場 ~ 1次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子論的運動を考えたい 　　　　　　　　（背景時空は平坦） cf.) 自由な相対論的点粒子の作用 　　　　　　　　　　　　　　　　　ds:微小な世界線 　→粒子の世界線の長さが極値をとるように　　　　　　　　　　　　　　　運動が決まる

X0 X0 Xi Xi 点粒子の 世界線 開いた弦の 世界面  = 0  =   = 2  = 2  = 1  = 1  = 0  = 0  = -1  = -1 Xi Xi 点粒子の 世界線 開いた弦の 世界面

自由な相対論的「ひも」（弦）の作用 D次元の平坦な時空中を運動する弦 点粒子との類推 →弦の世界「面」が作用になる →南部・後藤作用 　→これが極小をとるように運動が決まる

Polyakov作用 補助場として世界面の計量　ab を導入 →南部・後藤作用を書き直す

Polyakov 作用の特徴 一般座標変換不変性 時空の各点で座標変換可能 Weyl変換不変性 時空の各点でスケール変換可能 　　　　上記２つを使ってゲージ固定した後も 　　　共形変換不変性がある

エネルギー・運動量テンソル 作用の対称性より、エネルギー・運動量テンソルが特定の条件式を満たす。

エネルギー・運動量共変保存則 一般座標変換不変性より、エネルギー・運動量テンソルの共変保存則が得られる

臨界次元 Weyl不変性より、エネルギー・運動量テンソルはtracelessになる。 量子論でもこれが成立するために、ボゾン的弦理論なら26次元、超弦理論なら１０次元が必要

ゲージ固定後の作用　 座標をEuclideanにWick回転 複素座標を導入

ゲージ固定後の作用　（つづき） ゲージ固定することで、(b,c)-ghost が入る ゲージ固定後も共形対称性を持つ 運動方程式を解き、解をモード展開 →質量などの各スペクトルを調べる

共形対称性 (Conformal Symmetry) 一般座標変換・Weyl変換を使って、計量を固定した後でも残る対称性 w →　w’ = f(w) という変換のもとで作用が不変 Holomorphicなものをholomorphicに移す変換 世界面をゴム膜のように自由に変形することが出来る 弦理論の計算に共形場の理論が使える

モード展開 ここで、

弦理論に現れる状態 第1量子化 重心の量子化 振動モードの量子化

弦の運動を表すのは南部・後藤作用もしくは Polyakov作用 作用はいくつかの対称性をもつ 運動方程式を解く →解をモード展開して量子化 →弦の状態を決めていく

２．弦理論とは　(2) ～BRST量子化～ ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変性の名残りのBRST不変性がある 　→BRST変換 　　のもとで作用が不変

BRSTカレントとチャージ BRSTカレント BRSTチャージ

BRSTチャージの性質 冪零性　(nilpotency) BRSTチャージQBは、 を満たす ただし、26次元のときのみ （超弦理論では10次元） 物理的状態条件 物理的状態|はBRST不変

物理的状態 BRST不変性を満たす閉弦の物理的状態の例 基底状態 (tachyon state) 第1励起状態 (massless state)

閉弦と重力子 閉弦のmassless mode →時空中では2階のテンソル →重力子・B場・ディラトンに分解できる 重力子 B場 ディラトン

BRST不変であることから、弦の物理的状態が決まる 閉じた弦（閉弦）のmassless modeには、 重力を媒介する粒子（重力子：graviton）が 含まれている

２．弦理論とは （３） ～D-brane～ 開弦 (open string) の端点がくっつく領域 閉弦 (closed string) のソース ←これら２つの読み替えは共形対称性が 　 保証 空間p次元に広がっているとき、Dp-brane 開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位 超弦理論では、RRチャージを持つ IIA型ではD(2p)-braneが安定に存在 IIB型ではD(2p+1)-braneが安定に存在

開弦での見方 ～D-brane～ D-brane X0 開弦 Xi X

Open string channel & Closed string channel 開弦 閉弦     D-brane 境界状態

閉弦での見方 ～境界状態～ 閉弦   D-brane (境界状態)

2章のまとめ 平坦なD次元時空中を運動する弦の作用を考えた（南部・後藤作用 or Polyakov作用） 弦が掃く世界面上の理論は、conformal対称性を持ったD個のスカラー場の理論 ゲージ固定により、(b,c)-ghost という場も入る 26次元（超弦理論なら10次元）のときのみ量子異常がなくなる。このときBRSTチャージは冪零性をもつ

２章のまとめ （つづき） 物理的状態はBRST不変 Q|=0 ２章のまとめ　（つづき） 物理的状態はBRST不変　Q|=0 閉弦のmassless mode には重力子（graviton）やディラトン(dilaton)が入る D-braneと呼ばれる物体が存在 D-braneは弦と並ぶ代表的配位 理論の重要な構成要素 開弦の端点がくっつく領域 閉弦のソース（境界状態）

３．HIKKO型 閉弦の場の理論 記法 弦理論と弦の場の理論の違い HIKKO型閉弦の場の理論の作用 HIKKO型閉弦の場の理論のBRST対称性

３．HIKKO型閉弦の場の理論 （１） ～記法～ モード展開

交換子 Ghost 0-mode

量子力学と場の理論の関係 ～点粒子の場合～ 第1量子化 古典場の理論 第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる

量子力学と場の理論の関係 ～弦理論の場合～ 第1量子化 重心の量子化 振動モードの量子化

古典場の理論 第1量子化で現れる全ての状態を足し上げる

閉弦の場 |の中にタキオン(tachyon)・重力子(graviton)・ディラトン(dilaton)などのいろいろな場が入っている。 Massiveなものも含む。具体的には の下、

弦の場の物理的場による分解

閉弦の場が満たす条件 Level matching condition 閉弦の対称性から決まる条件 Reality condition 場が実であるための条件

弦場には、弦のありとあらゆる物理的状態が入っている

３．HIKKO型の閉弦の場の理論 （２）～作用～ ここで、  は|の汎関数表示

BRSTチャージ　Q Qは冪零性　　　　　　をみたす Ghost 0－modeで分解する　

On-shellでの、物理的状態であるための条件 作用の形について 運動項 で変分 On-shellでの、物理的状態であるための条件

低エネルギー有効作用との関連 重力理論の運動項を再現

相互作用項 対応する グラフ 相互作用 相互作用 弦理論のグラフ （3点相互作用が２つ） 場の理論のグラフ （4点相互作用が１つ）

弦の相互作用の一般論 (Le Clair, Peskin and Preitschopf) 3 disks sphere h3 h1 h2

LPP’s 3-point vertex

（例）　bc-ghostの2点相関関数 これを満たすようにNeumann係数を決める

HIKKOの3点相関関数 <0 >0  gr fM hr  fM  gr ρ z z3 z2 z1 w1 w3 w2 <0 >0 ρ w3  1 gr 3 2 3 2 1 w2 fM hr  fM  gr z z3 z2 z1

積の定義 内積 Reflector -積

-積の性質

HIKKO型閉弦の場の理論は３点相互作用を持つ グラフを書き下せば、全ての反応の様子がわかる 低エネルギー極限で、われわれがよく知っている重力理論を再現

３．HIKKO型閉弦の場の理論（３） ～BRST対称性～

ゲージ対称性 　 BRST変換の冪零性 作用のゲージ不変性 ここでゲージ変換は

HIKKO型閉弦の場の理論は、BRST対称性を持つ cf.) 世界面上の理論のBRST対称性 HIKKO型閉弦の場の理論は、ゲージ対称性も持つ

４．ソース項を持つ弦の場の理論 HIKKO型の閉弦の場の理論に、ソース項Jを入れる 弦の場が従う運動方程式を導く ソースとしては特に境界状態に注目 　境界状態・・・D-braneを閉弦の見方で 　　　　　　　　　　　　　　　　　　あらわしたもの

４．ソース項を持つ閉弦の場の理論 作用・運動方程式・ソースの拘束条件 ソースとしての境界状態 摂動展開

4-1.ソース項を持つ閉弦の場の理論～作用・運動方程式・拘束条件～ 　　　　 　　　　Jが任意の物質カレントを表す HIKKOの 閉弦の場の理論の作用 ソース項

閉弦の場の運動方程式 ソース項入りの 運動方程式

整合性条件 BRSTチャージQの冪零性 　　　　　整合性条件が存在

BRST変換の冪零性と 整合性条件 ここで以下を使った BRST変換の定義と運動方程式

ソースが従う拘束条件 以下の拘束条件を得る Jが従う運動方程式ともいえる これは本研究により初めて定式化された

拘束条件の物理的意味（１） ～Chern-Simons理論との比較～ 作用 対応

運動方程式と微分 対応 BRST変換　B=Q+g　が 共変微分　D=d+gA に対応

Bianchi恒等式と拘束条件 対応 冪零性　2B=0 は Bianchi恒等式の存在と等価

拘束条件の物理的意味（２） ～低エネルギー理論との比較～ 閉弦の場の理論 Einstein重力 BRST変換の冪零性 Bianchi恒等式 対応

拘束条件の物理的意味（３） これより、 は、 閉弦の場の理論における 物質のエネルギー・運動量保存則 　　　　　　　物質のエネルギー・運動量保存則 だとわかる →実際、展開した形は低エネルギーのものと 　　　一致

古典解の導出について 運動方程式だけでなく、ソースに対する拘束条件（エネルギー・運動量保存則）も満たさなければならない 任意のソースに対して運動方程式の解が整合的であるとは限らない

4-2.ソース項を持つ閉弦の場の理論～ソースとしての境界状態～ ソースとして境界状態を考える ghost modeまで含めた正しい境界条件 D-braneを 閉弦の見方で記述したもの 閉弦のソース

X0 閉弦 X 閉弦のソースとしての 境界状態 xi

境界状態の具体形 Tp : D-brane（境界状態）の張力 S  (, -ij) Ghost number　は　３

物理的なセクターとカップルするソースにする すると 相互作用 g を考えたとき通常の境界状態は 　閉弦のソースとして整合的ではない！ 相互作用の効果で境界状態は変形される を満たさない

今までの境界状態の捉え方 重力子を放出しても 境界状態は不変

本研究でわかった境界状態の様子 境界状態(D-brane)が閉弦を放出 閉弦との相互作用あり →境界状態は変形したり、反跳して動いたりする →崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ

Senのタキオンマターについて 運動方程式 拘束条件 保存則

bulkとD-braneの相互作用 開弦がブレーン上に励起 我々の予想 整合的なソースとは？ bulkとD-braneの相互作用 開弦がブレーン上に励起 我々の予想 gが０でないときの整合的なソースは back reaction

4-3.ソース項を持つ閉弦の場の理論～摂動展開～ 運動方程式と保存則の式に代入 ただし、

物理的なセクターのみに注目

Ghost 0-mode による分解（１） c0- ｜・・・ セクター はL0+|  =0 (on-shell condition) 以外の物理的条件を満たす jnはもともとj0がもつ性質M+|j0 =0を保持

Ghost 0-mode による分解 （２） c0- c0+ ｜・・・ セクター |の式は運動方程式。右辺が０ならon-shell。右辺はソースの効果と相互作用の効果によるon-shellからのズレを表す。 conformal background からのズレを表す。

漸化式の物理的解釈 （１） 我々がおいた仮定からすでに満たされている。 漸化式の物理的解釈　（１） 我々がおいた仮定からすでに満たされている。 背景時空が conformal background であることを表す。

漸化式の物理的解釈 （２） ソースが off-shell 効果を表す。 ソースにより時空が歪むことを表す。 漸化式の物理的解釈　（２） ソースが　off-shell 効果を表す。 ソースにより時空が歪むことを表す。 古典解のリーディングを担う。 　　　ref.) Di Vecchia et al.

漸化式の物理的解釈　（３） バルクの場による反作用で、ソースが変形することを表す式。 　　　　　 　　　　　cf.) D-brane recoil

漸化式の物理的解釈　（４） 変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用により、バルクの場が受ける反作用を表す式。 D-braneの変化の様子(D-brane recoil)とバルクの場の自己相互作用を確かに記述出来ている。

５．結論 閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた系を扱う方法を開発した。 閉弦の場の理論の作用のBRST不変性から、ソースに対する拘束条件を発見した。 これは低エネルギーでの物質のエネルギー・運動量保存則に対応 古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件を同時に解く必要がある。

結論（つづき） バルクからの反作用を受けて、境界状態は変化していく 境界状態の変化は開弦の励起によって表されると考えられる。 通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソースではない Senのrolling tachyon境界状態も変更が必要 閉弦の放出は我々の方法で扱うべき 境界状態の変化は開弦の励起によって表されると考えられる。

６．今後の展望 具体的な系に応用し、拘束条件を解く！ 開弦/閉弦の双対性 超弦場の理論への拡張 量子場への拡張 時間依存解　 (rolling tachyon revised,…) 古典的に不安定な重力系 D-brane inflation 特異点回避？ 開弦/閉弦の双対性 超弦場の理論への拡張 量子場への拡張