地球内部物理学 Physics of the Earth’s Interior 北海道大学理学院 Hokkaido Univ. 地球惑星ダイナミクス講座 Earth and Planetary Dynamics 日置 幸介 Kosuke Heki へ き こうすけ　heki@sci.hokudai.ac.jp

正式な参考書 著者のサイン付き 「動く地球の測りかた」 直接買うと1600円 （（理8-317号室まで 先着30名） （税抜1800円） 宇宙測地技術が 明らかにした動的地球像 （税抜1800円） 河野宣之・日置幸介 東海大学出版部 直接買うと1600円 （（理8-317号室まで 先着30名） 著者のサイン付き

地球内部物理学 (宇宙測地学研究室 日置) 1. 質点としての地球の力学 Earth as a point mass 地球内部物理学　 　　　　　　　　(宇宙測地学研究室　日置) 1. 質点としての地球の力学 Earth as a point mass 　　公転・ケプラー運動 Orbital motion 2. 剛体としての地球の力学 Earth as a rigid body 　　地球の慣性モーメントと自転 MOI and rotation 3. 極運動と自転速度変動 Polar motion and DLOD 　　チャンドラー運動、地球ー月の力学進化 Chandler Wobble, Earth-Moon system

4. 流体としての地球 Earth as a fluid 地球の形、地球楕円体、ジオイド 　　地球の形、地球楕円体、ジオイド Shape, ellipsoid, Geoid 5. 弾性体としての地球 Earth as an elastic body 　　地球潮汐、分潮、ラブ数 Earth tide, tidal components, Love number 6. 地球の重力とその変動 Earth’s gravity 　　重力異常、アイソスタシー Gravity anomaly, isostasy 　　

7. 現実的な地球・地球熱学 Realistic earth 粘弾性、マントル対流、プレート運動 　　粘弾性、マントル対流、プレート運動 viscoelasticity, mantle convection, plate motion 8. 固体地球の中の波動と振動 Wave & oscillation 　　地震、地球自由振動 Earthquake, Free oscillation 9. 固体地球の電磁気学 Electromagnetics 　　地球磁場 Geomagnetism

剛体としての地球の力学 自転・公転の変化と気候変動 慣性モーメントと層構造 地球の回転変動 Dynamics of the Earth as a rigid body 　　慣性モーメントと層構造 Moment of inertia and the core 　　地球の回転変動 Rotational dynamics of the Earth 　　自転・公転の変化と気候変動 Milankovich cycles

前回のポイント 地球の慣性モーメント 地球型惑星の慣性モーメント 岩石（マントル）と金属（核） MOI of the Earth Points in the last lecture 　　地球の慣性モーメント MOI of the Earth 　　地球型惑星の慣性モーメント MOI of terrestrial planets 　　岩石（マントル）と金属（核） Silicate mantle and metallic core

Density and MOI of the terrestrial planets 地球型惑星の平均密度と慣性モーメント Density and MOI of the terrestrial planets 水星 Mercury 金星 Venus 地球 Earth 火星 Mars 月 Moon = 5.515 r = 5.427 = 5.204 = 3.933 = 3.345 核 = 0.3307 = 0.393 = 0.366 C/MR2= 0.338 = 0.336 核大きい Large core 核小さい Small core

Stratification of the Earth 地球の層構造 Stratification of the Earth 外核 Outer core 内核 Inner core 地殻 Crust マントル Mantle

微惑星が集積して出来た地球 Formation of the Earth by accretion of planetesimal 分化して層構造が出来る （重い金属が沈み、軽い岩石が浮かぶ） Differentiation (heavy metal sinks and light silicates floats) 熔けた状態で生まれた Born molten

ざくろ石 Garnet ペリドット (かんらん石 Olivine) 地殻 Crust 核 Core マントル Mantle スピネル Spinel 地殻 Crust 玄武岩 Basalt 花崗岩 Granit 　他 etc 核 Core マントル Mantle 鉄 (Fe) ニッケル (Ni) コバルト (Co) 59% かんらん石 (olivine) 29%　輝石 (pyroxene) 12%　ざくろ石 (garnet) (上部マントル Upper mantle)

割らずに中身を知る 慣性モーメント＝回すときの重さ Knowing the interior without breaking them Existence of metallic core is inferred from moment of inertia, which indicates the degree of mass concentration to the centre of the body. 慣性モーメント＝回すときの重さ Moment of inertia = resistance for spinning

MOI tells about the central metallic core 慣性モーメントでわかる中心核 MOI tells about the central metallic core 薄い球殻 Thin shell 2/3 I = MR2 詳細は講義ノートに 均一な内部 Uniform sphere I=0.4Ma2 2/5 金属質の中心核 Metallic core < 2/5

Structure of the Earth and the Moon 地球と月の層構造 Structure of the Earth and the Moon 外核 Outer core 内核 Inner core 核？ Core? 地殻 Crust マントル Mantle 地殻 Crust マントル Mantle 慣性モーメント MOI 地球 : 0.334 月 : 0.393 (Lunar Prospector)

Density and MOI of the terrestrial planets 地球型惑星の平均密度と慣性モーメント Density and MOI of the terrestrial planets 水星 Mercury 金星 Venus 地球 Earth 火星 Mars 月 Moon = 5.515 r = 5.427 = 5.204 = 3.933 = 3.345 核 = 0.3307 = 0.393 = 0.366 C/MR2= 0.338 = 0.336 核大きい Large core 核小さい Small core

ガリレオ衛星 Galilean moons イオ Io エウロパ Europa ガニメデ（慣性モーメント小） カリスト （慣性モーメント大） （木星の４大衛星 4 major moons of Jupiter） イオ Io エウロパ Europa ガニメデ（慣性モーメント小） Ganymede カリスト　（慣性モーメント大） Callisto

地球の回転変動　　3. 自転速度変動 Change in earth rotation Spin rate change

k 風 wind 「不思議の星地球」より

講義のページ Homepage からたどってもOK http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~heki/phys_inter.htm Homepage からたどってもOK 宿題：次の講義までに視聴すること

Earth, a wonder planet 2003年制作 2004年5月TV放映 科学技術映像祭 文部科学大臣賞 TEPIAハイテクビデオコンクール 最優秀作品賞・日本経済団体連合会会長賞 日本産業映画ビデオコンクール　文部科学大臣賞

Participation in lectures 講義参加への試み Participation in lectures 授業の最後に短い文章（質問、感想、要望等）書いてもらいます。複数あった質問や良い質問は次回に回答。 I would like every student to write a question in a sheet of paper. They will be answered on the next day

統計的に有意な議論は難しい、天王星横向き 前回(4/23)の質問、コメントから：１ ・順行と逆行半々？傾きは？ 　統計的に有意な議論は難しい、天王星横向き　 ・自転は熱源になる？ 自転の変動（章動など）は可能性あり ・平均密度と公転角速度の式展開 Gが消えてしまう間違いありました、低軌道限定 ・月の中心核の存否？ ラブ数から月深部の部分溶融と流体核

前回(4/23)の質問、コメントから：２ ・大気が自転をゆるがすなら逆は？ ・同期自転惑星には無い？ ・Gとｇの違い、単位も違うが？ 水星の自転は一種の同期（潮汐力が鍵） ・Gとｇの違い、単位も違うが？ Gは一般、ｇは地表限定 (GM/r) ・核が無い天体、その理由？ 重い物質（原料）がない、または未分化 ・大気が自転をゆるがすなら逆は？ コリオリ力の発生、わずかな変化は無視

前回(4/23)の質問、コメントから：3 ・巨大ガス惑星の自転 とにかく速い（自転周期短い 十時間程度） ・密度不均一なら衛星の軌道は？ ・巨大ガス惑星の自転　 とにかく速い（自転周期短い　十時間程度）　 ・密度不均一なら衛星の軌道は？ 球対称なら影響なし、違うと大きな影響 ・自転速度変るとカレンダーに影響？ 過去の日食記録の時刻が理論とずれる程度 ・法則は他の太陽系でも成り立つ？ ケプラー則はYes, ボーデ則はNo ・ガリレオ衛星の慣性モーメントどう測った？ 　重力の扁平率と静水圧平衡の仮定から

今回のポイント：地球の自転 自転の速度（一日の長さ） 自転軸の向き（極の位置） 地球回転変動 Today’s points : Earth rotation 　　自転軸の向き（極の位置） Spin axis direction (pole position) 　　自転の速度（一日の長さ） Spin rate (length-of-day) 　　地球回転変動 Changes in the Earth’s rotation

From a point mass to a rigid body 質点から剛体へ From a point mass to a rigid body 角速度 w: 2p/(24x60x60) radian/sec ~23o 黄道面 Ecliptic plane 赤道面 Equator plane 地球の回転 Earth rotation

惑星の自転 Spin of the planets 自転周期 Length-of-day 軸の傾き Tilt of the axis

速い自転 Rapid spin (地球や火星 Earth and Mars)

同期自転 Synchronized spin (月、木星のガリレオ衛星たち) The Moon, Galilean moons

自転していない　No rotation

3:2 自転ー公転共鳴 Spin-orbit resonance (水星 Mercury) 近日点 Perihelion 公転周期 orbital period : 87.969 d 自転周期 spin period : 58.646 d 太陽日 solar day : 175.938 d

逆行自転 Retrograde spin (金星 Venus) 公転周期: 225 d 自転周期: 245 d

誰が地球を回したのか？ 偶然の結果？

Mechanics of earth rotation: 3d dynamics 地球回転の力学：三次元で考える Mechanics of earth rotation: 3d dynamics 　　角速度 ω（ベクトル） Angular velocity (vector) 　　慣性モーメント　I （テンソル） Tensor of Inertia (tensor) 　　角運動量 H（ベクトル）　H=Iω Angular momentum (vector) 三次元回転の運動方程式 Equation of motion 　L=H or L=Iw .

角速度ベクトル w ねじの進む向き w = (wx,wy,wz) 角運動量HやトルクL も同様に定義 |w| w Angular velocity vector direction a screw proceed |w| w = (wx,wy,wz) z y x w wz wy wx 角運動量HやトルクL も同様に定義　　

Three kinds of earth rotation variation 三種類の地球回転変動 Three kinds of earth rotation variation １．歳差・章動 precession nutation wx wyの変動 地球の扁平 率が原因 Caused by the Earth’s oblateness 天の極の動き Motion of celestial pole ２．極運動 Polar motion wx’ wy’の変動 地球の極の動き Motion of terrestrial pole ３．自転速度変動 Spin rate change wzの変動 一日の長さの変化 Change in LOD

地球と天球、その極 自転軸の向きの変化：歳差章動と極運動 天球 地球 天の北極 歳差・章動 瞬間自転軸 赤緯 対称軸 地上局 赤経 天体

天球の極 地球の極 地球の極の動きが極運動 天の極の動きが歳差章動

Very Long Baseline Interferometry (VLBI) : 超長基線電波干渉法 Telescope B Telescope A

瞬間的な地球の姿勢を計測Instantaneous attitude of the Earth Quasar No.1 No.2 No.3 瞬間的な地球の姿勢を計測Instantaneous attitude of the Earth Telescope A 幾何学的遅延 Geometric delay Telescope B その時間変化から極運動や章動を判別 Track the change in attitude

Earth, an oblate spheroid 扁平な地球 Earth, an oblate spheroid a a - b ~ 20 km b

L=Iw . 地球の回転変動 1. 歳差・章動 運動方程式 地球の回転変動　　1. 歳差・章動 Earth rotation variation Precession and nutation 運動方程式 Equation of motion L=Iw .

similarity to spinning top 北極星 (polar star) ベガ (Vega) 歳差 Precession 14850 2004 周期 period: 25,800 年 独楽（こま）の力学との類似 similarity to spinning top

一つの式で、地球回転変動を理解する L = H 日本語訳：トルクが角運動量を変える

既に知っている式（ニュートンの運動法則） F = ma F = mv F = p 日本語訳：力が運動量を変える

F = p L = H 平行移動 回転 運動方程式 運動方程式 速度 v 角速度 w 運動量 p 角運動量 H ( r x p) 平行移動　　回転 運動方程式 運動方程式 速度 v 角速度 w 運動量 p 角運動量 H ( r x p) 力 F トルク L ( r x F) F = p L = H 質量 m 慣性モーメント I　

F = p Fがゼロならpは一定

F = p p p F 同じ向きのFを与えるとpは長くなる

F = p Fがゼロならpは一定

F = p p p Dp F pと直交するFを与えるとpの向きだけが変わる

F = p L = H 平行移動 回転 H = Iw 速度 v 角速度 w 運動方程式 運動方程式 運動量 p 角運動量 H 平行移動　　回転 H = Iw (H が変わるのは wが変わる事） 運動方程式 速度 v 角速度 w 運動量 p 角運動量 H 力 F トルク L 運動方程式 F = p L = H 質量 m 慣性モーメント I　

角速度ベクトル w ねじの進む向き w = (wx,wy,wz) 地球のwはほぼz成分 wz w wx wy Angular velocity vector direction a screw proceed wz w = (wx,wy,wz) z y x w wz wx wy wy wx 地球のwはほぼz成分

コマの運動 H 角運動量ベクトル　　 Angular velocity vector L r F Hと同じ向きのLを与えるとHは長くなる

傾いたコマの歳差運動 H L 傾いたコマにはHと直交するLが生じる

斜め上から見る H 角運動量ベクトルはくるくる回る L LはHの向きを変える

傾いたコマの歳差運動 H Lの向きが連続的に変わるのでHは円を描く

（コマとトルクの向きが逆なのでHの軌跡も逆回り） 地球の歳差運動 （コマとトルクの向きが逆なのでHの軌跡も逆回り） 章動 歳差 潮汐力トルク X L

18.6 years component has the maximum amplitude 潮汐力の周期的変動と章動 Periodic fluctuation of tidal torque causes nutation 白道面の運動による18.6年周期が最大　 18.6 years component has the maximum amplitude 回転軸が傾く向きとの幾何学的関係で半年周章動　Semi-annual nutation 太陽と地球の距離変化によって年周変動 annual nutation 同じ理屈で半月周期と一ヶ月周期 half-monthly + monthly nutation

極運動の観測とZ項

歳差章動（天の極の動き） 潮汐力トルク

眼視天頂儀 Visual Zenith Telescope 昔はこれで測っていた How we observed 100 years ago

Same elevation of the star at A and B 本来、AとBで星の高さは同じ Same elevation of the star at A and B A B B A 半日後

歳差章動：AとBで星の高さの変化は同じPrecession/nutation: Same change in elevation at A and B 歳差章動は原因が明解で百年前も既知とされていた People believed that they understand precession/nutation! 半日後 Precession found by Hipparchus [BC150], Nutation found by Bradley [1728]

極運動：AとBで星の高さの変化は反対（緯度変化） Polar motion: Different change in elevation at A and B (latitude variation) B B A A 明治後半に発見されたばかり、当時の最先端 New and unpredictable (reflects mass redistribution) 半日後 Existence predicted by Euler [1756], Found by Küstner & Chandler [late 19C]

International Latitude Service (ILS) 1899- : 国際緯度観測事業が明治32年に始まった　 International Latitude Service (ILS) 1899- : Six stations along 39o08’N Mizusawa Tshardjui Carloforte Gaithersburg Ukiah Cincinnati X Y Potzdam (Central Bureau) 1900 1980 Yokoyama et al. (2000) Latitude variation　＝　X cos f + Y sin f

眼視天頂儀 1899年に所長になった木村栄(29歳) Visual Zenith Telescope Kimura appointed as the director in 1899 (29 yrs old) 1941年（71歳）まで所長 He worked as the director until 1941

Kimura’s “MS Office 1899” Kimura’s MATLAB 木村記念館 所長室 Kimura’s room

明治34年（観測二年目）のピンチ 水沢のデータに大きな残差 中央局は水沢のデータの重みを下げる事を通告 測地学委員会、木村に上京と説明を命令 明治34年（観測二年目）のピンチ　 観測方程式が悪い！ 新しい項足す？ 水沢のデータに大きな残差 中央局は水沢のデータの重みを下げる事を通告 H. Kimura A. Tanakadate (Kimura’s mentor, physicist) 測地学委員会、木村に上京と説明を命令 水沢に帰った木村、観測に問題ないことを確認

観測方程式にZ項を加えてみた The new observation equation performed better Mizusawa (Japan) Common change (z-term) Without z-term With z-term Residual (arcsec) Carloforte (Italy) 緯度変化 Latitude variation　＝　X cos f + Y sin f 　　　 + Z 1. Longitude-independent　経度に依らない 2. Annual variation　年周変化する

Kimura, H., Astron. J. (1902) Z項は正式に認められたが、物理的意味は 70年間わからなかった One of the earliest papers by Japanese scientists Z項は正式に認められたが、物理的意味は 70年間わからなかった Z-term (x-term?) was accepted, but what it means remained unknown for ~70 years

チャンドラー極運動(14 month)と年周(12 month) 極運動 Chandler/annual wobble ・チャンドラー運動は自由振動 ・年周極運動は強制振動 ・６年ごとに強め合う Chandler wobble is the free oscillation while the annual polar motion is a forced oscillation.

緯度観測所 国際緯度観測事業中央局（大正11年ー昭和11年） 昭和45年、Z項の原因解明：流体核を持つ地球の半年周章動への応答 国際緯度観測事業中央局（大正11年ー昭和11年）　 International Latitude Service, Central Bureau (1922-1936) 昭和45年、Z項の原因解明：流体核を持つ地球の半年周章動への応答 In 1970, they found that Z-term reflected the anomalous response of the Earth (with fluid core) to the semi-annual component of nutation 緯度観測所 International Latitude Observatory of Mizusawa

歳差章動：AとBで星の高さの変化は同じPrecession/nutation: Same change in elevation at A and B Z項は経度に依らない　Z-term was longitude independent A B A B 半日後 ただし、昼側では逆の変化してるはず（VZTは昼間は緯度変化観測できない）

半年後、昼夜が入れ替わると変化は逆になる A half year later: The change reverses Z項の季節依存はそのため　Z-term changed seasonally A B A B 半日後

1. 要するに歳差・章動を無理やり極運動で解釈したのがZ項 2. 当時から歳差・章動はわかっていたのではなかったっけ？ 3. 当時は流体核共鳴による半年周章動の異常が知られてなかった

流体核を持つ現実的な地球の応答 Response of the realistic earth with fluid core 潮汐トルク　Tidal torque マントルの自転軸 Spin axis of the mantle 流体核の自転軸 Spin axis of the fluid core 流体核が核マントル境界を通じてマントルにトルクを及ぼす Fluid core exerts a torque to the mantle through CMB

Z項は流体核の存在を示す初めての信号 流体核 Outer core 地震学が流体核を突き止めたのは1906年 Z-term was the first geophysical signal of the fluid core, 理解に70年かかったが…　although it took ~70 years to interpret 地震学が流体核を突き止めたのは1906年 1st seismological paper on the fluid core in 1906 流体核　Outer core (Fluid) inner core crust mantle

月の裏側Farside Kimura crater (One of the four Japanese names on the Moon)

Z自慢の奥州市民 Local people proud of “Z” Mizusawa

F = p　p = mv p p m減少によるv増加 これはあり得ないが、慣性モーメントは減少できる

L = H LがゼロならHは一定 （角運動量保存則） H = Iw I小だからw大 I大だからw小

L = H . L = H - Hxw 地球固定座標で見ると Fix the coordinates to the Earth 遠心力やコリオリ力が入る Centrifugal/Coriolis's forces 回転の運動方程式 (慣性系） Equation of motion (inertial) Eulerの運動方程式 (地球固定座標） Euler’s equation of motion (earth-fixed coord.) L = H - Hxw . L = H 見かけのトルク（遠心力トルク）

極運動 Polar motion . L=H- Hxw . H=Hxw H x w = I w x w 外力トルク（L)ゼロだと みかけの遠心力トルクが地球に対して角運動量を変える 遠心力トルクは角運動量と角速度の外積 角速度ベクトルが行列Iの固有ベクトルならゼロ H x w = I w x w

Because the Earth is an oblate spheroid Moment of inertia (tensor) Diagonal components only by taking the principal axes C 対角成分が慣性モーメント Diagonal components are the MOI A 0 0 I = 0 B 0 0 0 C A 地球は扁平だから Because the Earth is an oblate spheroid A = B < C B

角速度ベクトル w ほぼz成分から成る wx w = wy w wz w wz wx wy Angular velocity vector wx  0, wy  0 wz wx w = wy wz z y x w w wz wx wy wy wx

H x w （= I w x w）はどんな時にゼロでないか？ （角運動量と角速度の向きはどんな時にずれるか？） 自転軸が主軸に一致してたらH x wはゼロ w = 0 wz I w = 0 Cwz A 0 0 I = 0 B 0 0 0 C 自転軸が主軸からずれてたらH x wは有限 wx w = wy wz Awx I w = Bwy Cwz

動くのは角速度ベクトルではなく地球の主軸 H x w （= I w x w）はどんな時にゼロでなくなるか？ 遠心力トルクはゼロ 自転軸が傾いて遠心力トルクが生じる w w これは実際にはあり得ない 動くのは角速度ベクトルではなく地球の主軸

地球上の質量移動が極運動を励起 遠心力トルクはゼロ 遠心力トルクが生じて極運動始まる w w 質量移動後の地球の主軸

極運動の研究の意義 大気海洋の動態 質量項と運動項 2. 未知の励起源 地震、陸水、GIA 3. Chandler運動の周期やQ