重力波解析ライブラリKagaliのためのAntenna pattern functionの作成 Lunch seminer 重力波解析ライブラリKagaliのためのAntenna pattern functionの作成 2018/3/8 荒井滉矢
GWのstrain dataは(重力波の波長が干渉計の腕より十分長い時) で表される。(Creighton&Anderson Chapter 6.1.10)。 ここで は重力波の偏向を表すtensor(@ TT gauge)。 はdetectorの腕の向き(d1,d2 vector)や干渉計の種類によって変化するtensor。 Antenna pattern functionは と定義されstrainは で表される。
GW is provided by a simple representation(h_plus,h_cross) 3 coordinate frames ・wave frame GW is provided by a simple representation(h_plus,h_cross) ・earth fixed frame a standard earthbound coordinate frame ・detector frame which is adapted to the particular geometry(that is,earth-surface ) at the location of the detector
・WGS84系 地球の形を表現するために使われるモデルとしてジオイドがあるが、これは起伏のある複雑な面であるので、それより簡単なジオイドに似た回転楕円体の表面として定義されるWGS84系を用いる(長軸𝑎=6378137𝑚短軸𝑏=6356752.314107𝑚)。 ただし緯度は、地球中心から計られるのではなく、detectorの位置xの点から楕円体面に下ろした垂線と、赤道面との間のなす角によって決められる(Figure1)。
Figure1(LIGO-T980044-08-E)
Frame 全体図
wave frame & earth fixed frame
z_w – z_e plane & x_e –y_e plane (色付きの線はp3の図と対応している) 次のページの式で用いられる角度の関係を表している。
wave frame の基底をearth fixed frameで表す(Ψ(polalrization):psi,θ:theta,φ:phai) これらの行列からearth fixed frame→wave frameとするの回転行列Rは となり、wave frameの基底は以下の様に表される:
Detector frame 経度がある値(lng)のWGS84楕円体の断面 上図から緑のベクトルΛは
このから、detector frameでの基底ベクトルをearth fixed frameの基底で表す:lat,lngのそれぞれのパラメータでΛベクトルを微分し規格化すると
Detector frame Ψ1(2): the angle North of East of the projection of one arm (arm 1(2)) onto the local horizontal. ω1(2): the angle of smallest magnitude between arm 1(2) and the local horizontal. Angles above (below) the horizontal are +ve (-ve). 上の平面はp2のσ(x)での楕円体面の接平面に平行なxを通る平面である。
まずdetector frameでの基底でarm1,2の向いている方向の単位ベクトル(d1,d2)を計算する: 次にこれらarmのベクトルを、先ほどp7で計算したearth fixed frameで表したdetector frameの基底を用いて、earth fixed frameで表す:
これらからdetector tensor Dを計算する:
Memo 楕円体の長軸や短軸の値が計算に一度も入って来なこったが、これはWGS系での緯度の取り方が原点からとっていなかったことに起因している。そのようなとりかたをしたため、基底ベクトルが地球を球と考えた時と同じ表現になっている。