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5 図形と合同 2章 平行四辺形 §1 平行四辺形 (5時間)
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§1 平行四辺形 《平行四辺形をかこう》 A D O B C 平行四辺形ABCD を、 ABCD と書くことがある。
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《平行四辺形の定義》 2組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形を平行四辺形という。 平行四辺形の性質 ① 平行四辺形の向かいあう辺は
2組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形を平行四辺形という。 平行四辺形の性質 ① 平行四辺形の向かいあう辺は 等しい。 ② 平行四辺形の向かいあう角は 等しい。 ③ 平行四辺形の対角線は、それ ぞれの中点で交わる。
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《平行四辺形の性質①の証明》 AB // DC , AD // BC AB=DC , AD=BC AB //DC だから、
四角形ABCD で、 【仮定】 AB // DC , AD // BC 【結論】 AB=DC , AD=BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 AB //DC だから、 ∠BAC=∠DCA AD //BC だから、 B C ∠BCA=∠DAC また、 AC=CA 1辺両端角(2角夾辺)相等で、 △ABC≡△CDA よって、 AB=CD , BC=DA
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《平行四辺形の性質②の証明》 AB // DC , AD // BC 四角形ABCD で、 【仮定】 【結論】 ∠A=∠C , ∠B=∠D
【証明】 B C A D 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B=∠D ∠BAC=∠DCA , ∠BCA=∠DAC だから、 B C ∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA ∠BAD=∠DCB
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《平行四辺形の性質②の証明》 AB // DC , AD // BC 四角形ABCD で、 【仮定】 【結論】 ∠A=∠C , ∠B=∠D
【証明】 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B=∠D ∠BAC=∠DCA , ∠BCA=∠DAC だから、 ∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA ∠BAD=∠DCB ∠A=∠C
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《平行四辺形の性質②の証明2》 AB // DC , AD // BC =∠BCD (錯角) =∠C =∠DCF (同位角)
四角形ABCD で、 A B C D 【仮定】 AB // DC , AD // BC 【結論】 ∠A=∠C , ∠B=∠D 【証明】 A D 辺AB の延長上に点E、 辺BC の延長上に点F をとって、 ∠A= ∠CBE (同位角) B =∠BCD (錯角) C F =∠C E ∠B = ∠ABC =∠DCF (同位角) =∠DCF (錯角)
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《平行四辺形の性質③の証明》 AB // DC , AD // BC AO=CO , BO=DO AB //DC だから、 AB=CD
【仮定】 AB // DC , AD // BC O 【結論】 AO=CO , BO=DO B C 【証明】 A D △ABO と△CDO で、 AB //DC だから、 O ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO B C 平行四辺形の向かいあう辺は等しいので、 AB=CD 1辺両端角(2角夾辺)相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AO=CO , BO=DO だから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm A D B C
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB=DC=4cm , AD=BC=6cm
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《平行四辺形になる条件》 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 ② 向かいあう角が、それぞれ等しい。
∠A=∠C=110º , ∠B=∠D=70º D A B C
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《平行四辺形になる条件》 AO=CO=3cm , BO=DO=5cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
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《平行四辺形になる条件》 AD // BC , AD=BC=6cm 次のような四角形ABCD を、かいてみよう。
④ 1組の向かいあう辺が、等しくて平行である AD // BC , AD=BC=6cm A D B C
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《平行四辺形になる条件①の証明》 AB=DC , AD=BC AB // DC , AD // BC AB=CD BC=DA AC=CA
【仮定】 AB=DC , AD=BC 【結論】 AB // DC , AD // BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 AB=CD BC=DA また、 AC=CA B C 3辺相等で、 A D △ABC≡△CDA よって、 ∠BAC=∠DCAだから、 AB // DC また、 ∠ACB=∠CADだから、 B C AD // BC
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《平行四辺形になる条件②の証明》 AB // DC , AD // BC AD // BC AB // DC 四角形ABCD で、 【仮定】
∠A=∠C , ∠B=∠D 【結論】 AB // DC , AD // BC B 【証明】 C E 辺AB の延長上に点E をとる。 ∠A=∠C , ∠B=∠D だから、 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠A+∠B+∠C+∠D=360º だから、 ∠A+∠B=180º また、∠B+∠CBE=180º だから、 ∠A=∠CBE よって、同位角が等しいので、 AD // BC また、∠C=∠A=∠CBE で、錯角が等しいので、 AB // DC
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《平行四辺形になる条件③の証明》 AO=CO , BO=DO AB // DC , AD // BC AO=CO BO=DO AB=CD
【仮定】 AO=CO , BO=DO O 【結論】 AB // DC , AD // BC B C 【証明】 A D △ABO と△CDO で、 AO=CO BO=DO O ∠AOB=∠COD(対頂角) B C 2辺夾角相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AB=CD ・・・・・・・・① 同じようにして、△ADO と△CBO で、 △ADO≡△CBO よって、 AD=CB ・・・・・・・・② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、 平行四辺形である。
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《平行四辺形になる条件④の証明》 AD // BC , AD=BC AB // DC , AD // BC BC=AD AC=CA
四角形ABCD で、 【仮定】 AD // BC , AD=BC 【結論】 AB // DC , AD // BC 【証明】 B C A D △ABC と△CDA で、 BC=AD ・・・・・・・・① AC=CA ∠ACB=∠CAD B C 2辺夾角相等で、 △ABC≡△CDA よって、 AB=CD ・・・・・・・・② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、 平行四辺形である。
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平行四辺形になる条件 四角形は、次の各場合に平行四辺形である。 ○ 2組の向かいあう辺が、それぞれ平行であるとき (定義) ① 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しいとき ② 2組の向かいあう角が、それぞれ等しいとき ③ 対角線が、それぞれの中点で交わるとき ④ 1組の向かいあう辺が、等しくて平行であるとき
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《P126 解答⑦》 (1) (2) (3)
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《例題①》 ABCD の対角線の交点を O とすると、 AO=CO BO=DO PO=QO RO=SO ・・・・・・・・①
・・・・・・・・② Q R ①と AP=CQ から、 B C PO=QO ・・・・・・・・③ ②と BR=DS から、 RO=SO ・・・・・・・・④ ③、④から、対角線が、それぞれの中点で交わるので、四角形 PRQS は平行四辺形である。
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《P126 解答⑧》 A M D B N C
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《長方形、ひし形、正方形》 ・長方形、ひし形、正方形の定義 長方形 4つの角が等しい 四角形 ひし形 4つの辺が等しい 四角形 正方形
平行四辺形 長方形 4つの角が等しい 四角形 長方形 ひし形 ひし形 4つの辺が等しい 四角形 正方形 正方形 4つの角が等しく、4つの辺が等しい 四角形 ・長方形、ひし形、正方形は平行四辺形である 長方形 2組の向かいあう角が、それぞれ等しい (平行四辺形になる条件②) ひし形 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい (平行四辺形になる条件①) 正方形 平行四辺形になる条件①または②より
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③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。
・長方形、ひし形、正方形の対角線 A D A A D B D O O O B C C B C 対角線についての性質 ① 長方形の対角線の長さは等しい。 ② ひし形の対角線は垂直に交わる。 ③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。
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《P127 練習解答①》 (1) A D B C (2)
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