Absolute Orientation
Absolute Orientation の問題 二つの座標系の間における剛体 (rigid body) 変換を復元す る問題である。 例えば： 2 台のステレオカメラから得られた３次元情報の間の関 係を推定する問題。 2 台のステレオカメラから得られた３次元情報の間の関 係を推定する問題。 その関係が知れば、すべての３次元情報をひとつの座標 系で記述することができる。 その関係が知れば、すべての３次元情報をひとつの座標 系で記述することができる。
は、点 P がカメラ座標系での座標 は、点 P がカメラ座標系での座標 は、点 P がワールド座標系での座標 は、点 P がワールド座標系での座標 ある点群がそれぞれの座標系での座標は既知とした場合、カメ ラ座標系とワールド座標系の間の回転行列と平行移動ベクトル を推定する問題。 つまり、 が既知の場合、 を満たす と を求める問題。ここで、 を満たす と を求める問題。ここで、
を展開すると、下記の方程式になる。 座標変換のパラメータは、１２個で、回転行列の要素 は９個、並行移動ベクトルは３個である。 １対の対応点 から、上記のように、３ 個の方程式が得られる。 したがって、最低、４対の対応点が必要。 たくさんの対応点があれば、最小２乗法を使えば、解 の精度を向上することができる。
しかし、 R は回転行列であることを無視して、つまり、 という拘束条件を無視して、連立方程式として 解を計算すれば、得られた答えは、有効な（意味のある） 回転行列でない可能性がある。 という拘束条件を無視して、連立方程式として 解を計算すれば、得られた答えは、有効な（意味のある） 回転行列でない可能性がある。
この問題を解決ために １．線形方程式の解として得られた回転行列を、無理や り に従うように修正する。 １．線形方程式の解として得られた回転行列を、無理や り に従うように修正する。 たとえば、 とすると、しかし、この方法で得られた結果は最良の近似である保障はありません。
２．回転行列の要素を求める代わりに、たとえば、 pan, tilt, roll の角度を推定する。 しかし、こうすると、方程式は非常に複雑な三角関数の 方程式となってしまう。 しかし、こうすると、方程式は非常に複雑な三角関数の 方程式となってしまう。
３． を考慮して、方程式を解く方法 (3.1) (3.1) ３．１ 点群の重心を求める (3.2) (3.2) (3.3) (3.3)すると、平行移動ベクトルは、下記の式で表現できる。 (3.4) (3.4)
３．２ 各点から、重心の座標を引く (3.5) (3.5) (3.6) (3.6)すると、 (3.7) (3.7) (3.8) (3.8) 式 (3.7),(3.8) を式 (3.1) に代入すると、 (3.9) (3.9)
式 (3.4) を式 (3.9) に代入すると、 (3.10) (3.10) (3.10) が成り立つとき、 = 0 このとき、 最大になる。
4 次元形式で表すと、 (3.9) (3.9) したがって、回転行列を推定するために、下記の関数 F(q) を最大にする q を求めれば良い。
ここで、
そして、
関数 F(q) は q に関する２次形式であり、そして q の長さが 1 で ある。 「２次形式の微分と極値」 で説明したように、 F(q) の最大値 N の最大固有値であり、 F(q) の最大値 N の最大固有値であり、 F(q) を最大にする q は N の最大固有値に対応する固有ベク トルである。 F(q) を最大にする q は N の最大固有値に対応する固有ベク トルである。従って、 q = N の最大固有値と対応している固有ベクトル q = N の最大固有値と対応している固有ベクトル