公共経済学(06,06,02) 投票のパラドックスと中位投票者モデル１

7.1 投票のパラドックス ＜基本的な前提＞ 3名の投票者＝投票者1、投票者2、投票者3 ３つの選択肢＝選択肢a、選択肢b、選択肢c 　 ＜選択肢の例＞ 　 選択肢a＝道路の建設 　 選択肢b＝公園の建設 　 選択肢c＝美術館の建設

多数決投票均衡と投票のパラドックス

多数決投票均衡と投票のパラドックス xMy　　　選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。

多数決投票均衡と投票のパラドックス xMy 選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。 ｘMyが任意のｙ (＝x)について成立する。

多数決投票均衡と投票のパラドックス xMy 選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。 ｘMyが任意のｙ (＝x)について成立する。 「投票のパラドックス」 「多数決投票均衡」が存在しない。

「選好の集まり」の表現方法 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

「選好の集まり」の表現方法 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

「選好の集まり」の表現方法 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1は？に投票する。 投票者2は 投票者3は

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は 投票者3は

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は?に投票する。 投票者3は

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は?に投票する。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 　 多数決投票で？が選択される

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

表1の下でaMbが成立する。 aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝？ cの得票数＝？ ⇒　

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc or cMb ？

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 cとaで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒ bMc cの得票数＝？ ⇒　

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 cとaで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒ bMc cの得票数＝２ ⇒　cMa or aMc ？

問題7-1 bとcで多数決投票をしたとする。 cとaで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒ bMc cの得票数＝２ ⇒　cMa

問題7-1 cMa ⇒ aMcではない。 ⇒ aMyが任意のy(＝a)に対して成立していない。 ⇒ aは「多数決投票均衡」ではない。 同様にして、bとcも「多数決投票均衡」ではない。 ⇒　「多数決投票均衡」は存在しない。 ⇒　「投票のパラドックス」

「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、（a, b, c）などである

「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、（a, b, c）などである a b c

問題7-2：並べる順序の数は？ (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) 以上の６つの順序がある。

単峰型順序（single-peakedness ordering） ある「選好の集まり」の下で、 「選択肢の順序」が「単峰型順序」である とは、 「全ての投票者に関して、 ある選択肢より好ましい選択肢が、 右側と左側同時には存在しない」 ことである。

表２ 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

(a, c, b)は「単峰型順序」ではない ＜理由＞ 投票者１は 「選択肢cの左にある選択肢aと 右にある選択肢bを、 からである（図１参照）。

問題7-3 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序は？ ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、単峰型順序ではない。 （例）(a, c, b)のときは投票者１が存在する。

問題7-3 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？ ⇒　b したがって、単峰型順序は？ 　⇒　(a, b, c)と

問題7-3 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？ ⇒　b したがって、単峰型順序は？ 　⇒　(a, b, c)と(c, b, a)である。

問題7-4 表１で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序が存在しないことを示しなさい。 ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、その順序は単峰型順序ではない。

表1 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

問題7-4 選択肢aが真中にある順序のとき、aの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家２ 選択肢bが真中にある順序のとき、bの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家３ 選択肢cが真中にある順序のとき、cの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家１

単峰性とは 「ある選好の集まりが単峰性を満たす」 とは、 「その選好の集まりの下で単峰型順序が存在する」 ことである。

単峰性と「選好の集まり」 表２の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？ ⇒問題7-4より単峰型順序が存在する。 ⇒単峰性を満たしている。 表１の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？ ⇒問題7-5より単峰型順序が存在しない。 ⇒単峰性を満たしていない。

単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。

単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 　 「多数決投票均衡」が存在する。

単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 　 「多数決投票均衡」が存在する。 ことを示そう。

問題7-5 ある「選好の集まり」の下で、 「投票者ごとに 選好の順位が第3位の選択肢が それぞれ異なっている。 ⇒ その「選好の集まり」は、 　選好の順位が第3位の選択肢が 　それぞれ異なっている。 ⇒ その「選好の集まり」は、 単峰性を満たしていない」 ことを説明しなさい。

問題7-5 ある「選好の集まり」の下で、 『投票者ごとに選好の順位が第3位の選択肢が異なっている。 ⇒ 任意の選択肢の順序(x, y, z)に関して yの選好順位が第3位の投票者が存在する。 ⇒ その投票者にはyの両側にyよりも選好する選択肢がある。 ⇒ 任意の順序(x, y, z)は単峰型順序ではない。』 投票者ごとに第3位の選択肢が異なっている。 ⇒その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。

問題7-5の対偶 ある「選好の集まり」の下で、投票者ごとに選好の順位が第3位の選択肢がそれぞれ異なっている。 ⇒　その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。 が成立するので、 ある「選好の集まり」は単峰性を満たしている。 ⇒　その「選好の集まり」の下で投票者ごとに選好の順 位が第3位の選択肢がそれぞれ異なっていない。 も成立する。

対偶とは？ 条件ｐ：A君は大学生である。 条件ｑ：A君は学生である。 命題A：ｐならばｑである。

問題7-6 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、2人以上が第3位に選好している選択肢とはどの選択肢？ ⇒ a

問題7-7 z=2人以上の選好順位が第3位の選択肢 x=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢 y=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=？, ｘ= , ｙ=

問題7-7 z=2人以上の選好順位が第3位の選択肢 x=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢 y=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ=？, ｙ=

問題7-7 z=2人以上の選好順位が第3位の選択肢 x=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢 y=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ=b, ｙ=

問題7-7 z=2人以上の選好順位が第3位の選択肢 x=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢 y=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ=b, ｙ=？

問題7-7 z=2人以上の選好順位が第3位の選択肢 x=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択される方の選択肢 y=z以外の選択肢以外の２つの選択肢で多数決をするときに選択されない方の選択肢 「選好の集まり」が表２で与えられているとき、 ⇒ z=a, ｘ=b, ｙ=c

問題7-6より、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒2人以上が第3位に選好している選択肢ｚが(１つだけ)存在する。 ⇒選択肢ｚ以外の２つの選択肢を xMyを満たすように定めれば、 ｘが「多数決投票均衡」である。

問題7-6より、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒2人以上が第3位に選好している選択肢ｚが(１つだけ)存在する。 ⇒選択肢ｚ以外の２つの選択肢を xMyを満たすように定めれば、 ｘが「多数決投票均衡」である。 「投票のパラドックス」は発生しない。

問題7-8 単峰性を満たしていない「選好の集まり」でも 投票のパラドックスが発生しないケースがある ことを表３の空欄を埋めることで作成しなさい。

表３ 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3 ？

表３ 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3 ？

表３ 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

表３ 　　　 選好の順位 投票者名 第1位 第2位 第3位 投票者1 a b c 投票者2 投票者3

問題7-9 「選好の集まり」が表２で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」は？

問題7-9 「選好の集まり」が表２で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」はb

問題7-9 「選好の集まり」が表２で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」はb 「選好の集まり」が表３で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」は？

問題7-9 「選好の集まり」が表２で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」はb 「選好の集まり」が表３で与えられた場合 ⇒ 「多数決投票均衡」はa