第1章 記述統計の復習 統計学　2007年度

Ⅰ データの種類 Ⅱ 1変量データのまとめ方 Ⅲ 2変量データのまとめ方 a) 特性値による記述 b) 表・グラフによる記述 Ⅰ　データの種類 Ⅱ　1変量データのまとめ方 a)　特性値による記述 代表値（中心的傾向） ⅰ)　算術平均　ⅱ)　メディアン　ⅲ)　モード　ⅳ)　各代表値の特徴 2)　散布度（散らばりの傾向） ⅰ)　分散　ⅱ)　標準偏差　ⅲ)　レンジ　ⅳ)　四分位偏差 b)　 表・グラフによる記述 1)　棒グラフ・円グラフ・帯グラフ・折れ線グラフ 2)　度数分布表 3)　ヒストグラム・度数折れ線 Ⅲ　2変量データのまとめ方 相関係数 b)　表・グラフによる記述 1)　分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム 2)　散布図

Ⅰ データの種類 10人の学生について下の表のような情報がえられた。 Ⅰ　データの種類 10人の学生について下の表のような情報がえられた。 学年、性別、出身地、身長、体重、家族の人数、テストの点数という7つの変量（変数）について、10個の観測値を持つデータ。

データを分析する場合、性別や出身地などの情報はなんらかの数値によって表されることが多い。 　この例では出身地（都道府県コード）、性別（男－１、女－２）を数値で表している。

この表にある変量は次のように分類することができる。 ＜質的変量と量的変量＞ 数値が量的な意味を持つ変量を量的変量、意味を持たないものを質的変量という。 家族の人数は数値に意味があるが、性別などは数値に意味が無い。また、学年は実際に大学に在学している年数とは異なり、分類のための数値である。 質的変量か量的変量を見分けるには、「算術平均をとって意味があるか」を考えてみる方法がある。 質的変量（質的変数） 量的変量（量的変数） 性別、学年、出身地など 家族の人数、テストの点数など 身長、体重など 離散変量（離散変数） 連続変量（連続変数）

＜離散変量と連続変量＞ データの種類によって、まとめ方が異なる 量的変量はさらに離散変量と連続変量に分類される。 離散変量は家族の人数やテストの点数など、とびとびの値しかとらない変量である。 一方、身長や体重などは正確に測ろうとする場合、無限に細かい数値になる。(身長171.2865...cm)このような変量は連続変量である。 テストの点数（離散変量） 50 51 52 53 身長（連続変量） 170 171 172 173 データの種類によって、まとめ方が異なる

Ⅱ 1変量データのまとめ方 データのまとめ方には 特性値による記述（数値的表現） 表・グラフによる記述（視覚的表現） がある。 Ⅱ　1変量データのまとめ方 データのまとめ方には 特性値による記述（数値的表現） 表・グラフによる記述（視覚的表現） 　がある。 特性値による記述は、データの特徴をまとめ、それを用いた分析をおこなうことが中心的な役割である。 表・グラフによる記述は、データの特徴を一目でとらえやすくするためにおこなわれる。

ある集団についてのデータ（例えば50人のクラスの身長など）があるとき、集団の特徴をあらわすには、その中心的傾向を示す数値が必要となる。 a)　特性値による記述 　1)　代表値（中心的傾向） ある集団についてのデータ（例えば50人のクラスの身長など）があるとき、集団の特徴をあらわすには、その中心的傾向を示す数値が必要となる。 中心的傾向をあらわす数値として、 算術平均 メディアン（中央値） モード（最頻値） の3種類がある。

ⅰ)　算術平均 算術平均 ＝ データの合計 ÷ データ数 （例）　10人のテストの点数

メディアン → データを大きさの順に並べたときに真ん中にくる値。データ数が偶数のときは真ん中の2つの値を足して2で割る。 ⅱ)　メディアン（中央値、中位数） メディアン　→　データを大きさの順に並べたときに真ん中にくる値。データ数が偶数のときは真ん中の2つの値を足して2で割る。 点数の低い順に並べ替え 真ん中 この2つを足して2で割った （60＋70）÷2=65がメディアン

モード － データの中で最も多く出てくる値。10人のテストの点数の例では ⅲ)　モード（最頻値） モード　－　データの中で最も多く出てくる値。10人のテストの点数の例では 80点が3人と最も多い。モードは80となる。 データのとりうる値が多いとき、データの最も多く出てくるものではなく、度数分布表にしたときに、最も度数の多い階級の階級値をモードと考える。

下の表は2006年の中日と東京ヤクルトの打者別本塁打数（上位5人）である。 ⅳ)　各代表値の特徴 下の表は2006年の中日と東京ヤクルトの打者別本塁打数（上位5人）である。 データ出典：日本野球機構オフィシャルサイト(www.npb.or.jp) 東京ヤクルトは算術平均とメディアンの差が0.4本と小さいのに対し、中日は7.8本もある。これは中日で本塁打を打つのは、ウッズと福留という中心選手に限られるからである。

出典：総務省統計局『家計簿から見たファミリーライフ』 下の図は貯蓄現在高階級別の世帯分布である。 貯蓄現在高が算術平均より低い世帯は全世帯の3分の2におよぶ。ほとんどの世帯はメディアンである1052万円ほどの貯蓄もなく、200万円未満の貯蓄しかない(ここがモードである)。 少数の大金持ちと多数の庶民がいるため、このようなことがおこる。 出典：総務省統計局『家計簿から見たファミリーライフ』 (http://www.stat.go.jp/data/kakei/family/4-5.htm#1)

算術平均は少数の極端な値が含まれるとき、その集団の正しい代表値とならないことがある。メディアンの方が少数の極端な値の影響を受けづらい。 しかし、貯蓄現在高のように分布がゆがんでいる場合には、メディアンでも集団の正しい代表値とはいえない場合もある。（この場合はモードが適切か） しかし、算術平均は数学的な扱いやすさから、代表値として非常に良く用いられている。 　　　算術平均をうのみにしないようにしよう！

教員A 教員B ２人の教員はともに平均してチャイムの５分後に教室にくる 2人の教員の特徴を表現するために、平均だけでは不十分。 　1)　散布度（散らばりの傾向） 教員A チャイムの５分後に必ず教室にくる。 教員B チャイムと同時に教室にくることもあれば、１５分以上遅れることもある。 ２人の教員はともに平均してチャイムの５分後に教室にくる 2人の教員の特徴を表現するために、平均だけでは不十分。 　　　→散らばりの尺度の必要性 散らばりの傾向をあらわす尺度として 分散、標準偏差 レンジ（範囲）、四分位偏差 などがある。

偏差2乗和 － 個々のデータから算術平均を引いたもの（偏差）を2乗して、すべて加えたもの。 ⅰ）　分散 分散＝偏差2乗和÷データ数 　 偏差2乗和 － 個々のデータから算術平均を引いたもの（偏差）を2乗して、すべて加えたもの。 10人のテストの点数の例では

算術平均60を引く 偏差 2乗を求める 合計を求める ６４００ データ数(10)で割る 640 分散

ⅱ）　標準偏差 標準偏差　⇒　分散の平方根 10人のテストの点数の例では

ⅲ）　レンジ（範囲） レンジ　⇒　データの取りうる範囲 　　　　レンジ ＝ 最大値 ー 最小値 10人のテストの点数の例では 　　 90 - 10＝８０

データを大きさの順（小さい順）に並べて、4分割する点をq1,q2,q3とする。 このとき、次式で定義されるQを四分位偏差という。 ⅳ）　四分位偏差 データを大きさの順（小さい順）に並べて、4分割する点をq1,q2,q3とする。 このとき、次式で定義されるQを四分位偏差という。 q1 q2 q3 最大値 最小値

（例）9人のテストの点数が次のようになっていたとする。 点数の低い順に並べ替え q1 q2 （メディアン） q3 最小値 最大値 q1⇒最小値とq2（メディアン）の真ん中の値 q3⇒q2（メディアン）と最大値の真ん中の値

集団の特徴をあらわすためには、代表値や散布度などの数値とともに、さまざまな表やグラフが用いられる。 b)　表・グラフによる記述 　1)　棒グラフ・円グラフ・帯グラフ・折れ線グラフ 集団の特徴をあらわすためには、代表値や散布度などの数値とともに、さまざまな表やグラフが用いられる。 棒グラフは、家族の人数や学年などの各変量がとる値の度数をあらわすのに用いられる。 円グラフは、その度数の全体に占める割合をあらわすのに用いられる。

帯グラフは、度数の割合が時間とともにどのように変化するかなどを見るために利用される。 折れ線グラフは、主に時系列データ（時間の順序によって並べたデータ）の変化を表すために利用される。 出典：総務省統計局『国勢調査』 出典：総務省統計局『労働力調査』

質的変量および量的変量のうち離散変量は、棒グラフや円グラフとして表すことができる。 　2)　度数分布表 質的変量および量的変量のうち離散変量は、棒グラフや円グラフとして表すことができる。 では、連続変量を棒グラフで表したい場合どのようにすればよいであろうか？そのままあらわすと下図のようになる。 このような棒グラフでは、集団の特徴がよくわからない。

† その階級を代表する値を階級値という。階級の上限と下限をたして2で割った値が用いられることが多い。 そこで、データをいくつかの階級に分け、その階級に入る度数を表の形でまとめた度数分布表を作成する必要がある。 サッカー日本代表 　対ペルー戦(2007.3.24)ベンチ入りメンバー †　その階級を代表する値を階級値という。階級の上限と下限をたして2で割った値が用いられることが多い。

度数分布表の階級の幅は原則として均一にする。ただし、貯蓄現在高のようにすべて均一にすることによって、度数が極めて小さくなる場合には、一部の階級幅を広げることもある。 †　質的変量や離散変量の場合は、とりうる値1つ1つが階級となる。 ただし、年収・貯蓄のようにとり得る値が多い場合には、連続変量と同様に階級を設定する。

算術平均＝（度数×階級値）の総和÷度数の総和 ＜度数分布表からの算術平均、分散の導出＞ 度数分布表にまとめられたデータについて、算術平均と分散を求めることができる。（下のデータが入手できず、度数分布表のみ入手できた場合に、この方法を使う。） 上のような度数分布表があったとする。 　　このとき、 算術平均＝（度数×階級値）の総和÷度数の総和 　　として求められる。

分散＝｛（階級値－算術平均）2×度数｝の総和÷度数の総和 　　として求められる。 　計算のためには、 　これらの算術平均と分散は原データから求めた算術平均と分散の近似値となる。

　サッカー日本代表の度数分布表について考えてみると 　算術平均（原データで計算すると177.44） 　分散（原データで計算すると32.49）

度数分布表を棒グラフであらわしたものをヒストグラムといい、それぞれの棒は間隔をつめて描かれる。これは階級と階級の間が連続していることによる。 ３）　ヒストグラム・度数折れ線 度数分布表を棒グラフであらわしたものをヒストグラムといい、それぞれの棒は間隔をつめて描かれる。これは階級と階級の間が連続していることによる。 度数折れ線はヒストグラムにおいてその頂点を折れ線グラフで結んだものである。

度数分布表の階級幅、階級の上限と下限の値の取り方によってヒストグラムは大きく変化する。

Ⅲ 2変量データのまとめ方 2変量データ → 2つの対になったデータ 2変量データの記述 → それぞれ1変量の記述 ＋ 2変量の関係の記述 Ⅲ　2変量データのまとめ方 2変量データ　→　2つの対になったデータ （例）サッカー日本代表の身長と体重 ※　日本代表の身長と韓国代表の体重は2つのデータであるが、対になっていない。 ※　2変量データはその組合せを変えることはできない　→　川口の身長と闘莉王の体重を組み合わせても、意味がない。 2変量データの記述 →　それぞれ1変量の記述 ＋ 2変量の関係の記述

相関係数 r は2変量間の関連の強さを表す尺度であり、-1と1の間の値をとる。 a)　特性値による記述 　1)　相関係数 相関係数 r は2変量間の関連の強さを表す尺度であり、-1と1の間の値をとる。 　r＞０　正の相関　1に近いほど関連度が強い 　r＜０　負の相関　-1に近いほど関連度が強い 　r＝０　無相関 　後で説明する散布図と密接な関係がある。

2変量についてクロス集計した度数分布表のことを、分割表（またはクロス集計表）という。 b)　表・グラフによる記述 　1)　分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム 2変量についてクロス集計した度数分布表のことを、分割表（またはクロス集計表）という。 分割表は下のような2次元ヒストグラムであらわすことができる。

横軸にX、縦軸にYをとった座標軸上に、個々のデータをあらわしたもの。 ２）　散布図 横軸にX、縦軸にYをとった座標軸上に、個々のデータをあらわしたもの。 相関係数と密接な関係があり、相関係数が±１に近いほど、散布図は直線に近くなる。 正の相関（r＞0) Xが大きな値をとるほど、Yも大きな値をとる。 負の相関（r＜0) Xが大きな値をとるほど、Yは小さな値をとる。 　無相関（r=0) Xの値とYの値に一定の傾向がみられない。

サッカー日本代表の身長と体重の散布図は下の図のようになる。 サッカー日本代表の身長と体重の間には正の相関が見られる。 (ｒ＝0.807)