パスカルの三角形 　～3次元への拡張～2009.08.15 立命館高校　2年 池内　正剛

動機 3次元にこだわる!! 見て・触って・実感 去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何 年後か!？”…指数関数 見栄えのいいものを目指して！ 　　　　　　　　　　できるもの。 3Dパズル・ミツバチがなぜ減っているのか？・ 　回転寿司の回転数と客の動員数の関係・3D数独 見て・触って・実感 3次元にこだわる!!

目的 パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけ られている。 2次元→3次元へ拡張した場合規則性は、どのよ うに変化するのか？ 3次元ならではの規則性があるのか？

パスカルの三角形 1 各列の和は、２n-1である。 最初の列を除いて各段を横に見てみると１１nになる。 2 フィボナッチ数列 →8 →4 →2 →1 1 2 3 5 各列の和は、２n-1である。 最初の列を除いて各段を横に見てみると１１nになる。 フィボナッチ数列 １．１．２．３．５．８……

3次元への拡張～立体～ 2次元 3次元

3次元への拡張～平面～ 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目

性質の比較 各段落の合計について ・2次元の時は、2n-1で求めることができる。 ・3次元の場合は、下表のようになる 　・3次元の場合は、下表のようになる 段数 計算式 合計 1段目 1 1=30 2段目 1×3 3=31 3段目 1×3+2×3 9=32 4段目 1×3+3×6+6 27=33 5段目 1×3+4×6+6×3+12×3 81=34 6段目 1×3+5×6+10×6+20×3+30×3 243=35 表を見たら分かるように3次元にするとn段目の合計は3n-1

・2次元では、1・2・3・4・5…というように各段 落の個数が増加していく。 ・3次元の場合は、 1・3・6・10・15・21…となる。 各段の個数について ・2次元では、1・2・3・4・5…というように各段 落の個数が増加していく。 ・3次元の場合は、 　　　　　1・3・6・10・15・21…となる。 ・このような数列を階差数列という。 　階差数列は、２・３・４…となり 　　初項a=2 交差d=1　の階差数列になる。 2 3 4 5 6

an=1/2n2+1/2n k=1 ・各段の個数は、an= a1+∑n-1 bkで求まる。 　この数列{an}の段差数列を{bn}とすると、　　　　 {an}{bn}は…　{an}＝1・3・6・10・15… 　　　　　　　 {bn}＝2・3・4・5・6… {bn}は初項2,交差1の等差数列である。 よってbn=n+1　ゆえに n≧2の時 　　an=a1+ ∑n-1 (k+1)=1+ ∑n-1 k+ ∑n-1 1 　　=1+1/2(n-1)n+(n-1) 　　an=1/2n2+1/2n 初項はa1=1なので、n=1も成り立つ。 k=1 k=1 k=1 k=1 an=1/2n2+1/2n

中央の個数 段数 1 2 3 4 5 6 7 8 中央の数の個数 10 15 3段目 4段目 5段目 上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。 そうすると、中央の個数は…　1・2・3段目＝0個　4段目＝1個　5段目＝3個 これを表にすると、 段数 1 2 3 4 5 6 7 8 中央の数の個数 10 15 となる。

an= 1/2n2-1/2n 1~3段目までは、0個なので1段にまとめる（下表） 段数（実際の段） 1（1~3） 2(4) 3(5) 4(6) 5(7) 6(8) 中央の数の個数 1 3 6 10 15 k=1 先ほども利用したan= a1+∑n-1 bkを利用する。 数列{an}＝0・1・3・6…とすると階差数列{bn}＝1・2・3・4… {bn}はa=1,d=1の等差数列である。 よって、bn=n ゆえに、n≧2のとき 　　　　　　an=a1+ ∑n-1 (n) =0+ ∑n-1 (k) =0+ 1/2(n-1)n = 1/2n2-1/2n …① また、初項はa1=0なので、①はn=1のときも成り立つ。 　　　　　以上により一般項は　　　　　　　　　　 k=1 k=1 　an= 1/2n2-1/2n

フラクタル図形 ↑ 2次元のパスカルの三角形を 2で割った場合 白色・・・（奇数） 青色・・・（偶数） ・3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。 ・立体的な図ではわかりにくいので、 　　　　　　　　　　　各段に分けて調べてみる。 ・3次元へ拡張した場合、 　　　　　　　　側面は2次元の場合と同じである。 ↑　2次元のパスカルの三角形を 　　　　　　　　　　　　　　　　　2で割った場合 白色・・・（奇数） 青色・・・（偶数）

3次元の場合 8段が1周期 ２で割った場合 白色…奇数 青色…偶数 フラクタル図形が現れる。 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目 ２で割った場合　白色…奇数 青色…偶数 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目 7段目 8段目 9段目 11段目 13段目 15段目 10段目 12段目 14段目 16段目 8段が1周期 フラクタル図形が現れる。 17段目 19段目 18段目 20段目

結果 3次元に拡張するとｎ段の合計が、3n-1で表わされるこ とがわかった。 M次元→mn-1 各段の個数については、一般項an=1/2n2+1/2nで求め ることができる。 中央の個数はan=1/2n2－1/2nで求めることができる。 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できな かった。 3次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。 　（1周期は8段）

考察 中央の数の合計を一般化する。 10段ぐらいまで自分で制作してみる。 フラクタル図形をプログラムしてn段目でも求め られるようにする。(他の数で） 20段目のMaxの値は36.832.392

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