第５回 黒体放射とその応用 東京大学教養学部前期課程 ２０１２年冬学期　宇宙科学II 松原英雄（ＪＡＸＡ宇宙研）

黒体放射とは？ 放射吸収する物質と熱平衡にある放射のこと。黒体放射する物質の量・表面の性質は関係ない 全く同じ放射 黒体＝完全吸収体 黒体 の壁 黒体 黒体放射 背後から来る光は 完全に吸収 一部が透過 背後から来る光 物質からの放射 通常の物質

キルヒホップの法則 放射輸送の式(4.24)で左辺＝０とおく： (5.2) 天井も床も同じ温度Ｔの箱を考えましょう。天井は黒体、下の箱の床は反射率がＲの物質でできているとします。 　　　床Ｂからの反射光＋床Ｂの放射光＝天井Ａの放射光 Ｒ・Ｂ（Ｔ）＋ＩＢ＝Ｂ（Ｔ） ＩＢ＝Ｂ（Ｔ）ーＲ・Ｂ（Ｔ） 　　　　 ＝（１－Ｒ） ・Ｂ（Ｔ） 　　　　　＝Ｅ・Ｂ（Ｔ） 床から放射される光 Ｅ・Ｂ（Ｔ） は同時に床が吸収する光の量に等しい：（吸収率をＡとすると） Ａ・Ｂ（Ｔ）＝ 　Ｅ・Ｂ（Ｔ） 床　Ｂ　（温度Ｔ） 黒体天井　（温度Ｔ） ＩＢ Ｂ（Ｔ） Ｒ・Ｂ（Ｔ）

振動数nの光子の量子状態の数 一辺がＬの立方体を考え、その中にある光子の量子状態数をもとめましょう。量子力学では光子が箱の中で安定な波になっていると考えます。その条件は ｘ、ｙ、ｚ の各方向で辺長 L が波長の整数倍になることです。 Ｌ/λＸ　＝　１，２，３、．．．、　 Ｌ/λＹ　＝　１，２，３、．．．、　 Ｌ/λＺ　＝　１，２，３、．．． ですが、電磁波には２成分の偏光があるので２倍して、Ｌ３の箱内の安定な光子の量子状態の数 ΔＮＢｏｘ　は、 ΔＮＢｏｘ　＝ ２Δ（Ｌ/λＸ）・ Δ（Ｌ/λＹ）・ Δ（Ｌ/λＺ）　 で与えられます。単位体積当たりの状態数 ΔＮUnit　は、箱の体積で割って ΔＮUnit　＝ ΔＮＢｏｘ/Ｌ３ ＝ ２Δ（１/λＸ）・ Δ（１/λＹ）・ Δ（１/λＺ）　です。 光子の密度を振動数ν空間で考えると　（ ΔＶν 振動数空間での体積要素） ΔＮUnit　＝（２/ｃ３）Δ（ｃ/λＸ）・ Δ（ｃ/λＹ）・ Δ（ｃ/λＺ） 　　　　　　＝ （２/ｃ３）Δ（νＸ）・ Δ（νＹ）・ Δ（νＺ）＝ （２/ｃ３） ΔＶν 　　　　　球座標で書くと ΔＶν ＝ ν２ｄΩｄν よって　ΔＮUnit　＝ （２/ｃ３） ν２ｄΩｄν 　　　　 （5.10）　式 参考：　http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

黒体輻射の数値表現 h=6.626×10-34 Js, k=1.381×10-23 J/K, ｃ＝2.998×108 m/s 参考：　http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html Ｇ：　黒体輻射

Planck Spectra T=6000K T=6000K 波長 (ｃｍ) 振動数（Hｚ） 波長　(ｃｍ) 振動数（Hｚ） http://www.shokabo.co.jp/sp_e/optical/labo/bb/bb.htm

レーリージーンズ領域 傾き一定、 強さはＴに比例 ウィーン領域 傾きと強さが 大きく変化する http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html Ｇ：　黒体輻射

天体からの（近似的に）黒体放射の例 赤外線でみた 燃えるマッチを持つ人

黒体輻射スペクトルの例 天体 典型的な温度 宇宙開闢の頃 1032 K 高温降着円盤 109-13 K 低温降着円盤 107 K 中性子星表面 太陽中心 白色矮星表面 10000 K 高温度星表面 太陽表面 ６000 K 宇宙の晴れ上がり ４000 K 星間雲 １０ ‐１００K 現在の宇宙背景放射 ２．７４ K http://www.shokabo.co.jp/sp_e/optical/labo/bb/bb.htm

第５回の問題 問5－1. 黒体放射のフラックスは で与えられる。これを計算して となることを示せ。ただし また次の関係は使って良い。 　　で与えられる。これを計算して 　　となることを示せ。ただし （シュテファン・ボルツマン定数） 　　また次の関係は使って良い。

ところで、 天体からの放射はどういうときに黒体放射になるのか？ 注：　放射物質が熱平衡だからといって放射が黒体とは限らない。

放射が黒体になる条件（１） 物質が熱平衡にあること 源泉関数Sn=Bn(T)が成立すること。 必ずしも、物質の温度と放射場の温度が同じとは限らない。 放射場は非熱的な場合もある：レーザー／メーザー 以下の場合には動力学的な温度＝放射場の温度が成立 条件①　系の大きさが平均自由行程よりも十分に大きいこと 条件②　平均衝突時間が系の年齢よりも十分に短いこと 条件③　物質が放射場光子を非弾性散乱する機能を持つこと（色々な光の振動数に変換できること）

放射が黒体になる条件（２） 光学的に十分に厚いこと In = In(0)exp(-tn) + B n(T) (1 - exp(-tn)) なので、 tn >> 1が必要。 星間塵のように、波長によって光学的厚みが著しく異なる場合、近赤外線ではBlackbodyでも、遠赤外～サブミリ波では　 In = tnB n(T)～nb B n(T) (b=1-2) となる ★天体（特に希薄な宇宙空間）は一様温度とは限らない：　 そのときでも局所的になりたっている場合が多い（局所熱力学的平衡：LTE） 熱平衡を達成するには衝突緩和時間に比べて十分長い時間が必要。 銀河間空間のプラズマ：　電子と陽子で温度が違う可能性がある： teq(e,e) ～ 3.1×105 (Te/108K)3/2(ne/10-3cm-3)-1 yr teq(p,p) = √(mp/me) teq(e,e) 　　　～ 1.3×107 (Te/108K)3/2(ne/10-3cm-3)-1 yr