形状モデリングにおいて，任意の自由曲面を定義する必要のある場合がある.自由曲面の表現法について説明する. 4章　 自由曲面を表現する 形状モデリングにおいて，任意の自由曲面を定義する必要のある場合がある.自由曲面の表現法について説明する.

4.1 パラメトリック表現 パラメトリック曲線 直線 円 y y x P P0 z x U P V V U,V：円を含む平面上の直交ベクトル 4.1　パラメトリック表現 　　　パラメトリック曲線 直線 円 z y x z x y P0 P V 方向ベクトル P0 U P V U,V：円を含む平面上の直交ベクトル

4.1 パラメトリック表現 パラメトリック曲面 平面 任意の曲面上の点(x，y，z)は2個の パラメータ（ｕ，ｖ）の関数ベクトルで 4.1　パラメトリック表現 　　　パラメトリック曲面 平面 任意の曲面上の点(x，y，z)は2個の パラメータ（ｕ，ｖ）の関数ベクトルで 表現できる． y x z この表現法を曲面のパラメトリック表現という． V P0 P U 法線ベクトル ベクトル表現

4.2 曲線セグメントと曲面パッチ 曲線 → セグメント → 曲線セグメント 曲面 → パッチ → 曲面パッチ 形状を思い通りに制御できるか 4.2 曲線セグメントと曲面パッチ 曲線　→　セグメント　 → 　曲線セグメント 曲面　→ パッチ　　　　→ 　曲面パッチ 形状を思い通りに制御できるか セグメントやパッチがどのような式で表されるか 滑らかに接続できるか 制御多角形 制御点 このように点列で近似することが 考えられるが，(3)の条件が満た されない． 曲線 曲面

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 1．曲線セグメントの一般式 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　1．曲線セグメントの一般式 ｎ個の制御点　qi (n=0,1,2・・・，n-1) q1 qn-1 q2 q0 ∵q0=・・・=qn-1=qとすると，P(t)=q Fi(t)の選び方によって， ベジェ曲線，B-スプライン曲線 とよばれる曲線になる．

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 2．ベジェ曲線 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　2．ベジェ曲線 P(0)=q0，P(1)=qnが成り立ち， q0とqnを通る． n=3(３次ベジェ曲線)の場合，

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 2．ベジェ曲線(例) 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　2．ベジェ曲線(例) q1 q1 q2 q3 q0 q0 q3 q2

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 2．ベジェ曲線(接続) 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　2．ベジェ曲線(接続) 1q1 1q2 1P(t)の終点における接線と 2P(t)の始点における接線が 一致させるためには， 1q2， 1q3(=2q0)， 2q1を一直線上 に配置すればよい． 接線 1q3=2q0 1q0 2q3 2q1 2q2

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 2．ベジェ曲線(例題1) 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　2．ベジェ曲線(例題1) q0=(1,0,0),q1=(5,5,0),q2=(15,7,0),q3=(10,2,0) 基底関数の値 t=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 B0 1.00 0.51 0.22 0.06 0.01 B1 0.38 0.43 0.23 0.10 B2 B3

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 2．ベジェ曲線(例題2) 4.3　制御点による曲線セグメントの生成 　　　2．ベジェ曲線(例題2) q0=(1,0,0),q1=(5,5,0),q2=(15,7,0) t=0,0.3,0.6,1.0のとき，P(t)を求めよ．

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 3．B-スプライン曲線

4.3 制御点による曲線セグメントの生成 3．B-スプライン曲線 終点と始点が一致 接線が連続 曲率が連続

4.4 制御点による曲面パッチの生成 1．曲面パッチの一般式 4.4　制御点による曲面パッチの生成 　　　1．曲面パッチの一般式 曲線の議論を曲面に拡張

4.4 制御点による曲面パッチの生成 2．ベジェ曲面 4.4　制御点による曲面パッチの生成 　　　2．ベジェ曲面 ベジェ曲面 ２つの重み関数として，バーンスタイン基底関数を用いたもの 3次のベジェ曲面

4.4 制御点による曲面パッチの生成 2．ベジェ曲面(例) 4.4　制御点による曲面パッチの生成 　　　2．ベジェ曲面(例) q23 q22 q33 q21 q32 q22 q12 q03 q11 q20 q12 q31 q21 q02 q10 q03 q11 q01 q01 q20 ｕ q00 q02 q10 q30 ｖ ｕ ｖ q00 2次ベジェ曲面 3次ベジェ曲面

4.4 制御点による曲面パッチの生成 2．ベジェ曲面(例題) 4.4　制御点による曲面パッチの生成 　　　2．ベジェ曲面(例題) 次のような制御点の座標値が与えられたとき，3次ベジェ曲面 Ｐ(u,v)＝（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ））を求めよ. さらに，ｕ，ｖ＝0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0として，Ｐ（ｕ，ｖ）を作図 しなさい．