ランダムウォークに関するいくつかの話題 ・ランダムウォークの破産問題 ・ランダムウォークの鏡像原理 １ 小暮研究会Ⅰ 11月12日 小暮研究会Ⅰ 11月12日 担当：環境3年 大矢 洋平 １
ランダムウォークの破産問題 以下のルールでギャンブルを行うゲームを考える （α） ギャンブラーは賭け金1, つまり‘勝てば+1, 負ければ−1 の損得’ というゲームを繰り返す. （β） 各々のゲームで, ギャンブラーの勝つ確率をp, 負ける確率をq で表す (但し p + q＝１、0 < p,q < 1). （γ） ギャンブラーが目標金額 A を獲得するか, 所持金が0 になる(=破産する) 時点で賭は終了する. ２
Xという金額を持っている時に、目標金額に到達する確率を を考えてみる 目標金額への到達確率１（推移確率グラフ） Xという金額を持っている時に、目標金額に到達する確率を を考えてみる この時先述のルールに基づくと、以下のような推移確率グラフになる事が分かる （所持金＝ｘ） A p x q ０ （回数＝T） ３
目標金額への到達確率２（３項間漸化式と特性方程式） (p ≠ qの時） 前頁の推移確率グラフを式にすると、以下のような３項間漸化式になる これを特性方程式に当てはめると という式になり、この方程式を満たす２解は である ４
目標金額への到達確率３（境界条件と一般解） このような異なる２つの実数解を持つ３項間漸化式（＝２階線形差分方程式） の一般解は、C,Dをある実定数とすると以下の式になる 境界条件 、 を考慮すると の二つの式が導かれ、この連立方程式を解くと以下のような一般式になる ５
平均持続時間１（３項間漸化式と特殊解） 次に、賭けを止めるまでの平均持続時間を考える。 今、賭けの回数を とし平均持続時間を とする 先ほどと同様に、 とおける この式は という形であり なので という特殊解を（*)式に代入すれば良い事が分かる 代入した式を解くと になる ６
平均持続時間２（境界条件と一般解） ここで、 とすると以下のような式が導ける この式は、目標金額への到達確率の時に出てきた式と同様なので 境界条件 より 一般式は以下のようになる ７
ランダムウォークの鏡像原理 ここでは、 から出発する対象ランダムウォーク、 として以下の確率過程を考える この を のaに関する鏡像という ８
ランダムウォークの鏡像原理２（例題） 例１．６．１ 以下の式を示す 解） の時は時刻Tまでに必然的にaに達しているはずなので の時は （証明 終わり） ９
ランダムウォークの鏡像原理３（分布関数） 前頁の結果を用いると、この分布関数が次のようにして分かる １０